Число Мерсенна

Число́ Мерсе́нна (Mersenne number) — числа виду $M_{n}=2^{n}-1$, де $n$ — натуральне число. Числа називають іменем французького математика Марена Мерсенна, що жив на початку XVII століття.

Послідовність чисел Мерсенна починається так:

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, … (послідовність A000225 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Іноді числами Мерсенна називають числа $M_{p}$ з простими індексами $p$. Ця послідовність починається так:

3, 7, 31, 127, 2047, 8191, 131071, 524287, 8388607,… (послідовність A001348 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Властивості

• Будь-який дільник числа $M_{p}$ для простого $p$ має вигляд $2pk+1$, де $k$ — ціле число: це прямий наслідок малої теореми Ферма.
• Ейлер довів, що кожне парне досконале число має вигляд $2^{p-1}M_{p}$, де число Мерсенна $M_{p}$ є простим.

Прості числа Мерсенна

Числа Мерсенна є добре відомими у зв'язку з ефективним тестом простоти Люка — Лемера, завдяки якому прості числа Мерсенна давно утримують лідерство як найвідоміші прості числа. Станом на жовтень 2024 року найбільшим відомим простим числом є число Мерсенна $M_{136279841}=2^{136279841}-1$, знайдене 12 жовтня 2024 року в рамках проєкту розподілених обчислень GIMPS. Загалом відомо 52 простих числа Мерсенна, з них 18 були знайдені в ході проєкту GIMPS, при чому порядкові номери точно встановлені лише у перших 48.

Послідовність простих чисел Мерсенна і їх показників починається так:

$M_{p}$: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, … (послідовність A000668 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

$p$: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, … (послідовність A000043 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Відкриті проблеми

• Нескінченність кількості простих чисел Мерсенна і їх асимптотика
• Простота числа $M_{M_{61}}=2^{2^{61}-1}-1$

Факторизація чисел Мерсенна

p	Mp	Факторизація Mp
11	2047	23 × 89
23	8 388 607	47 × 178 481
29	536 870 911	233 × 1103 × 2089
37	137 438 953 471	223 × 616 318 177
41	2 199 023 255 551	13 367 × 164 511 353
43	8 796 093 022 207	431 × 9719 × 2 099 863
47	140 737 488 355 327	2351 × 4513 × 13 264 529
53	9 007 199 254 740 991	6361 × 69 431 × 20 394 401
59	57 646 075 230 343 487	179 951 × 3 203 431 780 337 (13 цифр)
67	147 573 952 589 676 412 927	193 707 721 × 761 838 257 287 (12 цифр)
71	2 361 183 241 434 822 606 847	228 479 × 48 544 121 × 212 885 833
73	9 444 732 965 739 290 427 391	439 × 2 298 041 × 9 361 973 132 609 (13 цифр)
79	604 462 903 807 314 587 353 087	2687 × 202 029 703 × 1 113 491 139 767 (13 цифр)
83	967140655691…033397649407	167 × 57 912 614 113 275 649 087 721 (23 цифр)
97	158456325028…187087900671	11 447 × 13 842 607 235 828 485 645 766 393 (26 цифр)
101	253530120045…993406410751	7 432 339 208 719 (13 цифр) × 341 117 531 003 194 129 (18 цифр)
103	101412048018…973625643007	2 550 183 799 × 3 976 656 429 941 438 590 393 (22 цифри)
109	649037107316…312041152511	745 988 807 × 870 035 986 098 720 987 332 873 (24 цифри)
113	103845937170…992658440191	3391 × 23 279 × 65 993 × 1 868 569 × 1 066 818 132 868 207 (16 цифр)
131	272225893536…454145691647	263 × 10 350 794 431 055 162 386 718 619 237 468 234 569 (38 цифр)

Див. також

• Вихор Мерсенна
• Стала Ердеша — Борвейна

Посилання

• Mersenne Numbers
• Double Mersenne Numbers
• Mersenne Primes: History, Theorems and Lists
• Найбільші відомі прості числа