Killing 式しき

Killing 式しき (Killing form)係かかり一いち李り代數だいすうL上うえ定義ていぎ嘅對稱たいしょう雙そう線せん性せい式しき(en:symmetric bilinear form)；佢有種しゅL-唔變 (L-invariance)性質せいしつ。Killing 式しき係がかり分析ぶんせき李り代數だいすう(尤ゆう其係半はん單たん李り代數だいすう) L 結構けっこう同どう埋うめ研究けんきゅう佢嘅表示ひょうじ論ろん嘅基本きほん結構けっこう。

定義ていぎ

設しつらえ

• $F$ 係かかり域いき
• $L$ 係かかり任にん何なに $F$ 上うえ嘅李代數だいすう
• $\operatorname {ad} :L\rightarrow End(L)$係かかり伴ばん隨ずい表示ひょうじ(en:adjoint representation)
• $Tr:End(L)\rightarrow F$ 係かかり跡あと (en:trace, de:Spur)
• $x,y\in L$

咁 Killing 式しき $k$ 係かかり雙そう線せん性せい式しき:

• $k:L\otimes L\rightarrow F$
• $k(x,y):=Tr(\operatorname {ad} x\operatorname {ad} y)$

性質せいしつ

• 結合けつごう性せい(en:associativity)： $k([x,y],z)=k(x,[y,z])$
• 李り代數だいすう嘅 Killing 式しき唔退化か if and only if 佢係半はん單たん李り代數だいすう。
• 緊緻李り代數だいすう嘅 Killing 式しき係がかり負ふ定じょう嘅。

參まいり攷

• J.-P. Serre, Complex semi-simple Lie algebras
• James E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory , ISBN 978-0-387-90053-7