Вавилонська математика

Дана стаття — частина огляду Історія математики.

Вавилонські математики (також відомі як ассиро-вавилонські математики) — математики, які жили у Месопотамії від днів стародавніх шумерів до падіння Вавилона в 539 році до нашої ери. Вавилонські математичні тексти численні і добре відредаговані. Що стосується часу вони потрапляють в дві групи: одні з Старовавилонського періоду (1830—1531 до н. е.), а інші в основному держави Селевкідів з останніх трьох-чотирьох століть до нашої ери. Відносно змісту майже не існує різниці між цими двома групами текстів. Таким чином, вавилонська математика лишилася незмінною, за своїм характером і змістом, протягом майже двох тисячоліть.

{{{1}}}

Загальні відомості

Вавилонське царство виникло на початку II тисячоліття до н. е. на території сучасного Іраку, прийшовши на зміну Шумеру та Аккаду і успадкувавши їх розвинену культуру. Проіснувало до перського завоювання в 539 році до н. е.

Вавилоняни писали клинописними значками на глиняних табличках, які в чималій кількості дійшли до наших днів (більше 500 000, з них близько 400 пов'язані з математикою). Тому ми маємо досить повне уявлення про математичні досягненнях вчених Вавилонської держави. Відзначимо, що коріння культури вавилонян було значною мірою успадковане від Шумерів — клинописний лист, рахункова методика тощо.

Вавилонські математичні тексти носять переважно навчальний характер. З них видно, що вавилонська розрахункова техніка була набагато досконаліша єгипетської, а коло вирішуваних завдань істотно ширше. Є завдання на рішення рівнянь другого ступеня, геометричні прогресії. При вирішенні застосовувалися пропорції, середнє арифметичне, відсотки. Методи роботи з прогресіями були глибше, ніж у єгиптян. Лінійні і квадратні рівняння вирішувалися ще в епоху Хаммурапі (він правив у 1793—1750 роках до н. е.); при цьому використовувалася геометрична термінологія (добуток ab називався площею, abc — об'ємом, і т. д.). Багато значків для одночленів були шумерськими, з чого можна зробити висновок про давність цих алгоритмів; ці значки вживалися як буквені позначення невідомих в нашій алгебрі. Зустрічаються також кубічні рівняння і системи лінійних рівнянь. Вінцем планіметрії була теорема Піфагора; Ван дер Варден вважає, що вавилоняни відкрили її між 2000 і 1786 роками до н. е..

Як і в єгипетських текстах, викладається тільки алгоритм рішення (на конкретних прикладах), без коментарів і доказів. Однак аналіз алгоритмів показує, що загальна математична теорія у вавилонян безсумнівно була.

Нумерація

Вавилонські цифри

Шумери і вавилоняни використовували 60-кову позиційну систему числення, увічнену в нашому розподілі круга на 360°. Писали вони, як і ми, зліва направо. Однак запис необхідних 60 цифр був своєрідний. Значків для цифр було всього два, позначимо їх — О (одиниці) і Д (десятки); пізніше з'явився значок для нуля. Цифри від 1 до 9 зображувалися як О, ОО, … ООООООООО. Далі йшли Д, ДО, … ДДДДДООООООООО (59). Таким чином, число зображувалося в позиційній 60-ковій системі, а його 60-кові цифри — в адитивній десятковій. Аналогічно записувалися дроби. Для популярних дробів 1/2, 1/3 і 2/3 були спеціальні значки.

Грецькі і середньовічні європейські математики (у тому числі і Коперник), для позначення дрібних частин користувалися вавилонською 60-ковою системою. Завдяки цьому, ми ділимо годину на 60 хвилин і хвилини на 60 секунд. При цьому треба зазначити, що всупереч поширеній думці, години, хвилини і секунди не використовувалися у Стародавньому Вавилоні. Замість цього використовувалася подвійна година тривалістю 120 сучасних хвилин, а також час-градус тривалістю 1⁄360 дня (тобто чотири хвилини) і «третя частина» тривалістю 31⁄3 сучасних секунди (хелек в сучасному єврейському календарі).

