刚体

本条ほんじょう目め中ちゅう，向むかい量りょう與あずか标量分別ふんべつ用よう粗そ體からだ與あずか斜體しゃたい顯示けんじ。例れい如，位置いち向こう量りょう通どおり常用じょうよう $\mathbf {r} \,\!$ 表示ひょうじ；而其大小だいしょう則そく用よう $r\,\!$ 來らい表示ひょうじ。

在ざい物理ぶつり学がく裏うら，理想りそう刚体（英語えいご：Rigid body或あるRigid object）是ぜ一いち種しゅ有限ゆうげん尺寸しゃくすん，可か以忽略りゃく形かたち变的てき固体こたい。不ふ论是否ひ感かん受到外力がいりょく，在ざい刚体內部，質點しつてん與あずか質點しつてん之の间的距离都と不ふ会かい改あらため变。这种理想りそう模型もけい适用条件じょうけん是ぜ，运动过程比ひ固体こたい中ちゅう的てき弹性波は的てき传播要よう缓慢得とく多た。根據こんきょ相對そうたい論ろん，這種物體ぶったい不可能ふかのう實際じっさい存在そんざい，但ただし物體ぶったい通常つうじょう可か以假定かてい為ため完かん美び剛體ごうたい，前提ぜんてい是ぜ必須ひっす滿足まんぞく運動うんどう速度そくど遠とお小しょう於光速こうそく的てき條件じょうけん。

刚体的てき空そら间位形がた决定于其质心位置いち与あずか其取と向こう（最多さいた有ゆう六ろく个自由じゆう度ど）。

在ざい经典力学りきがく裡うら，刚体通常つうじょう被ひ視し為ため连续质量分ぶん佈体；在ざい量子力学りょうしりきがく裏うら，刚体被ひ視し為ため一いち群ぐん粒子りゅうし的てき聚集。例れい如，分子ぶんし（由よし假定かてい為ため質點しつてん的てき电子与あずか核かく子こ组成）时常會かい被ひ视为刚体。

运动学がく

位置いち與あずか取ど向こう

剛體ごうたい是ぜ由よし一群數量超多的質點組成。實際じっさい而言，不可能ふかのう精確せいかく地ち追つい蹤其中ちゅう每ごと一いち個こ質點しつてん的てき運動うんどう。為ため了簡りょうけん化か運算うんざん，可か以利用りよう剛體ごうたい的てき「剛性ごうせい」，即そく其內部ぶ所有しょゆう質點しつてん彼此ひし之の間あいだ距離きょり不變ふへん的てき性質せいしつ。假かり若わか物體ぶったい具有ぐゆう剛性ごうせい，則のり倚靠設定せってい三個不共線質點的位置，就足以設定せってい此物體ぶったい的てき位置いち。這意味あじ著ちょ，在ざい三さん維空間あいだ裏うら，剛體ごうたい至いたり多た只ただ有ゆう九きゅう個こ自由じゆう度ど，但ただし由よし於假定かてい三個質點之間的距離固定不變，所以ゆえん，剛體ごうたい只ただ有ゆう六ろく個こ自由じゆう度ど。假設かせつ還かえ有ゆう其它約束やくそく，例れい如，剛體ごうたい的てき運動うんどう必需ひつじゅ繞にょう著ちょ其內部ぶ一いち點てん旋轉せんてん（定點ていてん轉てん動どう），或ある繞にょう著ちょ其內部ぶ一いち直ちょく軸じく旋轉せんてん（定てい軸じく轉てん動どう），則のり自由じゆう度會わたらい小しょう於六。

關せき於其它任意にんい質點しつてんP的てき位置いち，只ただ要よう知道ともみち質點しつてんP對たい於上述じょうじゅつ三個質點之中的任意一個質點的相對位置，就可以重建けん這質點てん的てき位置いち。通常つうじょう，整せい個こ剛體ごうたい的てき空間くうかん位い形がた可か以簡易かんい地ち以參數すう設定せってい：

1. 剛體ごうたい的てき「位置いち」：挑選剛體ごうたい內部一いち點てんG來らい代表だいひょう整せい個こ剛體ごうたい，通常つうじょう會かい設定せってい物體ぶったい的てき質しつ心こころ或ある形かたち心こころ為ため這一いち點てん。從したがえ空間くうかん參考さんこう系けいS觀測かんそく，點てんG的てき位置いち就是整せい個こ剛體ごうたい在ざい空間くうかん的てき位置いち。位置いち可か以應用向ようむき量的りょうてき概念がいねん來らい表示ひょうじ：向こう量的りょうてき起點きてん為ため參考さんこう系けいS的てき原點げんてん，終點しゅうてん為ため點てんG。設定せってい剛體ごうたい的てき位置いち需要じゅよう三さん個こ坐すわ標しるべ，例れい如，採用さいよう直角ちょっかく坐すわ標しるべ系けい，這三さん個こ坐すわ標しるべ為ためx-坐すわ標しるべ、y-坐すわ標しるべ、z-坐すわ標しるべ。這用掉了三さん個こ自由じゆう度ど。
2. 剛體ごうたい的てき取と向こう：描述剛體ごうたい取と向こう的てき方法ほうほう有ゆう好こう幾いく種しゅ，包括ほうかつ方向ほうこう餘弦よげん、歐おう拉ひしげ角かく、四よん元げん數すう等ひとし等ひとし。這些方法ほうほう設定せってい一いち個こ附ふ體たい參考さんこう系けいB的てき取と向こう（相對そうたい於空間あいだ參考さんこう系けいS）。附ふ體たい參考さんこう系けい是ぜ固定こてい於剛體ごうたい的てき參考さんこう系けい。相對そうたい於剛體たい，附ふ體たい參考さんこう系けい的てき取と向こう固定こてい不變ふへん。由よし於剛體たい可能かのう會かい呈てい加速度かそくど運動うんどう，所以ゆえん附ふ體たい參考さんこう系けい可能かのう不ふ是ぜ慣性かんせい參考さんこう系けい。空間くうかん參考さんこう系けい是ぜ某ぼう設定せってい慣性かんせい參考さんこう系けい，例れい如，在ざい觀測かんそく飛ひ機き的てき飛行ひこう運動うんどう時じ，附つけ著ちょ於飛機き場じょう控ひかえ制せい塔とう的てき參考さんこう系けい可か以設定せってい為ため空間くうかん參考さんこう系けい，而附著ちょ於飛機き的てき參考さんこう系けい則のり可か設定せってい為ため附ふ體たい參考さんこう系けい。剛體ごうたい的てき取と向こう需要じゅよう用よう到いた另外三さん個こ自由じゆう度ど。

