算 さん 术-几何平均 へいきん 值不等式 とうしき ,簡稱算 さん 几不等式 とうしき ,是 ぜ 一个常见而基本的不等式 ふとうしき ,表 おもて 现算 さん 术平均 へいきん 数 すう 和 わ 几何平均 へいきん 数 すう 之 これ 间恒定 じょう 的 てき 不等 ふとう 关系。设
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
为
n
{\displaystyle n}
个正实数 ,它们的 てき 算 さん 术平均 へいきん 数 すう 是 これ
A
n
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
{\displaystyle \mathbf {A} _{n}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}
,它们的 てき 几何平均 へいきん 数 すう 是 これ
G
n
=
x
1
⋅
x
2
⋯
x
n
n
{\displaystyle \mathbf {G} _{n}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}}
。算 さん 术-几何平均 へいきん 值不等式 とうしき 表明 ひょうめい ,对任意 にんい 的 てき 非 ひ 负实数
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
:
A
n
≥
G
n
{\displaystyle \mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}}
等号 とうごう 成立 せいりつ 当 とう 且仅当 とう
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
n
{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}
。
通常 つうじょう 用 よう 于两个数之 の 间,设这两个数 すう 为
a
{\displaystyle a}
和 わ
b
{\displaystyle b}
,也就是 ぜ
a
+
b
2
⩾
a
b
{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geqslant {\sqrt {ab}}}
算 さん 术-几何平均 へいきん 值不等式 とうしき 仅适用 よう 于正实数,是 ぜ 对数函数 かんすう 之 これ 凹性 的 てき 体 からだ 现,在 ざい 数学 すうがく 、自然 しぜん 科学 かがく 、工程 こうてい 科学 かがく 以及经济学 がく 等 とう 其它学科 がっか 都 と 有 ゆう 应用。
算 さん 术-几何平均 へいきん 值不等式 とうしき 有 ゆう 時 じ 被 ひ 称 しょう 为平均 へいきん 值不等式 とうしき (或 ある 均 ひとし 值不等式 とうしき ),其實后 きさき 者 しゃ 是 ぜ 一组更廣泛的不等式。
历史上 じょう ,算 さん 术-几何平均 へいきん 值不等式 とうしき 拥有众多证明。
n
=
2
{\displaystyle n=2}
的 てき 情 じょう 况很早 さ 就为人 じん 所 しょ 知 ち ,但 ただし 对于一般 いっぱん 的 てき
n
{\displaystyle n}
,不等式 ふとうしき 并不容易 ようい 证明。1729年 ねん ,英国 えいこく 数学 すうがく 家 か 麦 むぎ 克 かつ 劳林最早 もはや 给出一般情况的证明,用 よう 的 てき 是 ぜ 调整法 ほう ,然 しか 而这个证明 あかり 并不严谨,是 ぜ 错误的 てき 。
1821年 ねん ,法 ほう 国 こく 数学 すうがく 家 か 柯西 在 ざい 他 た 的 てき 著作 ちょさく 《分析 ぶんせき 教程 きょうてい 》中 ちゅう 给出一 いち 个使用 しよう 逆 ぎゃく 向 こう 归纳法 ほう 的 てき 证明[1] :
命 いのち 题
P
n
{\displaystyle P_{n}}
:对
任意 にんい 的 てき
n
{\displaystyle n}
个正实数
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
,
A
n
≥
G
n
{\displaystyle \mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}}
当 とう
n
=
2
{\displaystyle n=2}
时,
P
2
{\displaystyle P_{2}}
显然成立 せいりつ 。假 かり 设
P
n
{\displaystyle P_{n}}
成立 せいりつ ,那 な 么
P
2
n
{\displaystyle P_{2n}}
成立 せいりつ 。证明:对于
2
n
{\displaystyle 2n}
个正实数
x
1
,
⋯
,
x
n
,
y
1
,
⋯
,
y
n
{\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n},y_{1},\cdots ,y_{n}}
,
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
+
y
1
+
⋯
y
n
2
n
=
1
2
(
x
1
+
⋯
+
x
n
n
+
y
1
+
⋯
+
y
n
n
)
{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+y_{1}+\cdots y_{n}}{2n}}=\ {\frac {1}{2}}\left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}+{\frac {y_{1}+\cdots +y_{n}}{n}}\right)}
