最 さい 簡單 かんたん 的 てき 力 りょく 偶是由 よし 兩個 りゃんこ 大小 だいしょう 相 しょう 同 どう 、方向 ほうこう 相反 あいはん 、作用 さよう 線 せん 相 しょう 異 こと 的 てき 作用 さよう 力 りょく 組成 そせい ,又 また 稱 たたえ 為 ため “簡單 かんたん 力 りょく 偶”[ 1] 。與作 よさく 用 よう 力 りょく 同線 どうせん 的 てき 直線 ちょくせん 稱 しょう 為 ため 這作用 よう 力 りょく 的 てき “作用 さよう 線 せん ”。作用 さよう 於物體 たい ,力 ちから 偶會給與 きゅうよ 物體 ぶったい 一種旋轉效應或力偶矩。採用 さいよう 国 くに 际单位 い 制 せい ,力 ちから 偶的單位 たんい 是 ぜ 牛 うし 頓 とみ
⋅
{\displaystyle \cdot }
公 おおやけ 尺 じゃく 。
假設 かせつ 施 ほどこせ 加 か 於一物體的兩個作用線相異的作用力分別為
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,}
、
−
F
{\displaystyle -\mathbf {F} \,}
,則 のり 其力偶矩
τ たう
{\displaystyle \tau \,}
的 てき 大小 だいしょう ,以方程式 ほうていしき 表 ひょう 達 たち 為 ため
τ たう
=
F
d
{\displaystyle \tau =Fd\,}
;
其中,
d
{\displaystyle d\,}
是 ぜ 兩個 りゃんこ 作用 さよう 力 りょく 之 の 間 あいだ 的 てき 垂直 すいちょく 距離 きょり 。
力 ちから 偶矩
τ たう
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,}
的 てき 方向 ほうこう 垂直 すいちょく 於包含 ほうがん 這力偶的平面 へいめん 。
假設 かせつ ,兩個 りゃんこ 大小 だいしょう 相等 そうとう ,方向 ほうこう 相反 あいはん 的 てき 作用 さよう 力 りょく
F
1
{\displaystyle \mathbf {F} _{1}\,}
與 あずか
F
2
{\displaystyle \mathbf {F} _{2}\,}
, 分別 ふんべつ 施 ほどこせ 加 か 於一 いち 個 こ 物體 ぶったい 的 てき 位置 いち
r
1
{\displaystyle \mathbf {r} _{1}\,}
與 あずか
r
2
{\displaystyle \mathbf {r} _{2}\,}
,則 のり 合力 ごうりょく 等 とう 於零:
F
1
+
F
2
=
0
{\displaystyle \mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}=0\,}
,
而所產 しょさん 生 せい 的 てき 力 りょく 矩 のり
M
{\displaystyle \mathbf {M} \,}
以方程式 ほうていしき 表 ひょう 達 たち 為 ため
M
=
r
1
×
F
1
+
r
2
×
F
2
=
r
12
×
F
1
{\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}=\mathbf {r} _{12}\times \mathbf {F} _{1}\,}
;
其中,
r
12
=
r
1
−
r
2
{\displaystyle \mathbf {r} _{12}=\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\,}
是 ぜ 兩個 りゃんこ 位置 いち
r
1
{\displaystyle \mathbf {r} _{1}\,}
與 あずか
r
2
{\displaystyle \mathbf {r} _{2}\,}
之 これ 間 あいだ 的 てき 相對 そうたい 位置 いち 。
特別 とくべつ 注意 ちゅうい ,由 ゆかり 於
r
12
{\displaystyle \mathbf {r} _{12}\,}
是 ぜ 相對 そうたい 位置 いち ,不隨 ふずい 參考 さんこう 點 てん 的 てき 改變 かいへん 而改變 かいへん ,從 したがえ 物體 ぶったい 上 じょう 任 にん 何 なん 參考 さんこう 點 てん 觀測 かんそく 的 てき 力 りょく 偶矩
M
{\displaystyle \mathbf {M} \,}
都 と 相等 そうとう 。因 よし 此,力 ちから 偶矩是 ぜ 個 こ 自由 じゆう 向 むかい 量 りょう ,作用 さよう 於物體 ぶったい 的 てき 任 にん 何 なん 一 いち 點 てん ,效果 こうか 都 と 一 いち 樣 よう 。
力 ちから 偶矩與 あずか 參考 さんこう 點 てん 無關 むせき
编辑
