本文 ほんぶん 介 かい 绍联络的挠率，关于挠率
的 てき 其他
用法 ようほう ，
参 まいり 见
挠率 。
在 ざい 微分 びぶん 中 なか 扭率 或 ある 稱 しょう 挠率 此一概念是刻画沿着曲线移 うつり 的 てき 或 ある 螺旋 らせん 的 てき 方法 ほうほう 例 れい 曲 きょく 出 で 弗 どる 公式 こうしき 中 なか 量 りょう 化 か 了 りょう 更 さら 的 てき 弗 どる 切 せつな 向 こう 量的 りょうてき 在 ざい 曲面 きょくめん 的 てき 中 ちゅう 了 りょう 曲面 きょくめん 曲面 きょくめん 上 じょう 相伴 しょうばん 的 てき 曲 きょく 率 りつ 概念 がいねん 度量 どりょう 了 りょう 曲 きょく 活 かつ 架 か 没 ぼつ 有 ゆう 的 てき
沿着测地线的挠率 更 さら 一般 いっぱん 地 ち 在 ざい 装 そう 仿射联络 （即 そく 切 きり 的 てき 一 いち 联络 ）的 てき 微 ほろ 分流 ぶんりゅう 形 がた 上 うえ 与 あずか 曲 きょく 率 りつ 了 りょう 的 てき 基本 きほん 不 ふ 在 ざい 意 い 了 りょう 切 きり 空 そら 一 いち 条 じょう 曲 きょく 平行 へいこう 移 うつり 的 てき 内 ない 画 が 率 りつ 了 りょう 切 きり 空 そら 着 ぎ 曲 きょく 可 か 具体 ぐたい 的 てき 张量 ，或 ある 一 いち 向 むかい 量 りょう 2-形式 けいしき 。如果 ∇ 是 ぜ 微分 びぶん 流 りゅう 形 がた 上 じょう 一 いち 那 な 率 りつ 用向 ようむき 量 りょう X 与 あずか Y 表示 ひょうじ 定 てい
T
(
X
,
Y
)
=
∇
X
Y
−
∇
Y
X
−
[
X
,
Y
]
{\displaystyle T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]}
这里 [X ,Y ] 是 これ 向 むかい 量 りょう 李 り 括 くく 号 ごう
挠率在 ざい 测地线 几何的 てき 研究 けんきゅう 特 とく 重要 じゅうよう 我 わが 但 ただし 是 ぜ 具有 ぐゆう 不同 ふどう 的 てき 具有 ぐゆう 惟 おもんみ 一 いち 吸收 きゅうしゅう 的 てき 将 はた 列 れつ 奇 き 没 ぼつ 有 ゆう 度量 どりょう 的 てき 情 じょう 形 がた 比 ひ 芬斯勒几何 なに ）。吸收 きゅうしゅう 在 ざい G-结构 与 あずか 嘉 よしみ 当 とう 等 とう 法 ほう 的 てき 研究 けんきゅう 中 ちゅう 着 ぎ 重要 じゅうよう 的 てき 作用 さよう 通 どおり 射影 しゃえい 在 ざい 研究 けんきゅう 参 さん 数 すう 族 ぞく 有用 ゆうよう 在 ざい 相 あい 中 なか 想 そう 法 ほう 爱因斯坦-嘉 よしみ 当 とう 理 り 的 てき 形式 けいしき 提供 ていきょう 了 りょう 工具 こうぐ
设 M 是 ぜ 切 きり 的 てき 流 りゅう 形 がた 挠率张量 （有 ゆう 称 しょう 当 とう 是 ぜ 一 いち 向 むかい 量 りょう 形式 けいしき 定 てい 向 むこう 量 りょう X 于 Y 上 うえ
T
(
X
,
Y
)
:=
∇
X
Y
−
∇
Y
X
−
[
X
,
Y
]
,
{\displaystyle T(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]\ ,}
这里 [X ,Y ] 是 ぜ 向 むこう 量 りょう 李 り 括 くく 号 ごう 由 ゆかり 莱布尼 あま ，对任何 なに 光 ひかり 滑 すべり 函数 かんすう f 有 ゆう T (fX ,Y ) = T (X ,fY ) = fT (X ,Y )。所以 ゆえん T 是 ぜ 一 いち 张量 ，尽 つき 管 かん 是 ぜ 用 よう 非 ひ 的 てき 共 きょう 数 すう 定 てい 出 で 了 りょう 切 きり 向 むこう 量 りょう 上 じょう 的 てき 一 いち 形式 けいしき 但 ただし 共 きょう 数 すう 只 ただ 量 りょう 定 てい
曲 きょく 率 りつ 和 わ 比 ひ 安 やす 基 もと 恒等 こうとう 式 しき
编辑
联络 ∇ 的 てき 曲 きょく 率 りつ 是 ぜ 一 いち 射 しゃ M ∧ TM → End(TM ) ，定 てい 向 むこう 量 りょう X , Y , 与 あずか Z 上 うえ
R
(
X
,
Y
)
Z
=
∇
X
∇
Y
Z
−
∇
Y
∇
X
Z
−
∇
[
X
,
Y
]
Z
.
