SO(8)

SO(8) — спеціальна ортогональна група восьмивимірного евклідового простору.

Властивості

• SO(8) — дійсна проста група Лі ранга 4 і розмірності 28.
• SO(8), як і всі спеціальні ортогональні групи при $n>2$, неоднозв'язна, та її фундаментальна група ізоморфна Z₂.
  • універсальне накриття SO(8) — спінорна група Spin(8).
• центр SO(8) ізоморфний Z₂, він включає дві матриці {±I} (як і для SO(n) при 2n > 2).
  • Центр Spin(8) ізоморфний Z₂×Z₂ (як і для всіх Spin(4n), 4n > 0).

Діаграма Динкіна SO(8), (D₄)

• SO(8) займає особливе місце серед простих груп Лі, оскільки її діаграма Динкіна (дивись малюнок) (D ₄) має триразові симетрії. У цьому причина особливого властивості Spin (8), відомого як потрійність. З цим пов'язані, наприклад, такі факти:
  • Два спінорних представлення, а також фундаментальне векторне представлення Spin (8) — восьмивимірне (для всіх інших Spin-груп спінорного представлення має розмірність або більшу, або меншу, ніж векторне).
  • Троїстий автоморфізм Spin (8) — група зовнішніх автоморфізмів Spin (8) ізоморфна симетричній групі S ₃, вона переставляє ці три представлення.
  • Група автоморфізмів діє на центрі Z₂ х Z₂ (який також має групу автоморфізмів, ізоморфну S₃, які можуть також розглядатися як загальна лінійна група над скінченним полем з двох елементів, S₃ ≅GL(2,2)).
• Група Вейля SO(8) має 4!×8=192 елементів.
• Система коренів SO(8):

  $(\pm 1,0,0,\pm 1)$

  $(0,\pm 1,\pm 1,0)$

  $(0,\pm 1,0,\pm 1)$

  $(0,0,\pm 1,\pm 1)$

  $(0,\pm 1,0,\pm 1)$

  $(0,0,\pm 1,\pm 1)$

• Матриця Картана SO(8):

  ${\begin{pmatrix}2&-1&-1&-1\\-1&2&0&0\\-1&0&2&0\\-1&0&0&2\end{pmatrix}}$

Посилання

• Adams, J.F. (1996), Lectures on exceptional Lie groups, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, ISBN 0-226-00526-7
• Chevalley, Claude (1997), The algebraic theory of spinors and Clifford algebras, Collected works, т. 2, Springer-Verlag, ISBN 3-540-57063-2 (originally published in 1954 by Columbia University Press)
• Porteous, Ian R. (1995), Clifford algebras and the classical groups, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 50, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55177-3