Lp-rum

Ett $L^{p}$ -rum är ett funktionsrum inom matematik. $L^{p}$ -rummet består av funktioner som är p-integrerbara. Man behöver $L^{p}$ -rummet till exempel inom måtteori och funktionalanalys.

Formell definition

$L^{p}$ -rummet är en måtteoretisk konstruktion och man kan bara definiera det för måttrum.

Låt $1\leq p<\infty$ och $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ vara ett måttrum så att måttet µ är ett fullständigt mått. Man behöver fullständighet här eftersom man vill integrera alla delmängder för en nollmängd.

För mätbara funktioner $f:X\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ definierar man $L^{p}$ -normen

\|f\|_{p}:=\left(\int _{X}|f|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}

,

dvs $L^{p}$ -normen är en p-rot av måttintegralen för funktionen $|f|^{p}$ . För $p=\infty$ definieras $L^{\infty }$ -normen:

\|f\|_{\infty }:={\mbox{ess sup}}\,|f|

,

där ess sup är väsentligt supremum.

$L^{p}$ -normen, med $1\leq p\leq \infty$ , är inte en norm för alla mätbara funktioner. Men man kan definiera ett rum där det är en norm. ${\mathcal {L}}^{p}$ -rummet, för ett fixt p, är mängden:

{\mathcal {L}}^{p}={\mathcal {L}}^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu ):=\{f:\|f\|_{p}<\infty \}

.

${\mathcal {L}}^{p}$ -rummet är ett vektorrum. Eftersom man har definierat $L^{p}$ -rummet utifrån en måttstruktur så är ${\mathcal {L}}^{p}$ -normen bara en seminorm, dvs

\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}

och

\|af\|_{p}=|a|\|f\|_{p}

för $f,g\in {\mathcal {L}}^{p}\,$ och $a\in \mathbb {R}$ men det finns måttrum och funktioner där

\|f\|_{p}=0

men

f\neq 0

gäller, exempelvis om man tar den vanliga måttstrukturen på de reella talen, med Borelalgebran som sigma-algebra och Lebesguemåttet som mått, då $f=\chi _{\mathbb {N} }\,$ är ett exempel på en funktion som är nollskild men har en norm som är noll. Detta visar att $L^{p}$ -normen inte är en norm på detta rum.

För att få en riktig norm definierar man en ekvivalensrelation i ${\mathcal {L}}^{p}$ genom att

f\sim g\,

om och endast om

\|f-g\|_{p}=0

och definiera $L^{p}$ -normen för ekvivalensklasser

\|f^{\sim }\|_{p}:=\|f\|_{p}

där $f^{\sim }$ är ekvivalensklassen med representant f:

f^{\sim }:=\{g\in {\mathcal {L}}^{p}:f\sim g\}.

Kvotrummet $L^{p}={\mathcal {L}}^{p}/\sim$ med $L^{p}$ -normen kallas för $L^{p}$ -rummet. I rummet $L^{p}$ identifieras funktioner f och g vars skillnad f - g har en norm som är noll. Exempelvis, från exemplet ovan, identifieras $f=\chi _{\mathbb {N} }\,$ med funktionen g = 0.

$\ell ^{p}$ -rum

Som ett specialfall av $L^{p}$ -rum kan man få de så kallade $\ell ^{p}$ -rummen. Om X är uppräknelig och måttet µ är räknemåttet betecknas

\ell ^{p}:=L^{p}\,

,

så att för $1\leq p<\infty \,$

\ell ^{p}=\left\{(x_{i})_{i=1}^{\infty }:\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{p}<\infty \right\},

dvs, $\ell _{p}$ kan ses som alla följder i X så att summan av termerna upphöjt till p konvergerar.

Man får också:

\ell ^{\infty }=\left\{(x_{i})_{i=1}^{\infty }:\sup _{i\in \mathbb {N} }|x_{i}|<\infty \right\}.

dvs, $\ell ^{\infty }$ -rummet är rummet av alla begränsade följder.

Egenskaper

Nedan finns några egenskaper för $L^{p}$ -rummen och normerna.

Olikheter

Hölders olikhet: om $p>1\,$ och $q>1\,$ med

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,

,

och $f\in L^{p}$ och $g\in L^{q}$ så är

\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}

.

Om $p=1\,$ och $q=\infty$ så är

\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{1}{\|g\|}_{\infty }

.

Talen p och q kallas för Hölderkonjugat.

Minkowskis olikhet: Man kallar ofta triangelolikheten

\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}

när $f,g\in L^{p}\,$ för Minkowskis olikhet.

Dualrummet

Om p och q är Hölderkonjugat så är $L^{p}\,$ :s dualrummet $(L^{p})^{*}\,$ isomorf till $L^{q}\,$ , dvs

(L^{p})^{*}\cong L^{q}\,

.

Därför säger man ofta att $L^{p}$ :s dualrum är $L^{q}$ .

Notera att det finns måttrum där $(L^{\infty })^{*}\,$ inte är isomorf med $L^{1}\,$ .

Se även

Referenser

W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, 1991
P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953
R. M. Dudley, Real Analysis and Probability, Cambridge University Press, 2002
G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley, 1984
https://web.archive.org/web/20131111192546/https://www.doria.fi/bitstream/handle/10024/2842/avaruude.pdf?sequence=1