{\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z\ .}
注意 ちゅうい 一 いち 点 てん 的 てき 向 むこう 量 りょう 定 てい 向 むこう 量 りょう 如何 いか 成 なり 即 そく 定 てい 一 いち 量 りょう 率 りつ
比 ひ 安 やす 基 もと 恒等 こうとう 式 しき 了 りょう 曲 きょく 率 りつ 和 わ [ 1] 将 はた X , Y 与 あずか Z 的 てき 循环求 もとめ 和 わ 记为
S
{\displaystyle {\mathfrak {S}}}
例 れい
S
(
R
(
X
,
Y
)
Z
)
:=
R
(
X
,
Y
)
Z
+
R
(
Y
,
Z
)
X
+
R
(
Z
,
X
)
Y
.
{\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(R(X,Y)Z\right):=R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y\ .}
那 な 面 めん 的 てき 公式 こうしき 成立 せいりつ
1. 比 ひ 安 やす 基 もと 第 だい 一 いち 恒等 こうとう 式 しき
S
(
R
(
X
,
Y
)
Z
)
=
S
(
T
(
T
(
X
,
Y
)
,
Z
)
+
(
∇
X
T
)
(
Y
,
Z
)
)
,
{\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(R(X,Y)Z\right)={\mathfrak {S}}\left(T(T(X,Y),Z)+(\nabla _{X}T)(Y,Z)\right)\ ,}
2. 比 ひ 安 やす 基 もと 第 だい 二 に 恒等 こうとう 式 しき
S
(
(
∇
X
R
)
(
Y
,
Z
)
+
R
(
T
(
X
,
Y
)
,
Z
)
)
=
0
.
{\displaystyle {\mathfrak {S}}\left((\nabla _{X}R)(Y,Z)+R(T(X,Y),Z)\right)=0\ .}
挠率张量在 ざい 切 きり 局部 きょくぶ 截面 的 てき 基 もと e 1 , ..., e n ) 下 した 可 か 写 うつし 成分 せいぶん 量 りょう
T
c
a
b
{\displaystyle T^{c}{}_{ab}}
令 れい X =e i ，Y =e j ，引入交换子 こ 系 けい 数 すう γ がんま k ij e k := [e i ,e j ]。那 な 率 りつ 的 てき 分量 ぶんりょう 是 ぜ
T
k
i
j
:=
Γ がんま
k
i
j
−
Γ がんま
k
j
i
−
γ がんま
k
i
j
,
i
,
j
,
k
=
1
,
2
,
…
,
n
.
{\displaystyle T^{k}{}_{ij}:=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji}-\gamma ^{k}{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.}
如果基 もと 是 ぜ 和 かず 的 てき 括 くく 号 ごう 零 れい
γ がんま
k
i
j
=
0
{\displaystyle \gamma ^{k}{}_{ij}=0}
T
k
i
j
=
2
Γ がんま
k
[
i
j
]
{\displaystyle T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}}
特 とく 测地线方程 ほど 确定联络的 てき 部分 ぶぶん 率 りつ 反 はん 部分 ぶぶん
挠率形式 けいしき ，是 ぜ 的 てき 画 が M 的 てき 标架丛 FM 。这个主 しゅ 装 そう 一 いち 联络形式 けいしき ω おめが 一 いち gl (n )-值的 1-形式 けいしき 将 はた 向 むこう 量 りょう 映 うつ 到 いた gl (n ) 中 ちゅう 的 てき 右 みぎ 作用 さよう 的 てき 生成 せいせい 元 もと gl (n ) 上 じょう 的 てき 伴 ばん 随 ずい 表示 ひょうじ 等 とう n ) 在 ざい M 的 てき 切 きり 的 てき 右 みぎ 作用 さよう 一 いち 典 てん 形式 けいしき θ しーた 取 と R n ，定 てい u ∈ Fx M （视为一 いち 性 せい 函数 かんすう u : R n → Tx M ）为
θ しーた (
X
)
=
u
−
1
(
d
π ぱい (
X
)
)
{\displaystyle \theta (X)=u^{-1}(d\pi (X))}
这里 π ぱい M → M 是 ぜ 主 ぬし 投影 とうえい 映 うつ 射 しゃ 那 な 率 りつ 形式 けいしき 是 ぜ
Θ しーた =
d
θ しーた +
ω おめが ∧
θ しーた
.