方向ほうこう餘弦よげん

單位たんい向むこう量りょう${\hat {\mathbf {e} _{i}}}$與あずか參考さんこう系けい的てき三さん個こ單位たんい向むこう量りょう${\hat {\mathbf {x} }}_{1}$、${\hat {\mathbf {x} }}_{2}$、${\hat {\mathbf {x} }}_{3}$之これ間あいだ的てき夾角分別ふんべつ為ため$\theta _{i1}$、$\theta _{i2}$、$\theta _{i3}$。

方向ほうこう餘弦よげん方法ほうほう可か以用來らい設定せってい附ふ體たい參考さんこう系けいB的てき取と向こう，即そく剛體ごうたい的てき取と向こう。假設かせつ沿著參考さんこう系けいS的てき坐すわ標しるべ軸じく的てき三個單位向量分別為${\hat {\mathbf {x} }}_{1}$、${\hat {\mathbf {x} }}_{2}$、${\hat {\mathbf {x} }}_{3}$，沿著參考さんこう系けいB的てき坐すわ標しるべ軸じく的てき三個單位向量分別為${\hat {\mathbf {e} }}_{1}$、${\hat {\mathbf {e} }}_{2}$、${\hat {\mathbf {e} }}_{3}$。定義ていぎ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$與あずか${\hat {\mathbf {x} }}_{j}$之これ間あいだ的てき方向ほうこう餘弦よげん$a_{ij}$為ため

$a_{ij}\ {\stackrel {def}{=}}\ \cos {(\theta _{ij})}={\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\hat {\mathbf {x} }}_{j}$；

其中，$\theta _{ij}$是これ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$與あずか${\hat {\mathbf {x} }}_{j}$之これ間あいだ的てき夾角。

${\hat {\mathbf {e} }}_{1}$、${\hat {\mathbf {e} }}_{2}$、${\hat {\mathbf {e} }}_{3}$與あずか${\hat {\mathbf {x} }}_{1}$、${\hat {\mathbf {x} }}_{2}$、${\hat {\mathbf {x} }}_{3}$之これ間あいだ的てき關係かんけい分別ふんべつ為ため

${\hat {\mathbf {e} }}_{1}=\cos {(\theta _{11})}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+\cos {(\theta _{12})}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+\cos {(\theta _{13})}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}=a_{11}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+a_{12}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+a_{13}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}$、

${\hat {\mathbf {e} }}_{2}=\cos {(\theta _{21})}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+\cos {(\theta _{22})}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+\cos {(\theta _{23})}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}=a_{21}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+a_{22}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+a_{23}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}$、

${\hat {\mathbf {e} }}_{3}=\cos {(\theta _{31})}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+\cos {(\theta _{32})}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+\cos {(\theta _{33})}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}=a_{31}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+a_{32}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+a_{33}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}$。

兩個りゃんこ參考さんこう系けい的てき坐すわ標しるべ軸じく所しょ形成けいせい的てき矩のり陣じん稱しょう為ため「方向ほうこう餘弦よげん矩のり陣じん」$A$：

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$。

採用さいよう愛あい因いん斯坦求もとめ和わ約定やくじょう，由ゆかり於${\hat {\mathbf {e} }}_{i}=a_{ij}{\hat {\mathbf {x} }}_{j}$，給きゅう定てい方向ほうこう餘弦よげん矩のり陣じん$A$，則のり可か設定せってい附ふ體たい參考さんこう系けいB的てき取と向こう，也就是ぜ剛體ごうたい的てき取と向こう。

反はん過か來き，經過けいか一番いちばん運算うんざん，可か以得到いた${\hat {\mathbf {x} }}_{j}=a_{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}$。

給きゅう定てい位置いち向こう量りょう$\mathbf {r}$

$\mathbf {r} =x_{1}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+x_{2}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+x_{3}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}=e_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+e_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+e_{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}$，

則のり$\mathbf {r}$與あずか${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$的てき內積為ため

$\mathbf {r} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{i}=e_{i}=a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+a_{i3}x_{3}=a_{ij}x_{j}$。

方向ほうこう餘弦よげん矩のり陣じん$A$可か以將從したがえ空間くうかん參考さんこう系けいS觀測かんそく的てき位置いち坐すわ標しるべ$(x_{1},x_{2},x_{3})$，變換へんかん為ため從したがえ附ふ體たい參考さんこう系けいB觀測かんそく的てき位置いち坐すわ標しるべ$(e_{1},e_{2},e_{3})$，因いん此又稱しょう為ため「變換へんかん矩のり陣じん」。

