本文 ほんぶん 介 かい 绍联络的挠率,关于挠率
的 てき 其他
用法 ようほう ,
参 まいり 见
挠率 。
在 ざい 微分 びぶん 几何中 なか ,扭率 或 ある 稱 しょう 挠率 此一概念是刻画沿着曲线移 うつり 动的标架的 てき 扭曲或 ある 螺旋 らせん 的 てき 方法 ほうほう 。例 れい 如曲 きょく 线的挠率 ,出 で 现在弗 どる 莱纳公式 こうしき 中 なか ,量 りょう 化 か 了 りょう 一条曲线变化时关于它的切向量的扭曲程度(更 さら 确切的 てき 说弗 どる 莱纳标架 关于切 せつな 向 こう 量的 りょうてき 旋转)。在 ざい 曲面 きょくめん 的 てき 几何中 ちゅう ,“测地挠率”描述了 りょう 曲面 きょくめん 关于曲面 きょくめん 上 じょう 一条曲线的扭曲。相伴 しょうばん 的 てき 曲 きょく 率 りつ 概念 がいねん 度量 どりょう 了 りょう 沿着曲 きょく 线的活 かつ 动标架 か “没 ぼつ 有 ゆう 扭曲的 てき 转动”。
沿着测地线的挠率
更 さら 一般 いっぱん 地 ち ,在 ざい 装 そう 备一个仿射联络 (即 そく 切 きり 丛的 てき 一 いち 个联络 )的 てき 微 ほろ 分流 ぶんりゅう 形 がた 上 うえ ,挠率与 あずか 曲 きょく 率 りつ 构成了 りょう 联络的 てき 两个基本 きほん 不 ふ 变量。在 ざい 这种意 い 义下,挠率给出了 りょう 切 きり 空 そら 间 关于一 いち 条 じょう 曲 きょく 线平行 へいこう 移 うつり 动 怎样扭曲的 てき 内 ない 蕴刻画 が ;而曲率 りつ 描述了 りょう 切 きり 空 そら 间沿着 ぎ 曲 きょく 线怎样旋转。挠率可 か 具体 ぐたい 的 てき 描述为一个张量 ,或 ある 一 いち 个向 むかい 量 りょう 值2-形式 けいしき 。如果 ∇ 是 ぜ 微分 びぶん 流 りゅう 形 がた 上 じょう 一 いち 个联络,那 な 么挠率 りつ 张量用向 ようむき 量 りょう 场 X 与 あずか Y 表示 ひょうじ 定 てい 义为:
T
(
X
,
Y
)
=
∇
X
Y
−
∇
Y
X
−
[
X
,
Y
]
{\displaystyle T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]}
这里 [X ,Y ] 是 これ 向 むかい 量 りょう 场的李 り 括 くく 号 ごう 。
挠率在 ざい 测地线 几何的 てき 研究 けんきゅう 特 とく 别重要 じゅうよう 。给定一个参数化测地线系统,我 わが 们一定指定一族仿射联络具有这些测地线,但 ただし 是 ぜ 具有 ぐゆう 不同 ふどう 的 てき 挠率。具有 ぐゆう 惟 おもんみ 一 いち “吸收 きゅうしゅう 挠率”的 てき 联络,将 はた 列 れつ 维-奇 き 维塔联络 推广到其他,也许没 ぼつ 有 ゆう 度量 どりょう 的 てき 情 じょう 形 がた (比 ひ 如芬斯勒几何 なに )。吸收 きゅうしゅう 挠率在 ざい G-结构 与 あずか 嘉 よしみ 当 とう 等 とう 价方法 ほう 的 てき 研究 けんきゅう 中 ちゅう 也起着 ぎ 重要 じゅうよう 的 てき 作用 さよう 。挠率通 どおり 过关联的射影 しゃえい 联络在 ざい 研究 けんきゅう 测地线非参 さん 数 すう 族 ぞく 也很有用 ゆうよう 。在 ざい 相 あい 对论中 なか ,这种想 そう 法 ほう 以爱因斯坦-嘉 よしみ 当 とう 理 り 论 的 てき 形式 けいしき 提供 ていきょう 了 りょう 工具 こうぐ 。
设 M 是 ぜ 切 きり 丛上带有联络 ∇ 的 てき 流 りゅう 形 がた 。挠率张量 (有 ゆう 时也称 しょう 为嘉当 とう (挠率)张量)是 ぜ 一 いち 个向 むかい 量 りょう 值 2-形式 けいしき ,定 てい 义在向 むこう 量 りょう 场 X 于 Y 上 うえ
T
(
X
,
Y
)
:=
∇
X
Y
−
∇
Y
X
−
[
X
,
Y
]
,
{\displaystyle T(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]\ ,}