≥
1
2
(
x
1
⋅
x
2
⋯
x
n
n
+
y
1
⋅
y
2
⋯
y
n
n
)
≥
x
1
⋅
x
2
⋯
x
n
n
⋅
y
1
⋅
y
2
⋯
y
n
n
{\displaystyle \geq \ {\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}+{\sqrt[{n}]{y_{1}\cdot y_{2}\cdots y_{n}}}\right)\geq \ {\sqrt {{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}\cdot {\sqrt[{n}]{y_{1}\cdot y_{2}\cdots y_{n}}}}}}
=
x
1
⋅
x
2
⋯
x
n
y
1
⋅
y
2
⋯
y
n
2
n
{\displaystyle =\ {\sqrt[{2n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}y_{1}\cdot y_{2}\cdots y_{n}}}}
假 かり 设
P
n
{\displaystyle P_{n}}
成立 せいりつ ,那 な 么
P
n
−
1
{\displaystyle P_{n-1}}
成立 せいりつ 。证明:对于
n
−
1
{\displaystyle n-1}
个正实数
x
1
,
⋯
,
x
n
−
1
{\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n-1}}
,设
A
n
−
1
=
x
1
+
⋯
+
x
n
−
1
n
−
1
{\displaystyle \mathbf {A} _{n-1}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}
,
G
n
−
1
=
x
1
⋅
x
2
⋯
x
n
−
1
n
−
1
{\displaystyle \mathbf {G} _{n-1}={\sqrt[{n-1}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n-1}}}}
,那 な 么由于
P
n
{\displaystyle P_{n}}
成立 せいりつ ,
x
1
+
⋯
+
x
n
−
1
+
A
n
−
1
n
≥
x
1
⋅
x
2
⋯
x
n
−
1
A
n
−
1
n
{\displaystyle {\frac {x_{1}+\cdots +x_{n-1}+\mathbf {A} _{n-1}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n-1}\mathbf {A} _{n-1}}}}
。
但 ただし 是 これ
x
1
+
⋯
+
x
n
−
1
=
(
n
−
1
)
A
n
−
1
{\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{n-1}=(n-1)\mathbf {A} _{n-1}}
,
x
1
⋅
x
2
⋯
x
n
−
1
=
G
n
−
1
n
−
1
{\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n-1}=\mathbf {G} _{n-1}^{n-1}}
,因 いん 此上式 しき 正 せい 好 こう 变成
A
n
−
1
n
≥
G
n
−
1
n
−
1
A
n
−
1
{\displaystyle \mathbf {A} _{n-1}^{n}\geq \mathbf {G} _{n-1}^{n-1}\mathbf {A} _{n-1}}
也就是 ぜ 说
A
n
−
1
≥
G
n
−
1
{\displaystyle \mathbf {A} _{n-1}\geq \mathbf {G} _{n-1}}
综上可 か 以得到 いた 结论:对任意 にんい 的 てき 自然 しぜん 数 すう
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
,命 いのち 题
P
n
{\displaystyle P_{n}}
都 と 成立 せいりつ 。这是因 いん 为由前 ぜん 两条可 か 以得到 いた :对任意 にんい 的 てき 自然 しぜん 数 すう
k
{\displaystyle k}
,命 いのち 题
P
2
k
{\displaystyle P_{2^{k}}}
都 と 成立 せいりつ 。因 よし 此对任意 にんい 的 てき
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
,可 か 以先找
k
{\displaystyle k}
使 つかい 得 とく
2
k
≥
n
{\displaystyle 2^{k}\geq n}
,再 さい 结合第 だい 三条就可以得到命题
P
n
{\displaystyle P_{n}}
成立 せいりつ 了 りょう 。
使用 しよう 常 つね 规数学 がく 归纳法的 ほうてき 证明则有乔治·克 かつ 里 さと 斯托 (George Chrystal)在 ざい 其著作 ちょさく 《代数 だいすう 论》(Algebra )的 てき 第 だい 二 に 卷 かん 中 ちゅう 给出的 てき [2] :
于是完成 かんせい 了 りょう 从
n
{\displaystyle n}
到 いた
n
+
1
{\displaystyle n+1}
的 てき 证明。
此外还有更 さら 简洁的 てき 归纳法 ほう 证明[3] :
