வளையம் (கணிதம்)

இயற்கணித அமைப்புகளில் அடிப்படையானவை மூன்று. குலம், வளையம், மற்றும், களம். இவைகளில் குல-அமைப்பில் ஒரு வினைதான் உண்டு. மற்ற இரண்டிலும் ஒவ்வொன்றிலும் இரு வினைகள் உள்ளன. இவ்விரு வினைகளும் ஒன்றோடொன்று ஒத்ததாக இருக்க வேண்டும். இக்கருத்துகளின் அடிப்படையில் வளையம் வரையறுக்கப்படுகிறது. வளையத்தின் வரையறையை இன்னும் தனிப்படுத்தினால் கள-அமைப்பு உண்டாகும்.

உள்ளுணர்வுக் கண்ணோட்டம்

உள்ளுணர்ந்து பார்த்தோமானால் கணிதத்தில் அடித்தளத்தில் நான்கு வினைகள் உள்ளன: கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், மற்றும் வகுத்தல். இவைகளில் கழித்தல் என்பது கூட்டலின் எதிர்மறை. அதே மாதிரி வகுத்தல் என்பது பெருக்கல் என்பதின் எதிர்மறை.

கூட்டல், கழித்தலை மாத்திரம் வைத்து உண்டாக்கப்படுவது ‘குலம்’. ஒரே ஒரு வினையையும் அதன் எதிர்மறையும் கொண்டது.

கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கலை வைத்து உண்டாக்கப்படுவது ‘வளையம்’ இது இரு வினைகள் கொண்டது; ஆனால் முதல் வினைக்குத்தான் எதிர்மறை உள்ளது.

கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் ஆகிய நான்கையும் வைத்து உண்டாக்கப்படுவது ‘களம்’. இங்கு இரு வினைகள், இரண்டுக்கும் எதிர்மறைகள் உள்ளன.

கணிதத்தில் எல்லாம் துல்லியமாகப் பேசப்படவேண்டியிருப்பதால் அப்பழுக்கில்லாத வரையறைகள் தேவைப்படுகின்றன.

வளையத்தின் வரையறை

ஒரு கணம் R உள்ளது. அதில் ‘+’ என்றும் ‘*’ என்றும் இரு வினைகள் இருப்பதாகக் கொள்வோம். பின் வரும் மூன்று நிபந்தனைகளுட்பட்டால் (R , ‘+’, ‘*’) ஒரு வளையம் என்று பெயர் பெறும்:

(R 1) ‘+’ என்ற வினைக்கு R ஒரு ஏபீலியன் குலம் அல்லது பரிமாற்றுக் குலம். அதாவது, இவ்வினை சேர்ப்பு வினை, பரிமாற்று வினை, மற்றும், R இல் ஒற்றொருமை உண்டு, ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் நேர்மாறும் உண்டு.

(R 2) ‘*’ வினை பின்வரும் மூன்று விதிகளுக்குட்பட்டது :

(சேர்ப்பு / ஒட்டுறவு): R இலுள்ள எல்லா a, b, c க்கும், $a*(b*c)=(a*b)*c$

(பரிமாறல்/மாற்றுறவு) : R இலுள்ள எல்லா a, b க்கும் $a*b=b*a$

(முற்றொருமை யுடன் கூடியது): R இல் e என்ற ஓர் உறுப்பு கீழ் உள்ள இயல்புடன் உள்ள்து:

R இல் உள்ள எல்லா a க்கும் $e*a=a*e$

(R 3) (*) வினை (+) வினையுடன் பங்கீட்டுக் கொள்கிறது (பிரித்தளிக்கிறது); அதாவது

R இல் உள்ள எல்லா a, b, c க்கும்

$a*(b+c)=a*b+a*c$

$(a+b)*c=a*c+b*c$

எடுத்துக்காட்டுகள்

எல்லா முழு எண்களின் கணம் Z , சாதாரண கூட்டல், பெருக்கல் இவைகளுக்கு ஒரு வளையம் ஆகிறது.

ஆனால் இயற்கை எண்களின் கணம் N, கூட்டல், பெருக்கலுக்கு வளையம் ஆகாது. ஏனென்றால் அது முதலில் கூட்டலுக்கு ஒரு குலமே ஆகவில்லை; ஒற்றொருமை இல்லை, உறுப்புகளுக்கு நேர்மாறு இல்லை.

[ a, b ] யிலிருந்து மெய்யெண்கணம் R க்குப்போகும் எல்லா தொடர் சார்புகளையும் C[a, b] என்ற கணம் ஆக்கினால், அதனில் இரு வினைகள் உள்ளன. ‘+’ என்ற புள்ளிவழிக் கூட்டல், ( . ) என்ற புள்ளி வழிப்பெருக்கல். இவைகளுக்கு அது ஒரு வளையம் ஆகிறது. இவ்வளையத்திற்கு தொடர் சார்பு வளையம் என்று பெயரிடலாம். இருபதாவது நூற்றாண்டில் தொடங்கப்பட்ட சார்புப் புகுவியல் (Functional Analysis) என்ற கணிதப்பிரிவில் இவ்வளையத்திற்கு முக்கிய பங்கு உண்டு. உண்மையில் C[a, b] இல் வெவ்வேறு அமைப்புகள் இயக்கப்படலாம்.

பரிமாறா வளையம்

வளையத்தின் வரையறையில் (R 2) இல் சொல்லப்பட்டிருக்கும் பரிமாறல் நிபந்தனைக்கு ஒவ்வாத வளையங்களும் இருக்கலாம். அவைகளை பரிமாறா வளையம் என்பர்.

வேறொரு மரபுப்படி, வளையத்தின் வரையறையில் (R 2) இல் பரிமாறல் நிபந்தனையைப் போடாமலேயே இருந்துவிடுவது. அம்மரபில் பொதுவாக வளையம் என்றால் அது பரிமாறா வளையம் தான். அப்பொழுது பரிமாறல் நிபந்தனைக்கொவ்வும் வளையங்களை பரிமாறுவளையம் என்பர்.

பரிமாறா வளையத்திற்கு தரமான எடுத்துக்காட்டு எல்லா n x n அணிகளின் (matrices) கணம் தான். இவ்வளையத்தில் கூட்டல் என்பது அணிக்கூட்டல். பெருக்கல் என்பது அணிப்பெருக்கல். அணிப்பெருக்கல் ஒரு பரிமாறாப் பெருக்கல் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.