这里 [X ,Y ] 是 ぜ 两个向 むこう 量 りょう 场的李 り 括 くく 号 ごう 。由 ゆかり 莱布尼 あま 兹法则 ,对任何 なに 光 ひかり 滑 すべり 函数 かんすう f 有 ゆう T (fX ,Y ) = T (X ,fY ) = fT (X ,Y )。所以 ゆえん T 是 ぜ 一 いち 个张量 ,尽 つき 管 かん 是 ぜ 用 よう 非 ひ 张量的 てき 共 きょう 变导数 すう 定 てい 义的:它给出 で 了 りょう 切 きり 向 むこう 量 りょう 上 じょう 的 てき 一 いち 个 2 形式 けいしき ,但 ただし 共 きょう 变导数 すう 只 ただ 对向量 りょう 场有定 てい 义。
曲 きょく 率 りつ 和 わ 比 ひ 安 やす 基 もと 恒等 こうとう 式 しき
编辑
联络 ∇ 的 てき 曲 きょく 率 りつ 张量是 ぜ 一 いち 个映射 しゃ TM ∧ TM → End(TM ) ,定 てい 义在向 むこう 量 りょう 场 X , Y , 与 あずか Z 上 うえ
R
(
X
,
Y
)
Z
=
∇
X
∇
Y
Z
−
∇
Y
∇
X
Z
−
∇
[
X
,
Y
]
Z
.
{\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z\ .}
注意 ちゅうい ,对位于一 いち 点 てん 的 てき 向 むこう 量 りょう ,这个定 てい 义与这个向 むこう 量 りょう 如何 いか 扩张成 なり 一个向量场的方式无关(即 そく 定 てい 义了一 いち 个张量 りょう ,类似于挠率 りつ )。
比 ひ 安 やす 基 もと 恒等 こうとう 式 しき 联系了 りょう 曲 きょく 率 りつ 和 わ 挠率。[ 1] 将 はた X , Y 与 あずか Z 的 てき 循环求 もとめ 和 わ 记为
S
{\displaystyle {\mathfrak {S}}}
,例 れい 如
S
(
R
(
X
,
Y
)
Z
)
:=
R
(
X
,
Y
)
Z
+
R
(
Y
,
Z
)
X
+
R
(
Z
,
X
)
Y
.
{\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(R(X,Y)Z\right):=R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y\ .}
那 な 么下面 めん 的 てき 公式 こうしき 成立 せいりつ
1. 比 ひ 安 やす 基 もと 第 だい 一 いち 恒等 こうとう 式 しき :
S
(
R
(
X
,
Y
)
Z
)
=
S
(
T
(
T
(
X
,
Y
)
,
Z
)
+
(
∇
X
T
)
(
Y
,
Z
)
)
,
{\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(R(X,Y)Z\right)={\mathfrak {S}}\left(T(T(X,Y),Z)+(\nabla _{X}T)(Y,Z)\right)\ ,}
2. 比 ひ 安 やす 基 もと 第 だい 二 に 恒等 こうとう 式 しき :
S
(
(
∇
X
R
)
(
Y
,
Z
)
+
R
(
T
(
X
,
Y
)
,
Z
)
)
=
0
.
{\displaystyle {\mathfrak {S}}\left((\nabla _{X}R)(Y,Z)+R(T(X,Y),Z)\right)=0\ .}
挠率张量在 ざい 切 きり 丛的局部 きょくぶ 截面 的 てき 基 もと (e 1 , ..., e n ) 下 した 可 か 写 うつし 成分 せいぶん 量 りょう
T
c
a
b
{\displaystyle T^{c}{}_{ab}}
。令 れい X =e i ,Y =e j ,引入交换子 こ 系 けい 数 すう γ がんま k ij e k := [e i ,e j ]。那 な 么挠率 りつ 的 てき 分量 ぶんりょう 是 ぜ
T
k
i
j
:=
Γ がんま
k
i
j
−
Γ がんま
k
j
i
−
γ がんま
k
i
j
,
i
,
j
,
k
=
1
,
2
,
…
,
n
.