注意 ちゅうい 到 いた 几何平均 へいきん 数 すう
G
n
{\displaystyle \mathbf {G} _{n}}
实际上等 じょうとう 于
exp
(
ln
x
1
+
ln
x
2
+
⋯
+
ln
x
n
n
)
{\displaystyle \exp \left({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}\right)}
,因 いん 此算术-几何平均 へいきん 不等式 ふとうしき 等 とう 价于:
ln
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
≥
ln
x
1
+
ln
x
2
+
⋯
+
ln
x
n
n
{\displaystyle \ln {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}}
。
由 よし 于对数函数 かんすう 是 ぜ 一 いち 个凹函数 すう ,由 ゆかり 琴 きん 生 せい 不等式 ふとうしき 可知 かち 上 うえ 式 しき 成立 せいりつ 。
令 れい
b
i
=
a
i
G
n
(
i
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
,
n
)
{\displaystyle b_{i}={\frac {a_{i}}{{\mathbf {G} }_{n}}}(i=1,2,3,...,n)}
,于是有 ゆう
b
1
b
2
⋯
b
n
=
1
{\displaystyle b_{1}b_{2}\cdots b_{n}=1}
,再 さい 作 さく 代 だい 换
b
1
=
c
1
c
2
,
b
2
=
c
2
c
3
,
⋯
,
b
n
=
c
n
c
1
{\displaystyle b_{1}={\frac {c_{1}}{c_{2}}},b_{2}={\frac {c_{2}}{c_{3}}},\cdots ,b_{n}={\frac {c_{n}}{c_{1}}}}
,运用排 はい 序 じょ 不等式 ふとうしき 得 え 到 いた :
c
1
c
2
+
c
2
c
3
+
⋯
+
c
n
c
1
⩾
c
1
c
1
+
c
2
c
2
+
.
.
.
+
c
n
c
n
=
n
{\displaystyle {\frac {c_{1}}{c_{2}}}+{\frac {c_{2}}{c_{3}}}+\cdots +{\frac {c_{n}}{c_{1}}}\geqslant {\frac {c_{1}}{c_{1}}}+{\frac {c_{2}}{c_{2}}}+...+{\frac {c_{n}}{c_{n}}}=n}
,
于是得 え 到 いた
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
⩾
n
G
n
{\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\geqslant n{\mathbf {G} }_{n}}
,即 そく 原 げん 不等式 ふとうしき 成立 せいりつ 。
此外还有基 もと 于伯 はく 努 つとむ 利 とぎ 不等式 ふとうしき 或 ある 借 か 助 じょ 调整法 ほう 、辅助函数 かんすう 求 もとめ 导和加 か 强 きょう 命 いのち 题的证明。
算 さん 术-几何平均 へいきん 不等式 ふとうしき 有 ゆう 很多不同 ふどう 形式 けいしき 的 てき 推广。
加 か 权算术-几何平均 へいきん 不等式 ふとうしき
编辑
不 ふ 仅“均 ひとし 匀”的 てき 算 さん 术平均 へいきん 数 すう 和 わ 几何平均 へいきん 数 すう 之 の 间有不等式 ふとうしき ,加 か 权的算 さん 术平均 へいきん 数 すう 和 わ 几何平均 へいきん 数 すう 之 の 间也有 ゆう 不等式 ふとうしき 。设
x
1
,
⋯
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}}
和 わ
p
1
,
⋯
,
p
n
{\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n}}
为正实数,并且
p
1
+
p
2
⋯
+
p
n
=
1
{\displaystyle p_{1}+p_{2}\cdots +p_{n}=1}
,那 な 么:
p
1
x
1
+
p
2
x
2
⋯
+
p
n
x
n
≥
x
1
p
1
x
2
p
2
⋯
x
n
p
n
{\displaystyle p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\cdots +p_{n}x_{n}\geq x_{1}^{p_{1}}x_{2}^{p_{2}}\cdots x_{n}^{p_{n}}}
。
加 か 权算术-几何平均 へいきん 不等式 ふとうしき 可 か 以由琴 きん 生 せい 不等式 ふとうしき 得 え 到 いた 。
算 さん 术-几何平均 へいきん 不等式 ふとうしき 可 か 以看成 なり 是 ぜ 一 いち 维向 むかい 量 りょう 的 まと 系 けい 数 すう 的 てき 平均 へいきん 数 すう 不等式 ふとうしき 。对于二维的矩阵,一样有类似的不等式:
对于系 けい 数 すう 都 と 是正 ぜせい 实数的 てき 矩 のり 阵
[
a
11
⋯
a
1
k
⋮
⋱
⋮
a
n
1
⋯
a
n
k
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1k}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nk}\end{bmatrix}}}