變換へんかん矩のり陣じん$A$也可以做反はん變換へんかん如下：

$x_{j}=a_{ij}e_{i}$。

變換へんかん矩のり陣じん$A$是ぜ一いち種しゅ正せい交矩陣じん，滿足まんぞく「正せい交條件じょうけん」

$a_{ij}a_{ik}=\delta _{jk}$；

其中，$\delta _{jk}$是これ克かつ羅ら內克函數かんすう。

注意ちゅうい到いた$\theta _{ij}$與あずか$\theta _{ji}$不同ふどう，夾角$\theta _{ji}$是これ${\hat {\mathbf {e} }}_{j}$與あずか空間くうかん參考さんこう系けいS的てき坐すわ標しるべ軸じく單位たんい向むこう量りょう${\hat {\mathbf {x} }}_{i}$之これ間あいだ的てき夾角。變換へんかん矩のり陣じん$A$通常つうじょう不ふ是ぜ對稱たいしょう矩のり陣じん。

左ひだり圖ず顯示けんじ「主動しゅどう變換へんかん」：參考さんこう軸じく固定こてい不動ふどう，點てんP被ひ旋轉せんてん$-\theta$角すみ弧こ成なり為ため點てんP'。右みぎ圖ず顯示けんじ「被ひ動どう變換へんかん」：參考さんこう軸じく被ひ旋轉せんてん$\theta$角すみ弧こ，而點P固定こてい不動ふどう。

對たい於二に維旋轉せんてん，變換へんかん矩のり陣じん$A$可か以視為ため旋轉せんてん矩のり陣じん。例れい如，將はた附ふ體たい參考さんこう系けいB或ある剛體ごうたい旋轉せんてん，從したがえ${\hat {\mathbf {e} }}_{1}$、${\hat {\mathbf {e} }}_{2}$、${\hat {\mathbf {e} }}_{3}$旋轉せんてん$\theta$角すみ弧こ成なり為ため${\hat {\mathbf {e} }}'_{1}$、${\hat {\mathbf {e} }}'_{2}$、${\hat {\mathbf {e} }}'_{3}$；其中，${\hat {\mathbf {e} }}_{3}={\hat {\mathbf {e} }}'_{3}$。對たい於這旋轉せんてん，旋轉せんてん矩のり陣じん$A$為ため

$A={\begin{bmatrix}\cos {\theta }&\sin {\theta }&0\\-\sin {\theta }&\cos {\theta }&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$。

參考さんこう軸じく${\hat {\mathbf {e} }}'_{i}$與あずか${\hat {\mathbf {e} }}_{j}$之これ間あいだ的てき關係かんけい為ため

${\hat {\mathbf {e} }}'_{i}=a_{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}$。

旋轉せんてん矩のり陣じん$A$也可以視為ため將しょう點てんP的てき位置いち向こう量りょう$\mathbf {r} =x_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}$旋轉せんてん$-\theta$角すみ弧こ成なり為ため點てんP'的てき位置いち向こう量りょう$\mathbf {r} '=x'_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}$：

$x'_{i}=a_{ij}x_{j}$。

歐おう拉ひしげ角かく

按照順序じゅんじょ使用しよう最多さいた三さん個こ歐おう拉ひしげ角かく ($\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$)，可か以從xyz-軸じく變換へんかん到いたXYZ-軸じく。交點こうてん線せん（N）是ぜ以綠色みどりいろ表示ひょうじ。

主しゅ条目じょうもく：歐おう拉ひしげ角かく

方向ほうこう餘弦よげん矩のり陣じん$A$足あし以設定せってい附ふ體たい參考さんこう系けいB的てき取と向こう。但ただし是ぜ，矩のり陣じん$A$有ゆう九きゅう個こ元素げんそ，而剛體たい只ただ能のう供給きょうきゅう三個自由度來設定取向，因いん為ため這九きゅう個こ元素げんそ不ふ是ぜ自じ變量へんりょう。歐おう拉ひしげ角かく的てき三個自變量可以用來設定剛體的取向。

相對そうたい於空間あいだ參考さんこう系けいS，附ふ體たい參考さんこう系けいB的てき取と向こう，可か以用三個歐拉角來設定。參まいり閱右圖ず。設定せっていxyz-軸じく為ため空間くうかん參考さんこう系けいS的てき坐すわ標しるべ軸じく，XYZ-軸じく為ため附ふ體たい參考さんこう系けいB的てき坐すわ標しるべ軸じく。稱しょうxy-平面へいめん與あずかXY-平面へいめん的てき相しょう交為「交點こうてん線せん」，用よう英文えいぶん字母じぼ（N）代表だいひょう。按照「zxz順じゅん規ぶんまわし」，歐おう拉ひしげ角かく可か以這樣さま定義ていぎ：

• $\alpha$是ぜx-軸じく與あずか交點こうてん線せん（N）之の間あいだ的てき夾角，
• $\beta$是ぜz-軸じく與あずかZ-軸じく之の間あいだ的てき夾角，
• $\gamma$是ぜ交點こうてん線せん（N）與あずかX-軸じく之の間あいだ的てき夾角。

每まい一個歐拉角的旋轉都對應於一個簡單的旋轉矩陣：

$A_{\alpha }={\begin{bmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{bmatrix}}$、

$A_{\beta }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \beta &\sin \beta \\0&-\sin \beta &\cos \beta \end{bmatrix}}$、

