不等ふとう

数学すうがく上うえ，不等ふとう是ぜ表明ひょうめい两个对象的てき大小だいしょう或ある者もの顺序的てき二元にげん关系，与あずか相等そうとう相あい对。不等ふとう关系主要しゅよう有ゆう四よん种：

• $a<b$，即そく$a$小しょう于$b$
• $a>b$，即そく$a$大だい于$b$

上述じょうじゅつ两个属ぞく于严格不等ふとう。

• $a\leq b$，即そく$a$小しょう于等于$b$
• $a\geq b$，即そく$a$大だい于等于$b$
• $a\neq b$，即そく$a$不等ふとう于$b$

将はた两个表おもて达式用もちい不等ふとう符号ふごう连起来らい，就构成なり了りょう不等式ふとうしき。

若わか不等ふとう关系对变量的りょうてき所有しょゆう元素げんそ都と成立せいりつ，则称其为“绝对的てき”或ある“无条件じょうけん的てき”。若わか不等ふとう关系只ただ对变量的りょうてき部分ぶぶん取と值成立せいりつ，而对另一部分将改变方向或失效，则称为条件じょうけん不等ふとう。

不等式ふとうしき两边同どう时加或ある减相同どう的まと数すう，或ある者もの两边同どう时乘以或除じょ以同一いち个正数すう，不等ふとう关系不ふ变。不等式ふとうしき两边同どう时乘以或除じょ以同一いち个负数，不等ふとう关系改あらため变方向ほうこう。

符号ふごう$a\gg b$表示ひょうじ$a$“远大于”$b$。其含义是不ふ确定的てき，可か以是 100 倍ばい的てき差さ异，也可能かのう是ぜ10个数量すうりょう级的差さ异。和わ方かた程ほど相あい联系，它被用よう来らい给出一个非常大的值而使方程的输出满足一个特定的结果。

性せい质

不等ふとう具有ぐゆう下か列れつ性せい质：

三さん一いち律りつ：

对任意にんい实数$a$、$b$，只ただ有ゆう下か列れつ之の一いち是ぜ真しん的てき：

• $a<b$
• $a=b$
• $a>b$

調しらべ換かわ性質せいしつ：

對たい任意にんい實數じっすう$a$、$b$：

• $a<b$ 和わ $b>a$ 是ぜ等價とうか的てき。
• $a\leq b$ 和わ $b\geq a$ 是ぜ等價とうか的てき。

传递性せい：

对任意にんい实数$a$、$b$、$c$：

• 如果 $a<b$ 且 $b<c$，则 $a<c$。
• 如果 $a\leq b$ 且 $b\leq c$，則のり $a\leq c$。
• 如果 $a<b$ 且 $b\leq c$，則のり $a<c$。
• 如果 $a\leq b$ 且 $b<c$，則のり $a<c$。

加法かほう性せい质：

对任意にんい实数$a$、$b$、$c$：

• 若わか $a>b$；则 $a+c>b+c$ 。
• 若わか $a<b$；则 $a+c<b+c$。

乘法じょうほう性せい质：

对任意にんい实数$a$、$b$、$c$，且有$c\neq 0$：

• 若わか$c$为 正数せいすう 且 $a>b$；则 $ac>bc$。
• 若わか$c$为 正数せいすう 且 $a<b$；则 $ac<bc$ 。
• 若わか$c$为 负数 且 $a>b$；则 $ac<bc$ 。
• 若わか$c$为 负数 且 $a<b$；则 $ac>bc$。

注意ちゅうい：当とう遇ぐう上じょう不等ふとう关系求もとめ解かい时，比ひ如已知ち $A>B$，$C>D$，不可ふか以认为 $A-C>B-D$，但ただし根據こんきょ此描述じゅつ可知かち $A-D>B-C$ 是ぜ真しん的てき。

鏈式表示法ひょうじほう

• $a<b<c$ 代表だいひょう「$a<b$ 且 $b<c$」。
• $a\leq b\leq c$ 代表だいひょう「$a\leq b$ 且 $b\leq c$」。
• $a<b\leq c$ 代表だいひょう「$a<b$ 且 $b\leq c$」。
• $a\leq b<c$ 代表だいひょう「$a\leq b$ 且 $b<c$」。

举例

• 若わか$x>0$ ；则

$x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}},$

• 若わか$x>0$；则

$x^{x^{x}}\geq x\,$

• 若わか$x,y,z>0$；则

$(x+y)^{z}+(x+z)^{y}+(y+z)^{x}>2\,$

• 若わか$x,y,z>0$；则

$x^{x}y^{y}z^{z}\geq (xyz)^{\frac {x+y+z}{3}},$

• 若わか$a,b>0$；则

$a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}\,$

• 若わか$a,b>0$；则

$a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}\,$

• 若わか$a,b,c>0$；则

$a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}\,$

• 若わか$a_{1},\ldots ,a_{n}>0$；则

$a_{1}^{a_{2}}+a_{2}^{a_{3}}+\cdots +a_{n}^{a_{1}}>1$

• 對たい於實數すう $a$、$b$、$c$、$d$，若わか $a<b$ 且 $c<d$；則そく

  $a+c<b+d$

  例れい-1

  證明しょうめい
  $a<b$ (10) [前提ぜんてい] $c<d$ (15) [前提ぜんてい] $a-b<0$ (20) 源みなもと自じ (10) $0<d-c$ (25) 源みなもと自じ (15) (20) 及 (25) 經由けいゆ遞移性質せいしつ可か以得到いた $a-b<d-c$ (30) 源みなもと自じ (20) (25) $a-b+(b+c)<d-c+(b+c)$ (35) 源みなもと自じ (30) $a+c<b+d$ (40) 源みなもと自じ (35) [結論けつろん]

• 對たい於實數すう $a$、$b$、$c$、$d$，若わか $a<b$ 且 $c<d$；則そく

$a-d<b-c$

例れい-2

證明しょうめい
$a<b$ (45) [前提ぜんてい] $c<d$ (50) [前提ぜんてい] $-c>-d$ (55) 源みなもと自じ (50) $-d<-c$ (60) 源みなもと自じ (55) (45) 及 (60) 經由けいゆ (例れい-1) 可か以得到いた $a+(-d)<b+(-c)$ (65) 源みなもと自じ (45) (60) $a-d<b-c$ (70) 源みなもと自じ (65) [結論けつろん]

参まいり见

• 二元にげん关系
• 偏へん序じょ关系
• 不等號ふとうごう
• 不等式ふとうしき列れつ表ひょう