设
A
j
=
1
n
∑
i
=
1
n
a
i
j
{\displaystyle A_{j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}}
,
G
i
=
∏
j
=
1
k
a
i
j
k
{\displaystyle G_{i}={\sqrt[{k}]{\prod _{j=1}^{k}a_{ij}}}}
,那 な 么有:
A
1
A
2
⋯
A
k
k
⩽
G
1
+
G
2
+
⋯
+
G
n
n
{\displaystyle {\sqrt[{k}]{A_{1}A_{2}\cdots A_{k}}}\leqslant {\frac {G_{1}+G_{2}+\cdots +G_{n}}{n}}}
也就是 ぜ 说:对
k
{\displaystyle k}
个纵列 れつ 取 と 算 さん 术平均 へいきん 数 すう ,它们的 てき 几何平均 へいきん 小 しょう 于等于对
n
{\displaystyle n}
个横行 おうこう 取的 とりてき
n
{\displaystyle n}
个几何 なん 平均 へいきん 数 すう 的 てき 算 さん 术平均 へいきん 。
也称为积分形式 けいしき :对任意 にんい 在 ざい 区 く 间
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
上 うえ 可 か 积的正 せい 值函数 すう
f
{\displaystyle f}
,都 みやこ 有 ゆう
∫
0
1
f
(
x
)
d
x
≥
exp
(
∫
0
1
ln
f
(
x
)
d
x
)
{\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)dx\geq \exp(\int _{0}^{1}\ln f(x)dx)}
这实际上是 ぜ 在 ざい 算 さん 术-几何平均 へいきん 值不等式 とうしき 取 と 成 なり
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
≥
exp
(
ln
x
1
+
ln
x
2
+
⋯
+
ln
x
n
n
)
{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq \exp({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}})}
后 きさき ,将 はた 两边的 てき 黎 はじむ 曼和中 なか 的 てき
n
{\displaystyle n}
趋于无穷大 だい 后 きさき 得 え 到 いた 的 てき 形式 けいしき 。
算數 さんすう -幾何 きか -調和 ちょうわ 平均 へいきん 值不等式 とうしき
编辑
若 わか 再 さい 規定 きてい
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
的 てき 调和平均 へいきん 数 すう
H
=
n
1
x
1
+
1
x
2
+
.
.
.
+
1
x
n
.
{\displaystyle H={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}.}
則 のり 有 ゆう
A
n
≥
G
n
≥
H
n
{\displaystyle \mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}\geq \mathbf {H} _{n}}
且等号 ごう 依 よ 舊 きゅう 成立 せいりつ 当 とう 且仅当 とう
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
n
{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}
。
證明 しょうめい 由 よし 算數 さんすう -幾何 きか 平均 へいきん 值不等式 とうしき 知 ち
1
x
1
+
1
x
2
+
.
.
.
+
1
x
n
n
≥
1
x
1
1
x
2
⋯
1
x
n
n
=
1
x
1
x
2
⋯
x
n
n
{\displaystyle {\frac {{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{{\frac {1}{x_{1}}}{\frac {1}{x_{2}}}\cdots {\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}}
故 こ
x
1
x
2
⋯
x
n
n
≥
n
1
x
1
+
1
x
2
+
.
.
.
+
1
x
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}}
即 そく
G
n
≥
H
n
{\displaystyle \mathbf {G} _{n}\geq \mathbf {H} _{n}}
且等號 ごう 成立 せいりつ 於
1
x
1
=
1
x
2
=
⋯
=
1
x
n
{\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}={\frac {1}{x_{2}}}=\cdots ={\frac {1}{x_{n}}}}
即 そく
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
n
{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}
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