{\displaystyle T^{k}{}_{ij}:=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji}-\gamma ^{k}{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.}
如果基 もと 是 ぜ 和 かず 乐的 てき ,则李括 くく 号 ごう 变为零 れい ,
γ がんま
k
i
j
=
0
{\displaystyle \gamma ^{k}{}_{ij}=0}
,从而
T
k
i
j
=
2
Γ がんま
k
[
i
j
]
{\displaystyle T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}}
。特 とく 别地(见下),测地线方程 ほど 确定联络的 てき 对称部分 ぶぶん ,而挠率 りつ 张量确定反 はん 对称部分 ぶぶん 。
挠率形式 けいしき ,是 ぜ 挠率的 てき 另一种刻画 が ,适用于 M 的 てき 标架丛 FM 。这个主 しゅ 丛装 そう 备有一 いち 个联络形式 けいしき ω おめが ,一 いち 个 gl (n )-值的 1-形式 けいしき 将 はた 竖直向 むこう 量 りょう 映 うつ 到 いた gl (n ) 中 ちゅう 的 てき 右 みぎ 作用 さよう 的 てき 生成 せいせい 元 もと ,且通过在 gl (n ) 上 じょう 的 てき 伴 ばん 随 ずい 表示 ひょうじ 等 とう 变纠缠于 GL(n ) 在 ざい FM 的 てき 切 きり 丛上的 てき 右 みぎ 作用 さよう 。标架丛也带有一 いち 个典 てん 范 1 形式 けいしき θ しーた ,取 と 值于
R n ,定 てい 义在标架 u ∈ Fx M (视为一 いち 个线性 せい 函数 かんすう u : R n → Tx M )为
θ しーた
(
X
)
=
u
−
1
(
d
π ぱい
(
X
)
)
{\displaystyle \theta (X)=u^{-1}(d\pi (X))}
这里 π ぱい : FM → M 是 ぜ 主 ぬし 丛的投影 とうえい 映 うつ 射 しゃ 。那 な 么挠率 りつ 形式 けいしき 是 ぜ
Θ しーた
=
d
θ しーた
+
ω おめが
∧
θ しーた
.
{\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta \ .}
等 とう 价地, Θ しーた = Dθ しーた ,这里 D 是 ぜ 由 よし 联络确定的 てき 外 そと 共 ども 变导数 すう 。
挠率形式 けいしき 是 ぜ 一 いち 个取值于 R n 的 てき (水平 すいへい )扭曲形式 けいしき ,意味 いみ 着 ぎ 在 ざい g ∈ Gl(n ) 的 てき 右 みぎ 作用 さよう 下等 かとう 变:
R
g
∗
Θ しーた
=
g
−
1
⋅
Θ しーた
,
{\displaystyle R_{g}^{*}\Theta =g^{-1}\cdot \Theta \ ,}
这里 g 通 つう 过它在 ざい R n 上 うえ 的 てき 基本 きほん 表示 ひょうじ 作用 さよう 在 ざい 左 ひだり 边。
曲 きょく 率 りつ 形式 けいしき 与 あずか 比 ひ 安 やす 基 もと 恒等 こうとう 式 しき
编辑
曲 きょく 率 りつ 形式 けいしき 是 これ gl (n )-值 2-形式 けいしき
Ω おめが
=
D
ω おめが
=
d
ω おめが
+
ω おめが
∧
ω おめが
.
{\displaystyle \Omega =D\omega =d\omega +\omega \wedge \omega \ .}
这里,D 同 どう 样表示 ひょうじ 外 がい 共 ども 变导数 すう 。用 よう 曲 きょく 率 りつ 形式 けいしき 和 わ 挠率形式 けいしき 表示 ひょうじ ,相 そう 应的比 ひ 安 やす 基 もと 恒等 こうとう 式 しき 为:
[ 2]
D
Θ しーた
=
Ω おめが
∧
θ しーた
{\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta }
D
Ω おめが
=
0.
