Фактор-модуль

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У абстрактній алгебрі фактор-модулем називається новий модуль, який можна визначити для довільного модуля над кільцем i його підмодуля. Побудова фактор-модуля є аналогом побудови факторм-ножини, фактор-групи, фактор-кільця і фактор-простору.

Означення

[ред. | ред. код]

Нехай дано (лівий) модуль над кільцем і його підмодуль . На можна ввести відношення еквівалентності:

якщо і тільки якщо

для будь-яких . Елементами множини є класи еквівалентності

.

Сума двох класів еквівалентності у є класом еквівалентності еквівалентності суми представників двох класів; в схожий спосіб можна ввести множення на елементи . Конкретно:

i

для будь-яких і .

Таким чином отримує структуру модуля над Цей модуль називається фактор-модулем модуля по підмодулю .

Приклади

[ред. | ред. код]
  • M/M є тривіальним модулем {0}.
  • M/{0} є ізоморфним M.
  • Нехай — кільце дійсних чисел i кільце многочленів з дійсними коефіцієнтами, що, очевидно, є -модулем. Розглянемо підмодуль
модуля тобто підмодуль всіх многочленів, що діляться на . Відношення еквівалентності для цих модулів задається як:
якщо і тільки якщо залишки від ділення і на є однаковими.
Зокрема у фактор-модулі многочлен переходить у той же клас, що і i фактор-модуль можна розглядати як похідний від при ототожненні . Фактор-модуль є ізоморфним із дійсним векторним простором комплексних чисел.

Властивості

[ред. | ред. код]
  • Фактор-модуль є гомоморфним образом модуля для гомоморфізма ядро якого є рівним і яке можна записати як
.
Відображення називається проєкцією модуля на фактор-модуль .
  • Теореми про ізоморфізми: для двох підмодулів модуля :
    .
для підмодуля виконується
.
  • Кожен гомоморфізм R-модулів ядро якого містить N у єдиний спосіб розкладається через M/N, тобто існує єдиний гомоморфізм R-модулів для якого .
Навпаки, нехай існує R-модуль P і сюр'єктивний гомоморфізм Якщо для кожного гомоморфізма R-модулів ядро якого містить N існує єдиний гомоморфізм для якого то . Таким чином дана властивість повністю характеризує фактор-модуль. Вона називається універсальною характеристикою модуля.
  • Фактор-модулями скінченнопороджених модулів і модулів скінченної довжини є скінченнопороджені модулі і модулі скінченної довжини.
  • Нехай — два модулі над комутативним кільцем і — їх підмодулі. Тоді для тензорного добутку виконується властивість де — підмодуль у породжений елементами виду і для довільних
  • Якщо — мультиплікативна множина у комутативному кільці то для локалізації
  • Якщо є -алгеброю (асоціативною з одиницею), то
    ,
де є образом у .
  • Якщо є (двостороннім) ідеалом у , то фактор-модуль є фактор-кільцем .

Література

[ред. | ред. код]
  • Dauns, John (1994). Modules and rings. Cambridge University Press. ISBN 9780521462587.
  • Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (вид. 3rd). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.