{\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta \ .}
等 とう Θ しーた θ しーた D 是 ぜ 由 よし 的 てき 外 そと 共 ども 数 すう
挠率形式 けいしき 是 ぜ 一 いち R n 的 てき 水平 すいへい 扭曲形式 けいしき ，意味 いみ 着 ぎ 在 ざい g ∈ Gl(n ) 的 てき 右 みぎ 作用 さよう 下等 かとう
R
g
∗
Θ しーた =
g
−
1
⋅
Θ しーた
,
{\displaystyle R_{g}^{*}\Theta =g^{-1}\cdot \Theta \ ,}
这里 g 通 つう 在 ざい R n 上 うえ 的 てき 基本 きほん 表示 ひょうじ 作用 さよう 在 ざい 左 ひだり
曲 きょく 率 りつ 形式 けいしき 与 あずか 比 ひ 安 やす 基 もと 恒等 こうとう 式 しき
编辑
曲 きょく 率 りつ 形式 けいしき 是 これ gl (n )-值 2-形式 けいしき
Ω おめが =
D
ω おめが =
d
ω おめが +
ω おめが ∧
ω おめが
.
{\displaystyle \Omega =D\omega =d\omega +\omega \wedge \omega \ .}
这里，D 同 どう 表示 ひょうじ 外 がい 共 ども 数 すう 用 よう 曲 きょく 率 りつ 形式 けいしき 和 わ 形式 けいしき 表示 ひょうじ 相 そう 比 ひ 安 やす 基 もと 恒等 こうとう 式 しき [ 2]
D
Θ しーた =
Ω おめが ∧
θ しーた
{\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta }
D
Ω おめが =
0.
{\displaystyle D\Omega =0.\,}
进一 いち 步 ほ 我 わが 曲 きょく 率 りつ 形式 けいしき 和 わ 形式 けいしき 原曲 げんきょく 率 りつ 和 わ 在 ざい x M 中 なか 的 てき 点 てん u ，我 わが [ 3]
R
(
X
,
Y
)
Z
=
u
(
2
Ω おめが (
π ぱい
−
1
(
X
)
,
π ぱい
−
1
(
Y
)
)
)
(
u
−
1
(
Z
)
)
,
{\displaystyle R(X,Y)Z=u\left(2\Omega (\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y))\right)(u^{-1}(Z)),}
T
(
X
,
Y
)
=
u
(
2
Θ しーた (
π ぱい
−
1
(
X
)
,
π ぱい
−
1
(
Y
)
)
)
,
{\displaystyle T(X,Y)=u\left(2\Theta (\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y))\right),}
这里 u : R n → Tx M 是 ぜ 中 ちゅう 的 てき 函数 かんすう 量 りょう 通 どおり π ぱい -1 的 てき 提 ひさげ 升 ます 与 あずか 因 いん 率 りつ 和 わ 形式 けいしき 是 ぜ 水平 すいへい 的 てき 在 ざい 不 ふ 的 てき 向 むこう 量 りょう 上 じょう
中 ちゅう 的 てき 曲 きょく 率 りつ 形式 けいしき
编辑
挠率形式 けいしき 可用 かよう 底流 ていりゅう 形 がた M 上 うえ 的 てき 联络形式 けいしき ，在 ざい 切 きり e 1 ,...,e n ) 下 しも 写 うつし 出 で 形式 けいしき 表 ひょう 述 じゅつ 的 てき 外 そと 共 ども 数 すう
D
e
i
=
∑
j
=
1
n
e
j
ω おめが
i
j
.