{\displaystyle D\Omega =0.\,}
进一 いち 步 ほ ,我 わが 们可以从曲 きょく 率 りつ 形式 けいしき 和 わ 挠率形式 けいしき 复原曲 げんきょく 率 りつ 和 わ 挠率。在 ざい Fx M 中 なか 的 てき 点 てん u ,我 わが 们有[ 3]
R
(
X
,
Y
)
Z
=
u
(
2
Ω おめが
(
π ぱい
−
1
(
X
)
,
π ぱい
−
1
(
Y
)
)
)
(
u
−
1
(
Z
)
)
,
{\displaystyle R(X,Y)Z=u\left(2\Omega (\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y))\right)(u^{-1}(Z)),}
T
(
X
,
Y
)
=
u
(
2
Θ しーた
(
π ぱい
−
1
(
X
)
,
π ぱい
−
1
(
Y
)
)
)
,
{\displaystyle T(X,Y)=u\left(2\Theta (\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y))\right),}
这里 u : R n → Tx M 是 ぜ 确定纤维中 ちゅう 标架的 てき 函数 かんすう ,且向量 りょう 通 どおり 过 π ぱい -1 的 てき 提 ひさげ 升 ます 与 あずか 选取无关,因 いん 为曲率 りつ 和 わ 挠率形式 けいしき 是 ぜ 水平 すいへい 的 てき (它们在 ざい 不 ふ 确定的 てき 竖直向 むこう 量 りょう 上 じょう 为 0)。
标架中 ちゅう 的 てき 曲 きょく 率 りつ 形式 けいしき
编辑
挠率形式 けいしき 可用 かよう 底流 ていりゅう 形 がた M 上 うえ 的 てき 联络形式 けいしき ,在 ざい 切 きり 丛的一个特殊的标架 (e 1 ,...,e n ) 下 しも 写 うつし 出 で 。联络形式 けいしき 表 ひょう 述 じゅつ 这些截面的 てき 外 そと 共 ども 变导数 すう
D
e
i
=
∑
j
=
1
n
e
j
ω おめが
i
j
.
{\displaystyle D{\mathbf {e} }_{i}=\sum _{j=1}^{n}{\mathbf {e} }_{j}\omega _{i}^{j}\ .}
切 きり 丛的焊接形式 けいしき (关于这个标架)是 これ e i 的 てき 对偶基 もと θ しーた i ∈ T* M ,所以 ゆえん θ しーた i (e j ) = δ でるた i j (克 かつ 罗内克 かつ 函数 かんすう )
那 な 么挠率 りつ 2-形式 けいしき 有 ゆう 分量 ぶんりょう
Θ しーた
k
=
d
θ しーた
k
+
∑
j
=
1
n
ω おめが
j
k
∧
θ しーた
j
=
∑
i
,
j
T
i
j
k
θ しーた
i
∧
θ しーた
j
.
{\displaystyle \Theta ^{k}=d\theta ^{k}+\sum _{j=1}^{n}\omega _{j}^{k}\wedge \theta ^{j}=\sum _{i,j}T_{ij}^{k}\theta ^{i}\wedge \theta ^{j}\ .}
在 ざい 最 さい 右 みぎ 边的表 ひょう 达式中 ちゅう ,
T
i
j
k
=
θ しーた
k
(
∇
e
i
e
j
−
∇
e
j
e
i
−
[
e
i
,
e
j
]
)
{\displaystyle T_{ij}^{k}=\theta ^{k}(\nabla _{\mathbf {e} _{i}}\mathbf {e} _{j}-\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}-[\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}])}
是 ぜ 挠率张量的 てき 标架分量 ぶんりょう ,由 ゆかり 首 くび 先 さき 的 てき 定 てい 义给出 で 。
容易 ようい 证明 Θ しーた i 像 ぞう 张量一 いち 个变化 か :如果另一个标架 か
e
~
i
=
∑
j
e
j
g
i
j
{\displaystyle {\tilde {\mathbf {e} }}_{i}=\sum _{j}\mathbf {e} _{j}g_{i}^{j}}
对某个可逆 ぎゃく 矩 のり 阵值函数 かんすう (g i j ),那 な 么
Θ しーた
~
i
=
(
g
−
1
)
j
i
Θ しーた
j
.
