古德ことく曼函數すう

古德ことく曼函數すう（Gudermannian function）是ぜ一いち個こ函數かんすう。它無須涉及複數ふくすう便びん將しょう三角さんかく函數かんすう和わ雙そう曲きょく函數かんすう連れん繫起來らい。

性質せいしつ

古德ことく曼函數すう，圖ず中ちゅう的てき藍色あいいろ橫線おうせん為ため漸近ぜんきん線せん$\scriptstyle {y=\pm {\frac {\pi }{2}}}\,\!$。

古德ことく曼函數すう的てき定義ていぎ如下

${\begin{aligned}{\rm {gd}}(x)&=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cosh t}}\qquad -\infty <x<\infty \\&=\arcsin \left(\tanh x\right)={\mbox{arctan}}\left(\sinh x\right)=\mathrm {arccsc} \left(\coth x\right)\\&={\mbox{sgn}}(x)\cdot \mathrm {arccos} \left(\mathrm {sech} \,x\right)={\mbox{sgn}}(x)\cdot \mathrm {arcsec} \left(\cosh x\right)\\&=2\arctan(e^{x})-{\frac {\pi }{2}}={\frac {\pi }{2}}-2\operatorname {arccot}(e^{x})\\&=2\arctan \left(\tanh {\frac {x}{2}}\right)\\&=\mathrm {arccot} \left(\mathrm {csch} \,x\right)\\\end{aligned}}\,\!$

（${\begin{aligned}{\rm {gd}}(x)=\mathrm {arccot} \left(\mathrm {csch} \,x\right)\end{aligned}}\,\!$僅在arccot的てき值域設しつらえ為ため$[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$時どき成立せいりつ，參まいり見み反はん餘よ切きり。）

有ゆう以下いか恆等こうとう式しき：

${\begin{aligned}\sin \left({\mbox{gd}}x\right)&=\tanh x;&\quad \cos \left({\mbox{gd}}x\right)&={\mbox{sech}}x\\\tan \left({\mbox{gd}}x\right)&=\sinh x;&\quad \sec \left({\mbox{gd}}x\right)&=\cosh x\\\cot \left({\mbox{gd}}x\right)&={\mbox{csch}}x;&\quad \csc \left({\mbox{gd}}x\right)&=\coth x\\\tan \left({\frac {{\mbox{gd}}x}{2}}\right)&=\tanh {\frac {x}{2}};&\quad \cot \left({\frac {{\mbox{gd}}x}{2}}\right)&=\coth {\frac {x}{2}}\\\end{aligned}}\,\!$

反はん函數かんすう

古德ことく曼函數すう的てき反はん函數かんすう，圖ず中ちゅう的てき藍色あいいろ直線ちょくせん為ため漸近ぜんきん線せん$\scriptstyle {x=\pm {\frac {\pi }{2}}}\,\!$。

古德ことく曼函數すう之の反はん函數かんすう的てき定義ていぎ為ため：

${\begin{aligned}{\mbox{arcgd}}x&={\rm {gd}}^{-1}x=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cos t}}\qquad -\pi /2<x<\pi /2\\&=\mathrm {arctanh} \,(\sin x)=\mathrm {arcsinh} \,(\tan x)\\&=\mathrm {arccoth} \,(\csc x)=\mathrm {arccsch} \,(\cot x)\\&={\mbox{sgn}}(x)\cdot \mathrm {arccosh} \,(\sec x)={\mbox{sgn}}(x)\cdot \mathrm {arcsech} \,(\cos x)\\&=2\mathrm {arctanh} \left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\&={}\ln \left|\sec x(1+\sin x)\right|\\&={}\ln \left|\tan x+\sec x\right|=\ln \left|\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)\right|\\&={}{\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right|\end{aligned}}\,\!$