{\displaystyle D{\mathbf {e} }_{i}=\sum _{j=1}^{n}{\mathbf {e} }_{j}\omega _{i}^{j}\ .}
切 きり 焊接形式 けいしき （关于这个标架）是 これ e i 的 てき 对偶基 もと θ しーた i ∈ T* M ，所以 ゆえん θ しーた i (e j ) = δ でるた i j （克 かつ 克 かつ 函数 かんすう
那 な 率 りつ 形式 けいしき 有 ゆう 分量 ぶんりょう
Θ しーた
k
=
d
θ しーた
k
+
∑
j
=
1
n
ω おめが
j
k
∧
θ しーた
j
=
∑
i
,
j
T
i
j
k
θ しーた
i
∧
θ しーた
j
.
{\displaystyle \Theta ^{k}=d\theta ^{k}+\sum _{j=1}^{n}\omega _{j}^{k}\wedge \theta ^{j}=\sum _{i,j}T_{ij}^{k}\theta ^{i}\wedge \theta ^{j}\ .}
在 ざい 最 さい 右 みぎ 表 ひょう 中 ちゅう
T
i
j
k
=
θ しーた
k
(
∇
e
i
e
j
−
∇
e
j
e
i
−
[
e
i
,
e
j
]
)
{\displaystyle T_{ij}^{k}=\theta ^{k}(\nabla _{\mathbf {e} _{i}}\mathbf {e} _{j}-\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}-[\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}])}
是 ぜ 的 てき 分量 ぶんりょう 由 ゆかり 首 くび 先 さき 的 てき 定 てい 出 で
容易 ようい Θ しーた i 像 ぞう 一 いち 化 か 架 か
e
~
i
=
∑
j
e
j
g
i
j
{\displaystyle {\tilde {\mathbf {e} }}_{i}=\sum _{j}\mathbf {e} _{j}g_{i}^{j}}
对某个可逆 ぎゃく 矩 のり 函数 かんすう g i j )，那 な
Θ しーた ~
i
=
(
g
−
1
)
j
i
Θ しーた
j
.
{\displaystyle {\tilde {\Theta }}^{i}=(g^{-1})_{j}^{i}\Theta ^{j}.}
换句话说，Θ しーた 是 ぜ 型 がた 一 いち 共 ども
做为另一种选择，焊接形 がた 式能 しきのう 用 よう 架 か 形式 けいしき 刻 こく 画 が M 上 うえ 的 てき M -值 1形式 けいしき θ しーた 在 ざい 同 どう M ) ≈ TM ⊗ T* M 下 しも 恒等 こうとう 同 どう 率 りつ 形式 けいしき 是 ぜ
Θ しーた ∈
Hom
(
∧
2
T
M
,
T
M
)
{\displaystyle \Theta \in {\text{Hom}}(\wedge ^{2}TM,TM)}
的 てき 一 いち 面 めん 由 ゆかり
Θ しーた =
D
θ しーた
,
{\displaystyle \Theta =D\theta \ ,}
给出。这里 D 是 これ 外 そと 共 ども 数 すう 更 さら 多 た 参 さん 联络形式 けいしき ）。
挠率张量可 か 分解 ぶんかい 不可 ふか 部分 ぶぶん 不 ふ 迹 的 まと 部 ぶ 分与 ぶんよ 包含 ほうがん 部分 ぶぶん 用 よう 指 ゆび 法 ほう T 的 てき
a
i
=
T
i
k
k
,
{\displaystyle a_{i}=T_{ik}^{k}\ ,}
不 ふ 的 てき 部分 ぶぶん
B
j
k
i
=
T
j
k
i
+
1
n
−
1
δ でるた
j
i
a
k
−
1
n
−
1
δ でるた
k
i
a
j
{\displaystyle B_{jk}^{i}=T_{jk}^{i}+{\frac {1}{n-1}}\delta _{j}^{i}a_{k}-{\frac {1}{n-1}}\delta _{k}^{i}a_{j}}
这里 δ でるた i j 是 これ 克 かつ 克 かつ 函数 かんすう
本 ほん 有 ゆう
T
∈
Hom
(
∧
2
T
M
,
T
M
)
.
