吉よし布ぬの士し熵

統計とうけい力學りきがく入いれ面めん，吉よし布ぬの士し熵（英文えいぶん：Gibbs entropy）係がかり平衡へいこう態たい下しも體系たいけい熵嘅一いち條じょう通用つうよう表ひょう達たち式しき。如果體系たいけい有ゆう$n$個こ能のう級きゅう，佔第$i$個こ能のう級きゅう嘅機き率りつ係かかり$p_{i}$，噉體系けい嘅熵就係

$S=-k_{\text{B}}\,\sum _{i=1}^{n}p_{i}\ln \,p_{i},$

其中$k_{\text{B}}$係かかり波なみ茲曼常數じょうすう，爾しか條じょう式しき叫さけべ做吉布ぬの士し熵公式しき。

導しるべ引

可か以用系けい綜嘅方法ほう來らい推出吉きち布ぬの士し熵公式しき。

考慮こうりょ由よし$N$個こ同どう我わが哋考察嘅體系たいけい相しょう同どう嘅體系けい組成そせい嘅系綜。達いたる到いた平衡へいこう態たい嗰時，最さい有ゆう可能かのう出現しゅつげん嘅情況きょう係がかり，有ゆう$N_{i}=p_{i}N$個體こたい系けい處しょ於第$i$個こ能のう級きゅう。 爾なんじ種しゅ情況じょうきょう出現しゅつげん嘅可能かのう性せい遠とお遠大えんだい過か其它可能かのう性せい，根據こんきょ摘取つみと最大さいだい項こう原理げんり，喺波なみ茲曼熵公式しき$S=k_{\text{B}}\ln W$入いれ面めん計算けいさん$W$嘅時候じこう可か以衹考慮こうりょ爾なんじ一いち項こう嘅貢獻こうけん，根據こんきょ組合くみあい數學すうがく，有ゆう：

$W\approx {\frac {N!}{\prod _{i=1}^{n}N_{i}!}}.$

用よう斯特靈れい公式こうしき

$\ln(n!)=n\ln(n)-n+O(\ln n),$

有ゆう：

$\ln W=N\ln N-\sum _{i=1}^{n}N_{i}\ln N_{i}+O(\ln N)=O(\ln N)+\sum _{i=1}^{n}N_{i}(\ln N-\ln N_{i})=O(\ln N)-N\sum _{i=1}^{n}p_{i}\ln p_{i},$

於是成なり個こ系けい綜嘅熵就係がかり：

$S_{N}=k_{\text{B}}\ln W=k_{\text{B}}\left[O(\ln N)-N\sum _{i=1}^{n}p_{i}\ln p_{i}\right],$

因いん為ため熵係廣こう延のべ量りょう，而且組成そせい系けい綜嘅各個かっこ體系たいけい相しょう同どう，所以ゆえん單たん個體こたい系けい嘅熵就係：

$S={\frac {k_{\text{B}}}{N}}\left[O(\ln N)-N\sum _{i=1}^{n}p_{i}\ln p_{i}\right]=-k_{\text{B}}\,\sum _{i=1}^{n}p_{i}\ln \,p_{i}.$

爾しか個こ就係吉きち布ぬの士し熵公式しき。