У сучасній науковій літературі для зручності використовується компактний запис вавилонського числа, наприклад: 4,2,10; 46,52

Розшифровується цей запис наступним чином: 4 × 3600 + 2 × 60 + 10 + 46/60 + 52/3600

Арифметика

Для множення застосовувався громіздкий комплект таблиць, окремо для множення на 1 … 20, 30 … 50. Ділення $m/n$ вони замінювали множенням $m\times \left({\frac {1}{n}}\right)$, а для знаходження $1/n$ у них були спеціальні таблиці. Інші таблиці допомагали підносити до степеня, добувати корінь і навіть знаходити показник ступеня $n$, якщо дано число виду $2^{n}$(ці двійкові логарифми використовувалися для підрахунку відсотків по кредиту).

Для обчислення квадратного кореня вавилоняни відкрили ітераційний процес, що швидко сходиться, — нове наближення для ${\sqrt {a}}$ виходило з попереднього по формулі:

   $x_{n+1}={\frac {1}{2}}~(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}})\$

Геометрія

В геометрії розглядалися ті ж фігури, що і в Єгипті, плюс сегмент круга і зрізаний конус. У ранніх документах вважають $\pi =3$; пізніше зустрічається наближення 25/8 = 3,125 (у єгиптян 256/81 ≈ 3,1605). Зустрічається також і незвичайне правило: площа круга є 1/12 від квадрата довжини кола, тобто $\pi ^{2}R^{2}/3$. Вперше з'являється (ще при Хаммурапі) теорема Піфагора, причому в загальному вигляді; вона забезпечувалася особливими таблицями і широко застосовувалася при вирішенні різних завдань. Вавилоняни вміли обчислювати площі правильних багатокутників; мабуть, їм був знайомий принцип подібності. Для площі неправильних чотирикутників використовувалася та ж наближена формула, що і в Єгипті:

$S={\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}$.

Від вавилонської математики беруть початок звичні нам одиниці вимірювання кутів: градуси, мінути й секунди. Введення цих одиниць у давньогрецьку математику зазвичай приписують Гіпсиклу, II століття до н. е.

Значні досягнення вавилонських математиків і астрономів стали фундаментом для науки наступних цивілізацій, і насамперед — науки стародавньої Греції. Все ж багата теоретична основа математики Вавилона не мала цілісного характеру і зводилася до набору розрізнених методів, позбавлених доказової бази. Систематичний доказовий підхід в математиці з'явився тільки у греків.

Література

• Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М. : Наука, 1959. — 456 с.
• Веселовсикий І. Н.. Вавилонская математика // Труды Института истории естествознания и техники. — М. : Академия наук СССР, 1955. — Вип. 5. — С. 241—304..
• Вигодський М. Я.. Арифметика и алгебра в древнем мире. — М. : Наука, 1967.
• Глейзер Г. І. История математики в школе. — М. : Просвещение, 1964. — 376 с.
• Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд. второе. — М. : Просвещение, 1965. — 416 с.
• История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики, в трёх томах / Под редакцией Юшкевич, Адольф Павлович. — М. : Наука, 1970. — Т. I.
• Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М., 1968.
• Раик А. Е. Две лекции о египетской и вавилонской математике // Историко-математические исследования. — М. : Физматгиз, 1959. — № 12. — С. 271-320.
• Рыбников К. А. История математики в двух томах. — М. : Изд. МГУ.
  • Том I. (1960). Том II. (1963)
• Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича. — М. : Просвещение, 1976. — 318 с.
• Friberg J. Unexpected links between Egyptian and Babylonian mathematics. [Архівовано 9 жовтня 2013 у Wayback Machine.] World Scientific, 2005.
• Friberg J. Amazing traces of a Babylonian origin in Greek mathematics. [Архівовано 9 жовтня 2013 у Wayback Machine.] World Scientific, 2007.

Посилання

• Mesopotamian Mathematics [Архівовано 20 лютого 2018 у Wayback Machine.] (англ.)
• O'Connor, J. J. and Robertson, E. F., An overview of Babylonian mathematics [Архівовано 5 жовтня 2008 у Wayback Machine.], MacTutor History of Mathematics, (December 2000).