{\displaystyle T\in \operatorname {Hom} \left(\wedge ^{2}TM,TM\right)\ .}
T 的 てき T ，是 ぜ 定 てい * M 中 ちゅう 一 いち 元素 げんそ 固定 こてい 的 てき 任 にん 何 なん 向 こう 量 りょう X ∈ TM ，T 定 てい 一 いち M , TM ) 中 ちゅう 一 いち 元素 げんそ T (X )，通 つう
T
(
X
)
:
Y
↦
T
(
X
∧
Y
)
.
{\displaystyle T(X):Y\mapsto T(X\wedge Y)\ .}
那 な T )(X ) 定 てい 同 どう 是 ぜ
(
tr
T
)
(
X
)
=
def
tr
(
T
(
X
)
)
.
{\displaystyle (\operatorname {tr} \,T)(X){\stackrel {\text{def}}{=}}\operatorname {tr} (T(X))\ .}
T 不 ふ 的 てき 部分 ぶぶん
T
0
=
T
−
1
n
−
1
ι いおた (
tr
T
)
{\displaystyle T_{0}=T-{\frac {1}{n-1}}\iota (\operatorname {tr} \,T)}
这里 ι いおた 表示 ひょうじ 内 うち 乘 じょう
作 さく 安 やす 基 もと 恒等 こうとう 式 しき 的 てき 形式 けいしき 是 ぜ 一 いち 闭 1-形式 けいしき
d
(
tr
T
)
=
0
,
{\displaystyle d(\operatorname {tr} \,T)=0\ ,}
这里 d 是 これ 外 そと
这一节中总是假设：M 是 これ 微 ほろ 分流 ぶんりゅう 形 がた 是 ぜ M 切 きり 上 うえ 的 てき 共 きょう 数 すう 除 じょ 非 ひ 指 ゆび 明 あかり
假 かり x t 是 これ M 上 うえ 一 いち 条 じょう 曲 きょく x t 的 てき 仿射 进化 定 てい x0 M 中 ちゅう 惟 おもんみ 一 いち 的 てき 曲 きょく C t 使 つかい 得 とく
C
˙
t
=
τ たう
t
0
x
˙
t
,
C
0
=
0
{\displaystyle {\dot {C}}_{t}=\tau _{t}^{0}{\dot {x}}_{t},\quad C_{0}=0}
这里
τ たう
t
0
:
T
x
t
M
→
T
x
0
M
{\displaystyle \tau _{t}^{0}:T_{x_{t}}M\to T_{x_{0}}M}
是 ぜ 与 あずか 的 てき 平行 へいこう 移 うつり
特 とく x t 是 ぜ 一 いち 闭环路 ろ ，则 C t 是 ぜ 否 ひ 的 てき 解 かい 曲 きょく 的 てき 螺 にし 位 い 与 あずか 的 てき 和 かず 分量 ぶんりょう 起 おこり 来 らい 相伴 しょうばん 的 てき 曲 きょく 率 りつ 概念 がいねん 了 りょう 小 しょう 在 ざい 黎 はじむ 情 じょう 形 がた 或 ある
在 ざい 曲 きょく 微分 びぶん 中 なか 弗 どる 公式 こうしき 了 りょう 弗 どる 用 よう 物理 ぶつり 陀螺 的 てき 角 すみ
带有（度量 どりょう 的 てき 流 りゅう 形 がた 可 か 地 ち 解 かい 假 かり 者 しゃ 通常 つうじょう 自己 じこ 是 ぜ 在 ざい 惯性参考 さんこう 系 けい 中 なか 因 いん 没 ぼつ 有 ゆう 加速度 かそくど 假 かり 着 ぎ 一 いち 坐 すわ 每 まい 根 ね 是 ぜ 直 ちょく 一条 いちじょう 假 かり 根 ね 着 ぎ 都 と 是 ぜ 平行 へいこう 移 うつり 物理 ぶつり 的 てき 的 てき 事 こと 意味 いみ 着 ぎ 是 ぜ 李 り 或 ある 所以 ゆえん 切 きり 向 むこう 量 りょう 每 ごと 根 ね 的 てき 李 り 弗 どる 上 うえ 的 てき 可能 かのう 力 りょく 矩 のり 或 ある 力 りょく 便 びん 由 よし
更 さら 准 じゅん 假 かり γ がんま t ) 移 うつり 着 ぎ 一 いち 量 りょう 当 とう 者 しゃ 移 うつり 一 いち 面 めん 曲面 きょくめん 有 ゆう t ,x )，这里 t 是 ぜ 由 よし 者 しゃ 的 てき 参 さん 数 すう x 是 ぜ 曲 きょく 平行 へいこう 移 うつり 条件 じょうけん
∇
∂
/
∂
τ たう
∂
∂
x
|
x
=
0
=
0.