有ゆう以下いか恆等こうとう式しき：

${\begin{aligned}\sinh \left({\mbox{gd}}^{-1}x\right)&=\tan x;&\quad \cosh \left({\mbox{gd}}^{-1}x\right)&=\sec x\\\tanh \left({\mbox{gd}}^{-1}x\right)&=\sin x;&\quad \;{\mbox{sech}}\left({\mbox{gd}}^{-1}x\right)&=\cos x\\\coth \left({\mbox{gd}}^{-1}x\right)&=\csc x;&\quad \,{\mbox{csch}}\left({\mbox{gd}}^{-1}x\right)&=\cot x\\\tanh \left({\frac {{\mbox{gd}}^{-1}x}{2}}\right)&=\tan {\frac {x}{2}};&\quad \,\coth \left({\frac {{\mbox{gd}}^{-1}x}{2}}\right)&=\cot {\frac {x}{2}}\\\end{aligned}}\,\!$

餘よ函數かんすう

古德ことく曼函數すう的てき餘あまり函數かんすう

古德ことく曼函數すう之の餘よ函數かんすう的てき定義ていぎ為ため：

${\begin{aligned}{\mbox{cogd}}x&={\begin{cases}\int _{\infty }^{x}{\frac {dt}{\sinh t}}\qquad 0<x<\infty \!\,\\\int _{x}^{-\infty }{\frac {dt}{\sinh t}}\qquad -\infty <x<0\!\,\end{cases}}\\&=-{\mbox{sgn}}(x)\cdot \ln \left|\tanh {x \over 2}\right|\\&={\mbox{sgn}}(x)\cdot \ln \left|\coth x+{\mbox{csch}}x\right|\\&=2{\mbox{artanh}}(e^{-\left|x\right|})\cdot {\mbox{sgn}}(x)=2{\mbox{arcoth}}(e^{\left|x\right|})\cdot {\mbox{sgn}}(x)\\&={\mbox{cogd}}^{-1}x\\\end{aligned}}\,\!$

有ゆう以下いか恆等こうとう式しき：

${\begin{aligned}\sinh \left({\mbox{cogd}}x\right)&={\mbox{csch}}x;&\quad \;\cosh \left({\mbox{cogd}}x\right)&=\coth \left|x\right|\\\tanh \left(\left|{\mbox{cogd}}x\right|\right)&={\mbox{sech}}x;&\quad \;{\mbox{sech}}\left({\mbox{cogd}}x\right)&=\tanh \left|x\right|\\\coth \left(\left|{\mbox{cogd}}x\right|\right)&=\cosh x;&\quad \,{\mbox{csch}}\left({\mbox{cogd}}x\right)&=\sinh x\\\end{aligned}}\,\!$

微分びぶん

它們的てき導しるべ數すう分別ふんべつ為ため：

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}{\mbox{gd}}x={\mbox{sech}}x;\quad {\frac {d}{dx}}{\mbox{arcgd}}x=\sec x;\quad {\frac {d}{dx}}{\mbox{cogd}}x=-{\mbox{csch}}\left|x\right|\\\end{aligned}}\,\!$

應用おうよう

• 在ざい雙そう曲きょく幾何きか中なか，表ひょう達たち式しき

${\frac {\pi }{2}}-{\mbox{gd}}(x)$

定義ていぎ了りょう平行へいこう角かく函數かんすう。

• 在ざい使用しよう麥むぎ卡托投影とうえい法ほう的てき地圖ちず，若わか以$y\,$表示ひょうじ一個地點在地圖跟赤道的距離，則のり其緯度いど$\phi \,$和わ$y\,$的てき關係かんけい為ため：

$\phi ={\mbox{gd}}(y)\,$

• 古德ことく曼函數すう在ざい倒たおせ單たん擺的てき非ひ週しゅう期き解かい中ちゅう出現しゅつげん。

參考さんこう

• CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th ed. pp 323-5.
• Gudermannian Function -- from Wolfram MathWorld （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）

發現はつげん者しゃ的てき生平おいだいら

克かつ里さと斯托夫おっと·古德ことく曼（Christof Gudermann，1798年ねん–1852年ねん）是ぜ德とく國こく數學すうがく家か，是ぜ高こう斯的てき學生がくせい，卡爾·魏ぎ爾なんじ施ほどこせ特とく拉ひしげ斯的てき老師ろうし。[1] （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）[2] （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）