{\displaystyle {\tilde {\Theta }}^{i}=(g^{-1})_{j}^{i}\Theta ^{j}.}
换句话说,Θ しーた 是 ぜ (1,2) 型 がた 张量(一 いち 个反变、两个共 ども 变指标)。
做为另一种选择,焊接形 がた 式能 しきのう 用 よう 无标架 か 形式 けいしき 刻 こく 画 が 为 M 上 うえ 的 てき TM -值 1形式 けいしき θ しーた ,在 ざい 对偶同 どう 构 End(TM ) ≈ TM ⊗ T* M 下 しも 对应于切丛的恒等 こうとう 同 どう 态。则挠率 りつ 2-形式 けいしき 是 ぜ
Θ しーた
∈
Hom
(
∧
2
T
M
,
T
M
)
{\displaystyle \Theta \in {\text{Hom}}(\wedge ^{2}TM,TM)}
的 てき 一 いち 个截面 めん ,由 ゆかり
Θ しーた
=
D
θ しーた
,
{\displaystyle \Theta =D\theta \ ,}
给出。这里 D 是 これ 外 そと 共 ども 变导数 すう (更 さら 多 た 细节参 さん 见联络形式 けいしき )。
挠率张量可 か 以分解 ぶんかい 为两个不可 ふか 约部分 ぶぶん :不 ふ 含迹 的 まと 部 ぶ 分与 ぶんよ 包含 ほうがん 迹的部分 ぶぶん 。用 よう 指 ゆび 标记法 ほう ,T 的 てき 迹为
a
i
=
T
i
k
k
,
{\displaystyle a_{i}=T_{ik}^{k}\ ,}
不 ふ 含迹的 てき 部分 ぶぶん 为
B
j
k
i
=
T
j
k
i
+
1
n
−
1
δ でるた
j
i
a
k
−
1
n
−
1
δ でるた
k
i
a
j
{\displaystyle B_{jk}^{i}=T_{jk}^{i}+{\frac {1}{n-1}}\delta _{j}^{i}a_{k}-{\frac {1}{n-1}}\delta _{k}^{i}a_{j}}
这里 δ でるた i j 是 これ 克 かつ 罗内克 かつ 函数 かんすう 。
本 ほん 质上有 ゆう ,
T
∈
Hom
(
∧
2
T
M
,
T
M
)
.
{\displaystyle T\in \operatorname {Hom} \left(\wedge ^{2}TM,TM\right)\ .}
T 的 てき 迹 tr T ,是 ぜ 如下定 てい 义的 T* M 中 ちゅう 一 いち 个元素 げんそ 。对固定 こてい 的 てき 任 にん 何 なん 向 こう 量 りょう X ∈ TM ,T 定 てい 义了一 いち 个 Hom(TM , TM ) 中 ちゅう 一 いち 个元素 げんそ T (X ),通 つう 过
T
(
X
)
:
Y
↦
T
(
X
∧
Y
)
.
{\displaystyle T(X):Y\mapsto T(X\wedge Y)\ .}
那 な 么 (tr T )(X ) 定 てい 义为这个同 どう 态的迹。这就是 ぜ ,
(
tr
T
)
(
X
)
=
def
tr
(
T
(
X
)
)
.