{\displaystyle \left.\nabla _{\partial /\partial \tau }{\frac {\partial }{\partial x}}\right|_{x=0}=0.}
从而，挠率由 ゆかり
T
(
∂
∂
x
,
∂
∂
τ たう
)
|
x
=
0
=
∇
∂
∂
x
∂
∂
τ たう
|
x
=
0
.
{\displaystyle \left.T\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial \tau }}\right)\right|_{x=0}=\left.\nabla _{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\right|_{x=0}.}
给出。如果不 ふ 是 ぜ 零 れい 上 じょう 的 てき 点 てん x = 常 つね 曲 きょく 的 てき 不 ふ 是 ぜ 将 はた 者 しゃ
这种挠率的 てき 解 かい 平行 へいこう 引力 いんりょく 理 り 扮 ふん 演 えんじ 着 ぎ 重要 じゅうよう 的 てき 角 かく 色 しょく 平行 へいこう 引力 いんりょく 理 り 爱因斯坦-嘉 よしみ 当 とう 理 り ，是 ぜ 相 あい 的 てき
在 ざい 材料 ざいりょう 科学 かがく 中 なか 特 とく 理 り 的 てき 想 そう 法 ほう 演 えんじ 着 ぎ 重要 じゅうよう 的 てき 角 かく 色 しょく 一 いち [ 4] 是 これ 藤 ふじ 生 なま 建 けん 模 も 如何 いか 能 のう 藤 ふじ 自身 じしん 模型 もけい 化 か 在 ざい 量 りょう 状 じょう 藤 ふじ 自然 しぜん 生 せい 一 いち 螺旋 らせん 状 じょう 但 ただし 是 ぜ 藤 ふじ 也有 やゆう 可能 かのう 伸 しん 或 ある 最大 さいだい 化 か 在 ざい 形 がた 藤 ふじ 的 てき 与 あずか 的 てき 有 ゆう 或 ある 等 とう 的 てき 的 てき 曲面 きょくめん 反映 はんえい 了 りょう 藤 ふじ 的 てき 最大 さいだい 化 か 布 ぬの 局 きょく 与能 よのう 量 りょう 最小 さいしょう 化 か 布 ぬの 局 きょく 之 の 差 さ
在 ざい 流体 りゅうたい 力学 りきがく 中 なか 自然 しぜん 与 あずか 涡线 相 あい
假 かり γ がんま t ) 是 これ M 上 うえ 一 いち 条 じょう 曲 きょく γ がんま 是 ぜ 一 いち 条 じょう 仿射参 さん 数 すう 化 か 如果
∇
γ がんま ˙
(
t
)
γ がんま ˙
(
t
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0}
对属于 γ がんま 的 てき 定 てい 中 ちゅう 所有 しょゆう t （这里点 てん 表示 ひょうじ t 求 もとめ 得 とく 到 いた 了 りょう γ がんま 向 むこう 量 りょう
γ がんま ˙
(
t
)
{\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}
每 まい 条 じょう 初 はつ 始 はじめ t =0 切 きり 向 むこう 量 りょう
γ がんま ˙
(
0
)
{\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)}
惟 おもんみ 一 いち
联络的 てき 的 てき 测地波浪 はろう （geodesic spray ）：粗略 そりゃく 地 ち 所有 しょゆう 参 さん 数 すう 化 か
用 よう 波浪 はろう 将 はた 分 ぶん 不同 ふどう 不能 ふのう 区分 くぶん
两个联络 ∇ 与 あずか 具有 ぐゆう 相 しょう 同 どう 的 てき 参 さん 数 すう 化 か 即 そく 相 しょう 同 どう 的 てき 波浪 はろう 只 ただ 在 ざい 有 ゆう 区 く [ 5] 更 さら 准 じゅん X 与 あずか Y 是 これ p ∈ M 的 てき 一 いち 向 むこう 量 りょう 那 な
Δ でるた (
X
,
Y
)
=
∇
X
Y
~
−
∇
X
′
Y
~
{\displaystyle \Delta (X,Y)=\nabla _{X}{\tilde {Y}}-\nabla '_{X}{\tilde {Y}}}
是 ぜ 的 てき 差 さ 用 よう X 与 あずか Y 从 p 处的任意 にんい 由 よし 尼 あま 我 わが 出 で Δ でるた 事 こと 与 あずか X 和 わ Y 如何 いか 所以 ゆえん 定 てい M 上 うえ 一 いち 量 りょう S 与 あずか A 分 ぶん Δ でるた 的 てき 与 あずか 交替 こうたい 部分 ぶぶん
S
(
X
,
Y
)
=
1
2
(
Δ でるた (
X
,
Y
)
+
Δ でるた (
Y
,
X
)
)
{\displaystyle S(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)+\Delta (Y,X)\right)}
A
(
X
,
Y
)
=
1
2
(
Δ でるた (
X
,
Y
)
−
Δ でるた (
Y
,
X
)
)
{\displaystyle A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)-\Delta (Y,X)\right)}
则
A
(
X
,
Y
)
=
1
2
(
T
(
X
,
Y
)
−
T
′
(
X
