การแจกแจงปรกติหลายตัวแปร
ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น![]() Bivariate normal distribution with | |
สัญกรณ์: | |
---|---|
ตัวแปรเสริม: | |
ฟังก์ชันค้ำจุน: | x ∈ span( |
pdf: | |
cdf: | (no analytic expression) |
ค่าเฉลี่ย: | |
ฐานนิยม: | |
ความแปรปรวน: | |
เอนโทรปี: | |
mgf: | |
cf: |
การแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปร (อังกฤษ: multivariate normal distribution) เป็นการขยายวางนัยทั่วไปจากการแจกแจงแบบปรกติ (ตัวแปรเดียว) ไปเป็นหลายมิติ(หลายตัวแปร) เวกเตอร์สุ่มที่มีการแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปร คือ ทุกๆผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ของส่วนประกอบของเวกเตอร์มีการแจกแจงเป็นการแจกแจงแบบปรกติ
การแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปร มักใช้อธิบาย เซตของตัวแปรสุ่มหลายๆตัวที่มีความสัมพันธ์กัน โดยที่แต่ค่าของตัวแปรจะมีค่าเกาะกลุ่มอยู่ใกล้ๆกับค่ามัชฌิม
สัญลักษณ์เครื่องหมายและการใช้พารามิเตอร์[แก้]
การแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปร ของเวกเตอร์สุ่ม k มิติ (k-dimensional random vector) X = [X1, X2, …, Xk] สามารถเขียนได้ดังนี้:
หรือสามารถระบุจำนวนมิติของตัวแปรได้ดังนี้
โดยเวกเตอร์ค่ามัชฌิมที่มี k มิติ คือ
และ เมตริกซ์ของความแปรปรวนร่วมเกี่ยว (covariance matrix) ขนาด k x k คือ
คำนิยาม[แก้]
เวกเตอร์สุ่ม X = (X1, …, Xk)′จะมีการแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปรได้ก็ต่อเมื่อเงื่อนไขดังนี้[1]:
- ทุกๆผลรวมเชิงเส้น Y = a1X1 + … + akXk มีการแจกแจงเป็นการแจกแจงแบบปรกติ นั่นคือ สำหรับเวกเตอร์ค่าคงที่ใดๆ a ∈ Rk, ตัวแปรสุ่ม Y = a′X จะมีการแจกแจงเป็นการแจกแจงแบบปรกติ
- เวกเตอร์สุ่ม Z (ขนาด ℓ มิติ) ที่สมาชิกของ Z เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปรกติ, เวกเตอร์
μ (ขนาด k มิติ), และ เมทริกซ์ A (ขนาด k×ℓ) มีอยู่จริง โดยที่ X = AZ +μ - เวกเตอร์
μ (ขนาด k มิติ) และ เมทริกซ์Σ (ขนาด k×k) ที่สมมาตรและเป็น nonnegative-definite มีอยู่จริง โดยที่ characteristic function ของ X คือ - ในกรณีที่ เมตริกซ์ของความแปรปรวนร่วมเกี่ยว
Σ ไม่อยู่ในภาวะเอกฐาน(nonsigular) จะมีเวกเตอร์μ (ขนาด k) และ เมตริกซ์Σ (ขนาด k×k) ที่สมมาตรและเป็น positive-definite อยู่จริง โดยที่ ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (probability density function) ของ X จะเขียนได้ดังนี้: โดย |Σ | เป็น ดีเทอร์มิแนนต์ ของΣ
บทความที่เกี่ยวข้อง[แก้]
อ้างอิง[แก้]
- ↑ Gut, Allan: An Intermediate Course in Probability, 2009, chapter 5