{\displaystyle (\operatorname {tr} \,T)(X){\stackrel {\text{def}}{=}}\operatorname {tr} (T(X))\ .}
T 不 ふ 含迹的 てき 部分 ぶぶん 为
T
0
=
T
−
1
n
−
1
ι いおた
(
tr
T
)
{\displaystyle T_{0}=T-{\frac {1}{n-1}}\iota (\operatorname {tr} \,T)}
这里 ι いおた 表示 ひょうじ 内 うち 乘 じょう 。
作 さく 为比安 やす 基 もと 恒等 こうとう 式 しき 的 てき 推论,1-形式 けいしき tr T 是 ぜ 一 いち 个闭 1-形式 けいしき :
d
(
tr
T
)
=
0
,
{\displaystyle d(\operatorname {tr} \,T)=0\ ,}
这里 d 是 これ 外 そと 导数 。
这一节中总是假设:M 是 これ 微 ほろ 分流 ぶんりゅう 形 がた ,∇ 是 ぜ M 切 きり 丛上 うえ 的 てき 共 きょう 变导数 すう 除 じょ 非 ひ 另外指 ゆび 明 あかり 。
假 かり 设 x t 是 これ M 上 うえ 一 いち 条 じょう 曲 きょく 线。x t 的 てき 仿射 进化 定 てい 义为 Tx0 M 中 ちゅう 惟 おもんみ 一 いち 的 てき 曲 きょく 线 C t 使 つかい 得 とく
C
˙
t
=
τ たう
t
0
x
˙
t
,
C
0
=
0
{\displaystyle {\dot {C}}_{t}=\tau _{t}^{0}{\dot {x}}_{t},\quad C_{0}=0}
这里
τ たう
t
0
:
T
x
t
M
→
T
x
0
M
{\displaystyle \tau _{t}^{0}:T_{x_{t}}M\to T_{x_{0}}M}
是 ぜ 与 あずか ∇ 关联的 てき 平行 へいこう 移 うつり 动 。
特 とく 别地,如果 x t 是 ぜ 一 いち 个闭环路 ろ ,则 C t 是 ぜ 否 ひ 闭取决于联络的 てき 挠率。从而挠率解 かい 释为曲 きょく 线的 development 的 てき 螺 にし 位 い 错 。这样,挠率与 あずか 联络的 てき 和 かず 乐 转移分量 ぶんりょう 联系起 おこり 来 らい 。相伴 しょうばん 的 てき 曲 きょく 率 りつ 概念 がいねん 描绘了 りょう 无穷小 しょう 线性变换(在 ざい 黎 はじむ 曼联络情 じょう 形 がた 或 ある 为旋转)。
在 ざい 经典曲 きょく 线的微分 びぶん 几何中 なか ,弗 どる 莱纳公式 こうしき 描述了 りょう 一个特别的活动标架(弗 どる 莱纳标架 )沿着一条曲线怎样“扭曲”。用 よう 物理 ぶつり 语言,挠率对应于一个假想的沿着曲线的陀螺 的 てき 角 すみ 动量 。
带有(度量 どりょう )联络的 てき 流 りゅう 形 がた 可 か 类比地 ち 解 かい 释。假 かり 设一个观察者沿着这个联络下的测地线移动。这个观察者 しゃ 通常 つうじょう 认为自己 じこ 是 ぜ 在 ざい 惯性参考 さんこう 系 けい 中 なか ,因 いん 为她没 ぼつ 有 ゆう 经历过加速度 かそくど 。另外假 かり 设观察者携带着 ぎ 一个刚性直测量杆系统(一 いち 个坐 すわ 标系 )。每 まい 根 ね 杆都是 ぜ 直 ちょく 线段,一条 いちじょう 测地线。假 かり 设每根 ね 杆沿着 ぎ 轨道都 と 是 ぜ 平行 へいこう 移 うつり 动 ,这些杆是沿着轨迹物理 ぶつり 的 てき “携带”的 てき 事 こと 实意味 いみ 着 ぎ 是 ぜ “李 り 拖曳”或 ある 传播,所以 ゆえん 沿着切 きり 向 むこう 量 りょう 每 ごと 根 ね 杆子的 てき 李 り 导数 为零。类似于弗 どる 莱纳标架上 うえ 的 てき 陀螺,它们可能 かのう 经受力 りょく 矩 のり (或 ある 扭力)。这个力 りょく 便 びん 由 よし 挠率衡量。
更 さら 准 じゅん 确地,假 かり 设观察者沿着测地线 γ がんま (t ) 移 うつり 动,携带着 ぎ 一 いち 个测量 りょう 杆。当 とう 观察者 しゃ 移 うつり 动时,杆子扫过一 いち 个曲面 めん 。沿着这个曲面 きょくめん 有 ゆう 一个自然坐标系 (t ,x ),这里 t 是 ぜ 由 よし 观察者 しゃ 确定的 てき 时间参 さん 数 すう ,x 是 ぜ 沿着测量杆的长度。测量杆须沿着曲 きょく 线平行 へいこう 移 うつり 动的条件 じょうけん 为
∇
∂
/
∂
τ たう
∂
∂
x
|
x
=
0
=
0.
{\displaystyle \left.\nabla _{\partial /\partial \tau }{\frac {\partial }{\partial x}}\right|_{x=0}=0.}
从而,挠率由 ゆかり
T
(
∂
∂
x
,
∂
∂
τ たう
)
|
x
=
0
=
∇
∂
∂
x
∂
∂
τ たう
|
x
=
0
.