$A_{\gamma }={\begin{bmatrix}\cos \gamma &\sin \gamma &0\\-\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}$。

設定せってい剛體ごうたい取と向こう的てき旋轉せんてん矩のり陣じん$A$是ぜ由よし三さん個こ簡單かんたん旋轉せんてん矩のり陣じん$A_{\alpha }$、$A_{\beta }$、$A_{\gamma }$共同きょうどう合成ごうせい：

$A=A_{\gamma }A_{\beta }A_{\alpha }$。

單獨たんどく分ぶん開ひらき工作こうさく，每まい個こ矩のり陣じん各自かくじ代表だいひょう一いち種しゅ旋轉せんてん。按照順序じゅんじょ相乘そうじょう，

• 最さい裏面りめん的てき（最さい右みぎ的てき）矩のり陣じん代表だいひょう繞にょう著ちょz軸じく的てき旋轉せんてん。
• 最さい外面がいめん的てき（最さい左ひだり的てき）矩のり陣じん代表だいひょう繞にょう著ちょZ軸じく的てき旋轉せんてん。
• 在中ざいちゅう間あいだ的てき矩のり陣じん代表だいひょう繞にょう著ちょ交點こうてん線せん的てき旋轉せんてん。

經過けいか一番いちばん運算うんざん，可か以得到いた$A$矩のり陣じん：

$A={\begin{bmatrix}\cos \alpha \cos \gamma -\cos \beta \sin \alpha \sin \gamma &\sin \alpha \cos \gamma +\cos \beta \cos \alpha \sin \gamma &\sin \beta \sin \gamma \\-\cos \alpha \sin \gamma -\cos \beta \sin \alpha \cos \gamma &-\sin \alpha \sin \gamma +\cos \beta \cos \alpha \cos \gamma &\sin \beta \cos \gamma \\\sin \beta \sin \alpha &-\sin \beta \cos \alpha &\cos \beta \end{bmatrix}}$ 。

$A$的てき逆ぎゃく矩のり陣じん是ぜ：

$A^{-1}={\begin{bmatrix}\cos \alpha \cos \gamma -\cos \beta \sin \alpha \sin \gamma &-\cos \alpha \sin \gamma -\cos \beta \sin \alpha \cos \gamma &\sin \beta \sin \alpha \\\sin \alpha \cos \gamma +\cos \beta \cos \alpha \sin \gamma &-\sin \alpha \sin \gamma +\cos \beta \cos \alpha \cos \gamma &-\sin \beta \cos \alpha \\\sin \beta \sin \gamma &\sin \beta \cos \gamma &\cos \beta \end{bmatrix}}$ 。

歐おう拉ひしげ旋轉せんてん定理ていり

歐おう拉ひしげ旋轉せんてん定理ていり表明ひょうめい，在ざい三さん維空間あいだ裏うら，假設かせつ約束やくそく剛體ごうたい內部一いち點てん固定こてい不動ふどう，則のり其任意にんい位い移うつり等價とうか於繞著ちょ某ぼう固定こてい軸じく的てき一いち個こ旋轉せんてん，而這固定こてい軸じく必包含這固定こてい點てん。換かわ句く話はなし說せつ，設定せってい附ふ體たい參考さんこう系けいB的てき原點げんてん為ため這固定點ていてん，則のり附ふ體たい參考さんこう系けいB不ふ會かい因いん為ため這位移うつり而涉及任何なん平ひら移うつり運動うんどう，再さい設定せってい附ふ體たい參考さんこう系けいB的てきz-軸じく與あずか固定こてい軸じく同軸どうじく，則のり這位移うつり對應たいおう於繞著ちょ附ふ體たい參考さんこう系けいB的てきz-軸じく旋轉せんてん$\gamma$角すみ弧こ，而z-軸じく的てき方向ほうこう是ぜ由ゆかり$\alpha$與あずか$\beta$角すみ弧こ給きゅう出で。

對たい於內部ぶ有ゆう一點被約束固定不動的剛體（或ある原點げんてん固定こてい不動ふどう的てき參考さんこう系けい），歐おう拉ひしげ旋轉せんてん定理ていり將はた其任意にんい位い移うつり等價とうか為ため繞にょう著ちょ某ぼう固定こてい軸じく的てき一いち個こ旋轉せんてん。這允許いんきょ使用しよう旋轉せんてん來らい表ひょう達たち取と向こう的てき改變かいへん。因よし此，變換へんかん矩のり陣じん$A$可か以視為ため三さん維旋轉せんてん的てき旋轉せんてん矩のり陣じん，將はた附ふ體たい參考さんこう系けいB或ある剛體ごうたい做任意にんい環たまき繞にょう著ちょ固定こてい點てん的てき旋轉せんてん，從したがえ${\hat {\mathbf {e} }}_{1}$、${\hat {\mathbf {e} }}_{2}$、${\hat {\mathbf {e} }}_{3}$旋轉せんてん成なり為ため${\hat {\mathbf {e} }}'_{1}$、${\hat {\mathbf {e} }}'_{2}$、${\hat {\mathbf {e} }}'_{3}$。參考さんこう軸じく${\hat {\mathbf {e} }}'_{i}$與あずか${\hat {\mathbf {e} }}_{j}$之これ間あいだ的てき關係かんけい為ため

${\hat {\mathbf {e} }}'_{i}=a_{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}$。