在 ざい 計算 けいさん 作用 さよう 力 りょく 的 てき 力 りょく 矩 のり 時 じ ,必須 ひっす 先 さき 選擇 せんたく 某 ぼう 參考 さんこう 點 てん P,然 しか 後 こう 才能 さいのう 計算 けいさん 作用 さよう 力 りょく 對 たい 於參考 さんこう 點 てん P的 てき 力 りょく 矩 のり 。通常 つうじょう ,若 わか 參考 さんこう 點 てん P的 てき 位置 いち 改變 かいへん ,力 ちから 矩 のり 也會改變 かいへん 。但 ただし 是 ぜ ,力 ちから 偶的力 りょく 偶矩獨立 どくりつ 於參考 さんこう 點 てん P,對 たい 於任意 にんい 參考 さんこう 點 てん ,力 ちから 偶矩都 と 相 しょう 同 どう 。換 かわ 句 く 話 はなし 說 せつ ,力 ちから 偶矩是 ぜ 一 いち 個 こ 自由 じゆう 向 むこう 量 りょう 。這理論 ろん 稱 たたえ 為 ため 伐 き 里 さと 農 のう 第 だい 二 に 力 りょく 矩 のり 定理 ていり (Varignon's Second Moment Theorem )[ 3] 。
證明 しょうめい :
假設 かせつ 分別 ふんべつ 施 ほどこせ 加 か 於位置 いち
r
1
{\displaystyle \mathbf {r} _{1}\,}
、
r
2
{\displaystyle \mathbf {r} _{2}\,}
的 てき 作用 さよう 力 りょく
F
1
{\displaystyle \mathbf {F} _{1}\,}
、
F
2
{\displaystyle \mathbf {F} _{2}\,}
,共同 きょうどう 形成 けいせい 一 いち 個 こ 力 りょく 偶,則 のり 這兩個 りゃんこ 作用 さよう 力 りょく 的 てき 合力 ごうりょく 為 ため
F
1
+
F
2
=
0
{\displaystyle \mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}=0\,}
,
這兩個 りゃんこ 作用 さよう 力 りょく 對 たい 於原點 てん O的 てき 力 りょく 矩 のり
M
O
{\displaystyle \mathbf {M} _{O}\,}
為 ため
M
O
=
r
1
×
F
1
+
r
2
×
F
2
{\displaystyle \mathbf {M} _{O}=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}\,}
。
設定 せってい 參考 さんこう 點 てん P的 てき 位置 いち 為 ため
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,}
。作用 さよう 力 りょく
F
1
{\displaystyle \mathbf {F} _{1}\,}
、
F
2
{\displaystyle \mathbf {F} _{2}\,}
對 たい 於點P的 てき 力 りょく 矩 のり
M
P
{\displaystyle \mathbf {M} _{P}\,}
為 ため
M
P
=
(
r
1
−
r
)
×
F
1
+
(
r
2
−
r
)
×
F
2
=
r
1
×
F
1
+
r
2
×
F
2
−
r
×
(
F
1
+
F
2
)
=
r
1
×
F
1
+
r
2
×
F
2
{\displaystyle \mathbf {M} _{P}=(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} )\times \mathbf {F} _{1}+(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} )\times \mathbf {F} _{2}=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}-\mathbf {r} \times (\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2})=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}\,}
。
所以 ゆえん ,力 ちから 偶矩與 あずか 參考 さんこう 點 てん 無關 むせき :
M
P
=
M
O
{\displaystyle \mathbf {M} _{P}=\mathbf {M} _{O}\,}
。
^ 1.0 1.1 Dynamics, Theory and Applications by T.R. Kane and D.A. Levinson, 1985, pp. 90-99: 自由 じゆう 下 か 載 の (页面存 そん 档备份 ,存 そん 于互联网档案 あん 馆 )
^ Physics for Engineering by Hendricks, Subramony, and Van Blerk, page 148
^ Engineering Mechanics: Equilibrium , by C. Hartsuijker, J. W. Welleman, page 64