{\displaystyle \left.T\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial \tau }}\right)\right|_{x=0}=\left.\nabla _{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\right|_{x=0}.}
给出。如果不 ふ 是 ぜ 零 れい ,则杆上 じょう 标出的 てき 这点(点 てん x = 常 つね 曲 きょく 线)的 てき 轨迹为螺旋而不 ふ 是 ぜ 测地线。它们将 はた 绕着观察者 しゃ 旋转。
这种挠率的 てき 解 かい 释在平行 へいこう 引力 いんりょく 理 り 论中扮 ふん 演 えんじ 着 ぎ 重要 じゅうよう 的 てき 角 かく 色 しょく 。平行 へいこう 引力 いんりょく 理 り 论,也称为爱因斯坦-嘉 よしみ 当 とう 理 り 论 ,是 ぜ 相 あい 对论的 てき 一种替代性表述。
在 ざい 材料 ざいりょう 科学 かがく 中 なか ,特 とく 别是弹性理 り 论,挠率的 てき 想 そう 法 ほう 也扮演 えんじ 着 ぎ 重要 じゅうよう 的 てき 角 かく 色 しょく 。其中一 いち 个问题[ 4] 是 これ 藤 ふじ 生 なま 长的建 けん 模 も ,专注于藤如何 いか 能 のう 绕着对象缠绕。藤 ふじ 自身 じしん 模型 もけい 化 か 为一对相互缠绕的弹性纤维。在 ざい 其能量 りょう 极小状 じょう 态,藤 ふじ 自然 しぜん 生 せい 长成一 いち 个螺旋 らせん 状 じょう 。但 ただし 是 ぜ 藤 ふじ 也有 やゆう 可能 かのう 伸 しん 长以达到广度(或 ある 长度)最大 さいだい 化 か 。在 ざい 此情形 がた ,藤 ふじ 的 てき 挠率与 あずか 这对纤维的 てき 挠率有 ゆう 关(或 ある 等 とう 价地,链接两条纤维的 てき 带子的 てき 曲面 きょくめん 挠率),这反映 はんえい 了 りょう 藤 ふじ 的 てき 长度最大 さいだい 化 か (测地线)布 ぬの 局 きょく 与能 よのう 量 りょう 最小 さいしょう 化 か 布 ぬの 局 きょく 之 の 间的差 さ 异。
在 ざい 流体 りゅうたい 力学 りきがく 中 なか ,挠率自然 しぜん 与 あずか 涡线 相 あい 关。
假 かり 设 γ がんま (t ) 是 これ M 上 うえ 一 いち 条 じょう 曲 きょく 线。则 γ がんま 是 ぜ 一 いち 条 じょう 仿射参 さん 数 すう 化 か 测地线 如果
∇
γ がんま
˙
(
t
)
γ がんま
˙
(
t
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0}
对属于 γ がんま 的 てき 定 てい 义域中 ちゅう 所有 しょゆう 时间 t (这里点 てん 表示 ひょうじ 关于 t 求 もとめ 导,得 とく 到 いた 了 りょう γ がんま (t) 处切向 むこう 量 りょう
γ がんま
˙
(
t
)
{\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}
)。每 まい 条 じょう 测地线由初 はつ 始 はじめ t =0 切 きり 向 むこう 量 りょう
γ がんま
˙
(
0
)
{\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)}
惟 おもんみ 一 いち 确定。
联络的 てき 挠率的 てき 一个运用涉及到联络的测地波浪 はろう (geodesic spray ):粗略 そりゃく 地 ち 讲为所有 しょゆう 仿射参 さん 数 すう 化 か 测地线。
用 よう 测地波浪 はろう 将 はた 联络分 ぶん 类时,不同 ふどう 挠率不能 ふのう 区分 くぶん 开来:
两个联络 ∇ 与 あずか ∇′ 具有 ぐゆう 相 しょう 同 どう 的 てき 仿射参 さん 数 すう 化 か 测地线(即 そく 相 しょう 同 どう 的 てき 测地波浪 はろう ),只 ただ 在 ざい 挠率有 ゆう 区 く 别。[ 5]
更 さら 准 じゅん 确地,如果 X 与 あずか Y 是 これ p ∈ M 的 てき 一 いち 对切向 むこう 量 りょう ,那 な 么令
Δ でるた
(
X
,
Y
)
=
∇
X
Y
~
−
∇
X
′
Y
~
{\displaystyle \Delta (X,Y)=\nabla _{X}{\tilde {Y}}-\nabla '_{X}{\tilde {Y}}}
是 ぜ 两个联络的 てき 差 さ ,用 よう X 与 あずか Y 从 p 处的任意 にんい 扩张计算。由 よし 莱布尼 あま 兹乘积法则,我 わが 们看出 で Δ でるた 事 こと 实上与 あずか X 和 わ Y 如何 いか 扩张无关(所以 ゆえん 定 てい 义了 M 上 うえ 一 いち 个张量 りょう )。设 S 与 あずか A 分 ぶん 别为 Δ でるた 的 てき 对称与 あずか 交替 こうたい 部分 ぶぶん :
S
(
X
,
Y
)
=
1
2
(
Δ でるた
(
X
,
Y
)
+
Δ でるた
(
Y
,
X
)
)
