Son

Son — matematikaning asosiy tushunchalaridan biri. Narsalarni sanashga boʻlgan ehtiyoj tufayli eng sodda koʻrinishda ibtidoiy jamoa davrida vujudga kelgan, insoniyat faoliyati doirasining kengayishi bilan takomillashgan. Dastlab, butun musbat (natural) sonlar, keyinchalik cheksiz natural sonlar qatori (1, 2, 3, 4, 5…) tushunchasi kelib chiqdi. Natural va tub sonlar qatorlarining cheksizligi hamda yetarlicha katta sonlarni nomlash, belgilash masalalari miloddan avvalgi 3-asrdayoq yunon matematiklari Yevklid va Arximedning asarlarida taxlil qilingan. Sonlar ustidagi toʻrt amal qoidalarini oʻrganish bilan arifmetika shugʻullanadi.

100 raqam maydoni

Kompleks sonlarning kichik toʻplamlari

Kelib chiqishi

Son tushunchasining takomillashishi kasr son tushunchasini kiritish bilan boshlandi. Kasr son biror miqdorni oʻlchash, yaʼni bu miqdorni boshqa bir miqdor — oʻlchov bilan taqqoslash natijasida kelib chiqqan. Son tushunchasining keyingi takomillashishi fan rivojining natijasidir. Masalan, algebraning taraqqiyoti manfiy sonlar tushunchasiga olib keldi. 6—12 asrlarda hindlar masalalar yechishda manfiy sonlarni qoʻllagan edilar. Son tushunchasining rivojlanishiga oʻrta asr Sharq matematiklari ham katta hissa qoʻshdilar. Yevropada manfiy sonlarni birinchi marta René Descartes kiritdi. Hamma butun, kasr (shu kabi $\left({\tfrac {1}{2}}\right)$) (musbat ham manfiy) sonlar va nol — ratsional sonlar deyiladi. Uzluksiz ravishda oʻzgaradigan miqdorlarni oʻrganish uchun irratsional son tushunchasi kiritiladi. 18—19-asrlarda algebrada tenglamalar nazariyasining rivojlanishi kompleks sonlar tushunchasiga olib keldi. Son tushunchasini va uning xossalarini 19-asrda nemis matematiklari G. Kantor, R. Dedekind, K. Veyershtrass va italiyalik matematik J. Peano oʻz ishlarida toʻla asoslab berdilar.

Sonlar toʻplamlari

• Natural sonlar — sanash (sanoq) uchun ishlatiladigan sonlar: $\mathbb {N} =\left\{1,2,3,...\right\}.$ [ 0(nol) natural son emas]. Natural sonlar toʻplami $\mathbb {N}$ harfi bilan belgilanadi.
• Butun sonlar — natural sonlar va ularga qarama-qarashi sonlar hamda nol birgalikda butun sonlarni tashkil qiladi. Musbat va manfiy sonlar ham shu butun sonlar roʻyhatiga kiradi. Butun sonlar toʻplami Z(zet) harfi bilan belgilanadi. $\mathbb {Z} =\{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}$
• Ratsional sonlar — ikki butun sonning nisbati sifatida ifodalanadigan sonlar yaʼni kasr sonlar. Ratsional sonlar Q harfi bilan belgilanadi $\mathbb {Q} =\{{\frac {a}{b}}:a\in \mathbb {Z} ,b\in \mathbb {N} ^{+}\}\,\!$,
• Haqiqiy sonlar — ratsional sonlar va irratsional sonlar toʻplamining birlashmasi. Haqiqiy sonlar toʻplami son oʻqi deb ham ataladi va $\mathbb {R}$ bilan belgilanadi.
• Kompleks sonlar — $a+bi$ koʻrinishidagi sonlar, bunda $a$ va $b$ haqiqiy sonlar, $i$ esa mavhum birlik. $i^{2}=-1$ shartni qanoatlantiruvchi mavhum birlikda kompleks sonning haqiqiy qismi, b esa mavhum qismi deyiladi; b=Q boʻlganda Kompleks son haqiqiy, feO va a=0 boʻlganda Kompleks son — sof mavhum son boʻladi. Kompleks sonlar toʻplami $\mathbb {C}$ harfi bilan belgilanadi.

                           $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$

Havolalar

• [1] Математика. Большая советская энциклопедия. Электронная версия.

Adabiyotlar

• Меннингер К.. История цифр. Числа, символы, слова. М.: ЗАО Центрполиграф, 2011. ISBN 9785952449787. 
• Понтрягин Л. С.. Обобщения чисел, Библиотечка «Квант». М.: Наука, 1986. 
• Ifrah G.. The Universal History of Numbers. John Wiley & Sons, 2000. ISBN 0471393401. ^(ingl.)