沙すな勒定理ていり

掛かけ在ざい重力じゅうりょく式しき摩ま天てん輪わ邊べ緣えん的てき乘客じょうきゃく座ざ艙在做平移うつり運動うんどう。

剛體ごうたい平たいら移うつり運動うんどう示しめせ意圖いと。

當とう剛體ごうたい移動いどう時じ，它的位置いち與あずか取ど向こう都と可能かのう會かい隨ずい著ちょ時間じかん演えんじ進すすむ而改變かいへん。沙すな勒定理ていり是ぜ歐おう拉ひしげ旋轉せんてん定理ていり的てき一いち個こ推論すいろん。根據こんきょ沙すな勒定理ていり，剛體ごうたい的てき最さい廣義こうぎ位い移うつり等價とうか於一個平移加上一個旋轉。因いん此，剛體ごうたい運動うんどう可分かぶん為平ためひら移うつり運動うんどう與あずか旋轉せんてん運動うんどう。剛體ごうたい的てき現在げんざい位置いち與あずか現在げんざい取と向こう可か以視為ため是ぜ從したがえ某ぼう個こ初はつ始はじめ位置いち與あずか初はつ始はじめ取と向こう經過けいか平ひらめ移うつ與あずか旋轉せんてん而成。

如右圖ず所しょ示しめせ，從したがえ時間じかん$t_{1}$到いた時間じかん$t_{2}$，當とう剛體ごうたい在ざい做平移うつり運動うんどう時じ，任意にんい內部兩りょう點てん，點てんP與あずか點てんQ的てき軌跡きせき（以黑色しょく實線じっせん表示ひょうじ）相互そうご平行へいこう，線せん段だん${\overline {PQ}}$（以黑色しょく虛きょ線せん表示ひょうじ）的てき方向ほうこう保持ほじ恆つね定じょう。

挑選剛體ごうたい內部一いち點てんG來らい代表だいひょう整せい個こ剛體ごうたい，設定せってい附ふ體たい參考さんこう系けいB的てき原點げんてん於點G（稱しょう為ため「基點きてん」），則のり從したがえ空間くうかん參考さんこう系けいS觀測かんそく，在ざい剛體ごうたい內部任意にんい一いち點てんP的てき位置いち$\mathbf {r} _{P}$為ため

$\mathbf {r} _{P}=\mathbf {r} _{G}+\mathbf {r} _{P/G}$；

其中，$\mathbf {r} _{G}$、$\mathbf {r} _{P/G}$分別ふんべつ是ぜ基點きてんG的てき位置いち、點てんP對たい於基點てんG的てき相對そうたい位置いち。

從したがえ附ふ體たい參考さんこう系けいB觀測かんそく，剛體ごうたい內部每ごと一いち點てん的てき位置いち都と固定こてい不變ふへん，但ただし從したがえ空間くうかん參考さんこう系けいS觀測かんそく，剛體ごうたい從したがえ時間じかん$t_{1}$到いた時間じかん$t_{2}$的てき運動うんどう，可か以分為ため基點きてんG從したがえ$\mathbf {r} _{G}(t_{1})$到いた$\mathbf {r} _{G}(t_{2})$的てき平たいら移うつり運動うんどう，與あずか位くらい移うつり$\mathbf {r} _{P/G}$從したがえ時間じかん$t_{1}$到いた時間じかん$t_{2}$的てき旋轉せんてん運動うんどう。

平ひら移うつり速度そくど與あずか角速度かくそくど

從したがえ不同ふどう的てき參考さんこう系けい觀測かんそく剛體ごうたい運動うんどう，可能かのう會かい獲得かくとく不同ふどう的てき平たいら移うつり速度そくど和わ不同ふどう的てき角速度かくそくど。為ため了りょう確保かくほ測量そくりょう結果けっか具有ぐゆう實際じっさい物理ぶつり意義いぎ，必需ひつじゅ先さき給きゅう定てい參考さんこう系けい。

剛體ごうたい的てき平たいら移うつり速度そくど是ぜ向むこう量りょう，是ぜ其位置いち向こう量的りょうてき時間じかん變化へんか率りつ，是ぜ附ふ著ちょ於剛體ごうたい的てき基點きてんG的てき速度そくど。對たい於純平たいら移うつり運動うんどう（沒ぼつ有ゆう任にん何なん旋轉せんてん運動うんどう），剛體ごうたい內部所有しょゆう點てん的てき移動いどう速度そくど相しょう同どう。假設かせつ涉わたる及旋轉せんてん運動うんどう，則のり通常つうじょう剛體ごうたい內部任意にんい兩りょう點てん的てき瞬時しゅんじ速度そくど不ふ相等そうとう；只ただ有ゆう當とう它們恰巧處しょ於同一いち直ちょく軸じく，而這直ちょく軸じく平行へいこう於轉うたて動どう瞬まどか軸じく，則のり它們的てき瞬時しゅんじ速度そくど相等そうとう。

角速度かくそくど也是向むこう量りょう，描述剛體ごうたい取と向こう改變かいへん的てき角かく速そく率りつ，和かず剛體ごうたい旋轉せんてん時じ的てき瞬時しゅんじ轉うたて軸じく的てき方向ほうこう（歐おう拉ひしげ旋轉せんてん定理ていり保證ほしょう瞬時しゅんじ轉うたて軸じく的てき存在そんざい）。在ざい任意にんい時間じかん，剛體ごうたい內部每ごと一個質點的角速度相同。