,
Y
)
)
{\displaystyle A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)}
是 ぜ 之 これ 差 さ ∇ 与 あずか 定 てい 相 しょう 同 どう 的 てき 参 さん 数 すう 化 か 当 とう 当 とう S (X ,Y ) = 0。 换句话说，两个联络之 の 差 さ 的 てき 部分 ぶぶん 了 りょう 是 ぜ 否 ひ 具有 ぐゆう 相 しょう 同 どう 的 てき 参 さん 数 すう 化 か 然 しか 的 てき 斜 はす 部分 ぶぶん 由 よし 相 しょう 率 りつ
给定任 にん 何 なん 存在 そんざい 惟 おもんみ 具有 ぐゆう 共同 きょうどう 的 てき 参 さん 数 すう 化 か 这是黎 はじむ 何 なん 基本 きほん 定理 ていり 到 いた 量 りょう 的 てき 一 いち 挠率的 てき 吸收 きゅうしゅう ，这是嘉 よしみ 当 とう 等 とう 法 ほう 的 てき
^ See Kobayashi-Nomizu (1996) Volume 1, Proposition III.5.2.
^ Kobayashi-Nomizu (1996) Volume 1, III.2.
^ Kobayashi-Nomizu (1996) Volume 1, III.5.
^ Goriely et al (2006).
^ See Spivak (1999) Volume II, Addendum 1 to Chapter 6. See also Bishop and Goldberg (1980), section 5.10.
Bishop, R.L.; Goldberg, S.I., Tensor analysis on manifolds, Dover, 1980 Cartan, Elie. Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 1923, 40 : 325–412 [2008-11-06 ] . （原始 げんし 内容 ないよう 存 そん Cartan, Elie. Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite) . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 1924, 41 : 1–25 [2008-11-06 ] . （原始 げんし 内容 ないよう 存 そん Elzanowski, M; Epstein, M, Geometric characterization of hyperelastic uniformity, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1985, 88 (4): pp 347—357, doi:10.1007/BF00250871 Goriely, A.; Robertson-Tessi, M.; Tabor, M.; Vandiver, R., Elastic growth models (PDF) , BIOMAT-2006 (Springer-Verlag), 2006, （原始 げんし 内容 ないよう (PDF) 存 そん Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi, Foundations of Differential Geometry 1 & 2 New edition, Wiley-Interscience, 19631996, ISBN 0471157333 Spivak, Michael , A comprehensive introduction to differential geometry, Volume II, Houston, Texas: Publish or Perish, 1999, ISBN 0914098713 
![{\displaystyle T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48c20ccb17431a4ccc168f73908ab0e3f22a98d4)
![{\displaystyle T(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc3a92b7da3c049f0557f7e1ab6eb8ce5a865244)
![{\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528c0bf289e9887d0fe76d18c59dfc55dc368156)
![{\displaystyle T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab8247e0713e7e599e045a0a5c174d8dc6bd4e81)
![{\displaystyle T_{ij}^{k}=\theta ^{k}(\nabla _{\mathbf {e} _{i}}\mathbf {e} _{j}-\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}-[\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaaf17a0cb0ae8199e70af6cb354470e89a6f9b6)
