Phân hoạch (lý thuyết số)

Các phần số n với hạng lớn nhất k

Trong số học, sự phân hoạch một số nguyên dương n là cách viết số đó dưới dạng tổng của các số nguyên dương. Hai cách phân hoạch có các số hạng giống nhau nhưng thứ tự trong tổng khác nhau vẫn được coi chung là một cách phân hoạch. Số lượng các cách phân hoạch số n được tính bởi hàm phân hoạch, ký hiệu là p(n).

Ví dụ

Số 4 có 5 cách phân hoạch:

1. 4
2. 3 + 1
3. 2 + 2
4. 2 + 1 + 1
5. 1 + 1 + 1 + 1

Số 8 có 22 cách phân hoạch:

1. 8
2. 7 + 1
3. 6 + 2
4. 6 + 1 + 1
5. 5 + 3
6. 5 + 2 + 1
7. 5 + 1 + 1 + 1
8. 4 + 4
9. 4 + 3 + 1
10. 4 + 2 + 2
11. 4 + 2 + 1 + 1
12. 4 + 1 + 1 + 1 + 1
13. 3 + 3 + 2
14. 3 + 3 + 1 + 1
15. 3 + 2 + 2 + 1
16. 3 + 2 + 1 + 1 + 1
17. 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
18. 2 + 2 + 2 + 2
19. 2 + 2 + 2 + 1 + 1
20. 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1
21. 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
22. 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Hàm phân hoạch

Hàm phân hoạch dùng để tính số lượng cách phân hoạch một số nguyên n. Ví dụ có 5 cách phân hoạch số 4 như sau: 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2, 1 + 3, 2 + 2, 4, nên p(4)=5. Quy ước, p(0)=0 và p(n)=0 với mọi n nguyên âm. Hàm phân hoạch có thể được hình dung thông qua biểu đồ Young.

Thuật toán tính hàm phân hoạch

Một cách để tính hàm phân hoạch là thông qua các hàm trung gian được ký hiệu p(k,n),(n, k là số nguyên dương). p(k,n) là hàm đếm số số cách phân hoạch số n bằng các số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng k. Với mọi giá trị k, số cách phân hoạch được đếm bởi p(k,n) gồm hai loại:

• Cách phân hoạch có hạng tử nhỏ nhất bằng k.
• Cách phân hoạch có hạng tử nhỏ nhất lơn hơn k.

Trường hợp thứ nhất có giá trị bằng p(k,n-k). Để hiểu điều này, hãy lập ra một bảng các cách phân hoạch của p(k,n-k). Sau đó thêm "+k" vào mỗi cách phân hoạch.

Trường hợp thứ hai có giá trị bằng p(k+1,n).

Vậy p(k,n)=p(k,n-k)+p(k+1,n).

Quy ước:

nếu k>n thì p(k,n)=0.
nếu k=n thì p(k,n)=1.

Một số giá trị p(k,n):

		k
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	1	1
	2	2	1
	3	3	1	1
	4	5	2	1	1
	5	7	2	1	1	1
	6	11	4	2	1	1	1
	7	15	4	2	1	1	1	1
	8	22	7	3	2	1	1	1	1
	9	30	8	4	2	1	1	1	1	1
	10	42	12	5	3	2	1	1	1	1	1

Tham khảo

• George E. Andrews, The Theory of Partitions (1976), Cambridge University Press. ISBN 0-521-63766-X .
• Apostol, Tom M. (1990) [1976]. Modular functions and Dirichlet series in number theory. Graduate Texts in Mathematics. 41 (ấn bản thứ 2). New York etc.: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97127-0. Zbl 0697.10023. (See chapter 5 for a modern pedagogical intro to Rademacher's formula).
• Bản mẫu:Hardy and Wright
• Lehmer, D. H. (1939). “On the remainder and convergence of the series for the partition function”. Trans. Amer. Math. Soc. 46: 362–373. doi:10.1090/S0002-9947-1939-0000410-9. MR 0000410. Zbl 0022.20401. Provides the main formula (no derivatives), remainder, and older form for A_k(n).)
• Gupta, Gwyther, Miller, Roy. Soc. Math. Tables, vol 4, Tables of partitions, (1962) (Has text, nearly complete bibliography, but they (and Abramowitz) missed the Selberg formula for A_k(n), which is in Whiteman.)
• Macdonald, Ian G. (1979). Symmetric functions and Hall polynomials. Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press. ISBN 0-19-853530-9. Zbl 0487.20007. (See section I.1)
• Nathanson, M.B. (2000). Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 195. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98912-9. Zbl 0953.11002.
• Ken Ono, Distribution of the partition function modulo m, Annals of Mathematics 151 (2000) pp 293–307. (This paper proves congruences modulo every prime greater than 3)
• Sautoy, Marcus Du. The Music of the Primes. New York: Perennial-HarperCollins, 2003.
• Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Volumes 1 and 2. Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-56069-1
• Whiteman, A. L. (1956). A sum connected with the series for the partition function. Pacific Journal of Math. 6. tr. 159–176. Zbl 0071.04004. (Provides the Selberg formula. The older form is the finite Fourier expansion of Selberg.)
• Hans Rademacher, Collected Papers of Hans Rademacher, (1974) MIT Press; v II, p 100–107, 108–122, 460–475.
• Miklós Bóna (2002). A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration and Graph Theory. World Scientific Publishing. ISBN 981-02-4900-4. (qn elementary introduction to the topic of integer partition, including a discussion of Ferrers graphs)
• George E. Andrews, Kimmo Eriksson (2004). Integer Partitions. Cambridge University Press. ISBN 0-521-60090-1.
• 'A Disappearing Number', devised piece by Complicite, mention Ramanujan's work on the Partition Function, 2007

Liên kết ngoài

• Partition and composition calculator
• First 4096 values of the partition function
• An algorithm to compute the partition function
• Weisstein, Eric W., "Partition" từ MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Partition Function P" từ MathWorld.
• Pieces of Number from Science News Online
• Lectures on Integer Partitions by Herbert S. Wilf
• Counting with partitions with reference tables to the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Integer::Partition Perl module from CPAN
• Fast Algorithms For Generating Integer Partitions Lưu trữ 2009-02-20 tại Wayback Machine
• Generating All Partitions: A Comparison Of Two Encodings
• Amanda Folsom, Zachary A. Kent, and Ken Ono, l-adic properties of the partition function. In press.
• Jan Hendrik Bruinier and Ken Ono, An algebraic formula for the partition function. In press.