向こう量的りょうてき時間じかん變化へんか率りつ

假設かせつ一いち剛體ごうたい呈てい純じゅん旋轉せんてん運動うんどう，其附體たい參考さんこう系けいB也會跟著旋轉せんてん，因いん此，對たい於任意向いこう量りょう$\mathbf {F}$，從したがえ這附體たい參考さんこう系けいB與あずか從したがえ空間くうかん參考さんこう系けいS觀測かんそく，會得えとく到いた不同ふどう的てき結果けっか。假設かせつ附ふ體たい參考さんこう系けいB $({\hat {\mathbf {e} }}_{1},{\hat {\mathbf {e} }}_{2},{\hat {\mathbf {e} }}_{3})$與あずか空間くうかん參考さんこう系けいS $({\hat {\mathbf {x} }}_{1},{\hat {\mathbf {x} }}_{2},{\hat {\mathbf {x} }}_{3})$同どう原點げんてん。對たい於這些參考さんこう系けい，三維含時向量$\mathbf {F} (t)$分解ぶんかい為ため

$\mathbf {F} =f_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}=F_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}$。

$\mathbf {F} (t)$對たい於時間あいだ的てき導しるべ數すう為ため

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}={\frac {\mathrm {d} F_{i}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}+F_{i}{\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{\mathrm {d} t}}$。

單獨たんどく計算けいさん附ふ體たい參考さんこう軸じく對たい於時間あいだ的てき導しるべ數すう：

${\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(a_{ij}{\hat {\mathbf {x} }}_{j})={\dot {a}}_{ij}{\hat {\mathbf {x} }}_{j}={\dot {a}}_{ij}a_{kj}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}$；

其中，${\dot {a}}_{ij}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} a_{ij}}{\mathrm {d} t}}$是ぜ方向ほうこう餘弦よげん對たい於時間あいだ的てき導しるべ數すう。

由よし於${\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{\mathrm {d} t}}$垂直すいちょく於${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$，${\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{\mathrm {d} t}}$只ただ能のう是ぜ其他兩個りゃんこ單位たんい向こう量的りょうてき線せん性せい組合くみあい：

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}=-\epsilon _{ij\ell }\omega _{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{\ell }$；

其中，$\epsilon _{ij\ell }$是これ列れつ維-奇き維塔符號ふごう，$\omega _{ij}$是ぜ係數けいすう。

對たい於任意にんい${\hat {\mathbf {e} }}_{m}\neq {\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ , 單位たんい向むこう量りょう${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$與あずか${\hat {\mathbf {e} }}_{m}$的てき內積對たい於時間あいだ的てき導しるべ數すう為ため

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{m})&=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{m}+{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {e} }}_{m}\right)\\&=-\epsilon _{ij\ell }\omega _{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{\ell }\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{m}-{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \epsilon _{mj\ell }\omega _{mj}{\hat {\mathbf {e} }}_{\ell }\\&=-\epsilon _{ijm}\omega _{ij}-\epsilon _{mji}\omega _{mj}\\&=-\epsilon _{ijm}(\omega _{ij}-\omega _{mj})\\&=0\\\end{aligned}}$

所以ゆえん，$\omega _{ij}$的まと下か標しるべ$i$多た餘あまり無用むよう，可か以刪除じょ，變へん為ため$\omega _{j}$：

${\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{\mathrm {d} t}}=-\epsilon _{ij\ell }\omega _{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{\ell }$。

思考しこう${\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}$方程式ほうていしき最さい右邊うへん項目こうもく$F_{i}{\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{\mathrm {d} t}}$，對たい換かわ傀標$i$ $\ell$，可か以得到いた

$F_{i}{\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{\mathrm {d} t}}=-\epsilon _{ij\ell }F_{i}\omega _{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{\ell }=\epsilon _{ij\ell }{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\omega _{j}F_{\ell }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {F}$。

向むかい量りょう${\boldsymbol {\omega }}$是ぜ由よし三さん個こ係數けいすう$\omega _{1}$、$\omega _{2}$、$\omega _{3}$組成そせい，對應たいおう於附體たい參考さんこう系けい的てき三さん個こ參考さんこう軸じく${\hat {\mathbf {e} }}_{1}$、${\hat {\mathbf {e} }}_{2}$、${\hat {\mathbf {e} }}_{3}$，係數けいすう數すう值可以從歐おう拉ひしげ角かく計算けいさん求もとめ得え：

$\omega _{1}={\dot {a}}_{2j}a_{3j}={\dot {\alpha }}\sin {\beta }\sin {\gamma }+{\dot {\beta }}\cos {\gamma }$、

$\omega _{2}=-{\dot {a}}_{1j}a_{3j}={\dot {\alpha }}\sin {\beta }\cos {\gamma }+{\dot {\beta }}\sin {\gamma }$、

$\omega _{3}={\dot {a}}_{1j}a_{2j}={\dot {\alpha }}\cos {\beta }+{\dot {\gamma }}$。

試ためし想そう對應たいおう於歐拉ひしげ角かく$\alpha$、$\beta$、$\gamma$的てき三さん個こ旋轉せんてん軸じく分別ふんべつ為ため${\hat {\mathbf {z} }}$、${\hat {\mathbf {N} }}$、${\hat {\mathbf {Z} }}$，三さん個こ角速度かくそくど分別ふんべつ為ため

${\boldsymbol {\omega }}_{\alpha }={\dot {\alpha }}{\hat {\mathbf {z} }}={\dot {\alpha }}\sin {\beta }\sin {\gamma }{\hat {\mathbf {X} }}+{\dot {\alpha }}\sin {\beta }\cos {\gamma }{\hat {\mathbf {Y} }}+{\dot {\alpha }}\cos {\beta }{\hat {\mathbf {Z} }}$、

