Cevian
Inom geometrin betecknar en cevian ett linjesegment i en triangel som går från ett av hörnen till den motstående sidan (eller dess förlängning). Exempel på cevianer är bisektriser, höjder och medianer.[1]
Namnet kommer från den italienske ingenjören Giovanni Ceva (1648-1737) som 1678 publicerade det vi idag kallar Cevas sats i De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio.[2]
Längd
[redigera | redigera wikitext]Allmänt kan en cevians längd beräknas enligt Stewarts sats (beteckningar enligt figur 2).
Median
[redigera | redigera wikitext]Om cevianen är en median är , vilket reducerar Stewarts sats till Apollonios sats
Bisektris
[redigera | redigera wikitext]Är cevianen en bisektris ges längden av
eller
- . med
eller
- , med semiperimetern .
Höjd
[redigera | redigera wikitext]Är cevianen en höjd ges dess längd antingen av Pythagoras sats enligt
eller av
- , med semiperimetern .
Cevianer med gemensam skärningspunkt
[redigera | redigera wikitext]För tre cevianer som skär varandra i en gemensam inre punkt gäller allmänt följande samband mellan delningsförhållanden (beteckningar enligt figur 3):[3]
De två sista uttrycken är komplementära, eftersom om vi adderar vänsterleden får
De tre höjderna skär varandra i triangelns ortocentrum. De tre bisektriserna skär varandra in den inskrivna cirkelns medelpunkt. De tre medianerna skär varandra i (den geometriska) tyngdpunkten.[4] De tre cevianer som delar omkretsen i två lika delar (en sådan cevian kallas "splitter" på engelska) skär varandra i Nagels punkt.[5] De tre symmedianerna skär varandra i symmedianpunkten (även kallad Lemoines punkt eller Grebes punkt).[6]
Referenser
[redigera | redigera wikitext]- ^ Klassiska bevis: Cevas sats, del 1 på Mattebloggen.
- ^ Ceva Theorem på Encyclopedia of Mathematics.
- ^ Alfred S. Posamentier och Charles T. Salkind, 1988, Challenging Problems in Geometry, sid. 177-188. ISBN 0486691543.
- ^ Wafaa Chamoun, 2012, Utvalda satser utifrån plangeometri, Matematiska institutionen vid Stockholms Universitet, sid. 29 ff.
- ^ Weisstein, Eric W., "Splitter", MathWorld. (engelska)
- ^ Weisstein, Eric W., "Symmedian Point", MathWorld. (engelska)