{\displaystyle S(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)+\Delta (Y,X)\right)}
A
(
X
,
Y
)
=
1
2
(
Δ でるた
(
X
,
Y
)
−
Δ でるた
(
Y
,
X
)
)
{\displaystyle A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)-\Delta (Y,X)\right)}
则
A
(
X
,
Y
)
=
1
2
(
T
(
X
,
Y
)
−
T
′
(
X
,
Y
)
)
{\displaystyle A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)}
是 ぜ 挠率张量之 これ 差 さ 。
∇ 与 あずか ∇′ 定 てい 义了相 しょう 同 どう 的 てき 仿射参 さん 数 すう 化 か 测地线族当 とう 且仅当 とう S (X ,Y ) = 0。
换句话说,两个联络之 の 差 さ 的 てき 对称部分 ぶぶん 决定了 りょう 它们是 ぜ 否 ひ 具有 ぐゆう 相 しょう 同 どう 的 てき 参 さん 数 すう 化 か 测地线,然 しか 而差的 てき 斜 はす 对称部分 ぶぶん 由 よし 这两个联络的相 しょう 对挠率 りつ 决定。另一个推论是
给定任 にん 何 なん 仿射联络 ∇,存在 そんざい 惟 おもんみ 一一个无挠联络 ∇′ 具有 ぐゆう 共同 きょうどう 的 てき 仿射参 さん 数 すう 化 か 测地线。
这是黎 はじむ 曼几何 なん 基本 きほん 定理 ていり 到 いた (也许无度量 りょう )仿射联络的 てき 一 いち 个推广。选出从属于一族参数化测地线惟一的联络也称为挠率的 てき 吸收 きゅうしゅう ,这是嘉 よしみ 当 とう 等 とう 价方法 ほう 的 てき 一个使用之处。
^ See Kobayashi-Nomizu (1996) Volume 1, Proposition III.5.2.
^ Kobayashi-Nomizu (1996) Volume 1, III.2.
^ Kobayashi-Nomizu (1996) Volume 1, III.5.
^ Goriely et al (2006).
^ See Spivak (1999) Volume II, Addendum 1 to Chapter 6. See also Bishop and Goldberg (1980), section 5.10.
Bishop, R.L.; Goldberg, S.I., Tensor analysis on manifolds, Dover, 1980
Cartan, Elie. Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 1923, 40 : 325–412 [2008-11-06 ] . (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档 于2014-04-11).
Cartan, Elie. Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite) . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 1924, 41 : 1–25 [2008-11-06 ] . (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档 于2014-04-11).
Elzanowski, M; Epstein, M, Geometric characterization of hyperelastic uniformity, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1985, 88 (4): pp 347—357, doi:10.1007/BF00250871
Goriely, A.; Robertson-Tessi, M.; Tabor, M.; Vandiver, R., Elastic growth models (PDF) , BIOMAT-2006 (Springer-Verlag), 2006, (原始 げんし 内容 ないよう (PDF) 存 そん 档于2006-12-29)
Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi, Foundations of Differential Geometry 1 & 2 New edition, Wiley-Interscience, 19631996, ISBN 0471157333
Spivak, Michael , A comprehensive introduction to differential geometry, Volume II, Houston, Texas: Publish or Perish, 1999, ISBN 0914098713