${\boldsymbol {\omega }}_{\beta }={\dot {\beta }}{\hat {\mathbf {N} }}={\dot {\beta }}\cos {\gamma }{\hat {\mathbf {X} }}-{\dot {\beta }}\sin {\gamma }{\hat {\mathbf {Y} }}$、

${\boldsymbol {\omega }}_{\gamma }={\dot {\gamma }}{\hat {\mathbf {Z} }}$。

這三個角速度的向量和，對たい於附體たい參考さんこう系けいB的てき分量ぶんりょう分別ふんべつ為ため

$\omega _{X}={\dot {\alpha }}\sin {\beta }\sin {\gamma }+{\dot {\beta }}\cos {\gamma }=\omega _{1}$、

$\omega _{Y}={\dot {\alpha }}\sin {\beta }\cos {\gamma }+{\dot {\beta }}\sin {\gamma }=\omega _{2}$、

$\omega _{Z}={\dot {\alpha }}\cos {\beta }+{\dot {\gamma }}=\omega _{3}$。

注意ちゅうい到いた附ふ體たい參考さんこう系けいB的てき${\hat {\mathbf {e} }}_{1}$、${\hat {\mathbf {e} }}_{2}$、${\hat {\mathbf {e} }}_{3}$就是歐おう拉ひしげ角かく的てき${\hat {\mathbf {X} }}$、${\hat {\mathbf {Y} }}$、${\hat {\mathbf {Z} }}$，所以ゆえん，向むこう量りょう${\boldsymbol {\omega }}$是ぜ附ふ體たい參考さんこう系けいB旋轉せんてん的てき角速度かくそくど。

總そう結ゆい，向むこう量りょう$\mathbf {F} (t)$對たい於時間あいだ的てき導しるべ數すう為ため

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}={\frac {\mathrm {d} F_{i}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {F}$。

設定せってい$\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }$、$\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {body} }$分別ふんべつ為ため從したがえ空間くうかん參考さんこう系けいS、附ふ體たい參考さんこう系けいB觀測かんそく到いた的てき向むこう量りょう$\mathbf {F} (t)$對たい於時間あいだ的てき導しるべ數すう，上述じょうじゅつ方程式ほうていしき可か以表達たち為ため

$\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {body} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {F}$。

項目こうもく ${\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {F}$可か以想像ぞう為ため，從したがえ空間くうかん參考さんこう系けいS觀測かんそく，剛體ごうたい內部位置いち向こう量りょう為ため$\mathbf {F}$的てき質點しつてん，由ゆかり於剛體ごうたい旋轉せんてん而產生せい的てき速度そくど。

向むかい量りょう$\mathbf {F} (t)$是ぜ任意にんい向むこう量りょう，因いん此可以將$\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }$、$\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {body} }$當とう作さく算さん符ふ，這樣，對應たいおう的てき算さん符ふ方程式ほうていしき的てき形式けいしき為ため：

$\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {body} }+{\boldsymbol {\omega }}\times$。

這算符ふ方程式ほうていしき可か以作用よう於任意にんい含時向むこう量りょう。

運動うんどう學がく方程式ほうていしき

根據こんきょ沙すな勒定理ていり，剛體ごうたい的てき最さい廣義こうぎ位い移うつり等價とうか於一個平移加上一個旋轉。挑選剛體ごうたい內部一いち點てんG來らい代表だいひょう整せい個こ剛體ごうたい，設定せってい附ふ體たい參考さんこう系けいB的てき原點げんてん於基點てんG，則のり從したがえ空間くうかん參考さんこう系けいS觀測かんそく，在ざい剛體ごうたい內部任意にんい一いち點てんP的てき位置いち$\mathbf {r} _{P}$為ため

$\mathbf {r} _{P}=\mathbf {r} _{G}+\mathbf {r} _{P/G}$；

其中，$\mathbf {r} _{G}$、$\mathbf {r} _{P/G}$分別ふんべつ是ぜ基點きてんG的てき位置いち、點てんP對たい於基點てんG的てき相對そうたい位置いち。

點てんP的てき速度そくど$\mathbf {v} _{P}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{P}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }$為ため

$\mathbf {v} _{P}=\mathbf {v} _{G}+\mathbf {v} _{P/G}$；

其中，$\mathbf {v} _{G}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{G}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }$、$\mathbf {v} _{P/G}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{P/G}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }$分別ふんべつ是ぜ基點きてんG的てき速度そくど、點てんP對たい於基點てんG的てき相對そうたい速度そくど。

應用おうよう前段ぜんだん推導出どうしゅつ的てき適用てきよう於任意にんい含時向こう量的りょうてき算さん符ふ方程式ほうていしき，可か以計算出さんしゅつ$\mathbf {v} _{P/G}$。由よし於從附ふ體たい參考さんこう系けいB觀測かんそく，剛體ごうたい內部每ごと一いち點てん的てき位置いち都と固定こてい不變ふへん，項目こうもく$\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{P/G}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {body} }$等とう於零：

$\mathbf {v} _{P/G}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{P/G}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {body} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{P/G}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{P/G}$；

其中，${\boldsymbol {\omega }}$是ぜ剛體ごうたい的てき角速度かくそくど向むこう量りょう。

所以ゆえん，點てんP的てき速度そくど為ため

$\mathbf {v} _{P}=\mathbf {v} _{G}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{P/G}$。

點てんP的てき加速度かそくど$\mathbf {a} _{P}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{P}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }$為ため

$\mathbf {a} _{P}=\mathbf {a} _{G}+\mathbf {a} _{P/G}$；

其中，$\mathbf {a} _{G}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{G}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }$、$\mathbf {a} _{P/G}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{P/G}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }$分別ふんべつ是ぜ基點きてんG的てき速度そくど、點てんP對たい於基點てんG的てき相對そうたい速度そくど。

再さい應用おうよう前段ぜんだん推導出どうしゅつ的てき算さん符ふ方程式ほうていしき，可か以計算出さんしゅつ

$\mathbf {a} _{P/G}=\left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }\times \mathbf {r} _{P/G}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{P/G}={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} _{P/G}+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{P/G})$；

其中，${\boldsymbol {\alpha }}=\left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }$是ぜ附ふ體たい參考さんこう系けいB旋轉せんてん的てき角かく加速度かそくど向むこう量りょう。

動力どうりょく學がく

主しゅ项目：刚体动力学がく

當とう描述刚体的てき动力运动時じ，必需ひつじゅ先さき處理しょり妥善剛體ごうたい的てき平たいら移うつり运动，即そく先さき選擇せんたく一個参考点來代表剛體與其附體參考系B。刚体内部ないぶ任意にんい一点都可以被選为参考点（附ふ體たい參考さんこう系けいB的てき原点げんてん）。但ただし是ぜ，根ね据すえ实际應用おうよう需要じゅよう，比較ひかく适当的てき选择為ため：

• 刚体的てき质心：對たい於自由じゆう移動いどう於空間あいだ的てき剛體ごうたい，以其質しつ心こころ為ため參考さんこう點てん的てき方法ほうほう通常つうじょう會かい給きゅう出で最さい簡單かんたん的てき運動うんどう。
• 平ひら移うつり运动為ため零れい或ある可か以简易えき研けん算さん的てき点てん：例れい如，在ざい轴或ある铰链上うえ、在ざい万まん向こう接せっ头的てき中心ちゅうしん等とう等とう。

当とう质心被ひ选为参考さんこう点てん时：

• 刚体的てき动量与あずか其旋转运动无关。在任ざいにん何なん时间，动量等とう于刚体たい的てき总质量りょう乘じょう以平いたいら移うつり速度そくど。
• 不ふ论刚体たい的てき平たいら移うつり运动为何，对于质心的てき角すみ动量皆みな等とう同どう。所以ゆえん，在ざい计算角かく动量时，可か以忽略りゃく平たいら移うつり运动。在任ざいにん何なん时间，角かく动量等とう于惯性张量乘の以角速度そくど。假かり若わか知道ともみち刚体绕主しゅ轴的てき角速度かくそくど，那な麼，角かく动量对于每ごと一いち主しゅ轴的分量ぶんりょう，是ぜ对应的てき主しゅ慣性かんせい矩のり乘の以对应的角速度かくそくど；力ちから矩のり是ぜ转动惯量乘じょう以角加速度かそくど。
• 在ざい无外力りょく作用さよう下か，可能かのう形成けいせい的てき运动为等ひとし速はや直ちょく线运动、稳定绕定轴转动、零れい力りょく矩のり进动等ひとし等ひとし。
• 作用さよう于刚体たい的てき净外力りょく，等とう于总质量乘じょう以刚体たい平たいら移うつり运动的てき加速度かそくど（也就是ぜ说，不ふ论净外力がいりょく矩のり是ぜ否ひ为零，或ある这刚体たい是ぜ否いや在ざい作さく旋转运动，牛うし頓ひたぶる第だい二に運動うんどう定律ていりつ可か以正确地应用于刚体たい平たいら移うつり运动，）。
• 总动能是これ平ひら移うつり动能与あずか旋转动能的てき总和。

刚体的てき转动

• 刚体的てき转动定律ていりつ：$M=I\alpha$，其中$M$为刚体からだ所しょ受合外力がいりょく的てき力りょく矩のり，$I$为刚体たい转动惯量，$\alpha$为刚体からだ角かく加速度かそくど。
• 刚体的てき转动动能定理ていり：$W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}M\,d\theta ={\frac {1}{2}}I\omega _{2}^{2}-{\frac {1}{2}}I\omega _{1}^{2}$，其中$\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}M\,d\theta$表示ひょうじ合あい外力がいりょく的てき力りょく矩のり$M$在ざい角かく位い移うつり$\theta _{2}-\theta _{1}$上うえ所作しょさ的てき功こう，$I$为刚体たい的てき转动惯量，$\omega$为刚体たい角速度かくそくど。
• 刚体的てき转动和平わへい动可以合成ごうせい为刚体たい的てき平面へいめん运动，由ゆかり柯尼希まれ定理ていり，其动能のう为$E_{k}={\frac {1}{2}}mV_{c}^{2}+{\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$，其中$V_{c}$为刚体たい质心对参考さんこう系けい的てき速度そくど。

参まいり阅

• 無窮むきゅう小しょう旋轉せんてん
• 歐おう拉ひしげ运动方程式ほうていしき
• 歐おう拉ひしげ運動うんどう定律ていりつ
• 剛體ごうたい動力どうりょく學がく
• 玻恩刚性
• 刚性转子
• 平面へいめん剛體ごうたい運動うんどう

參考さんこう文獻ぶんけん

• J.L. Meriam, L.G. Kraige, "Engineering Mechanics: Dynamics,"第だい三さん版はん，ISBN 978-0-471-59273-0。

外部がいぶ連結れんけつ

• 噴氣ふんき推進すいしん實驗じっけん室しつDARTS網もう頁ぺーじ：空間くうかん算さん符ふ代數だいすう