哈密顿力学がく

哈密顿力学がく是これ哈密顿于1833年ねん建立こんりゅう的てき经典力学りきがく的てき重おも新しん表ひょう述じゅつ，它由拉ひしげ格かく朗ろう日び力学りきがく演えんじ变而来らい^{[註 1]}。哈密顿力学がく与あずか拉ひしげ格かく朗ろう日び力学りきがく不同ふどう的てき是ぜ前者ぜんしゃ可か以使用しよう辛からし空そら间而不依よ赖于拉ひしげ格かく朗ろう日び力学りきがく表ひょう述じゅつ。关于这点请参看さんかん其数学がく表ひょう述じゅつ。

适合用よう哈密顿力学がく表ひょう述じゅつ的てき动力系けい统称为哈密顿系统。

作さく为拉格かく朗ろう日び力学りきがく的てき重おも新しん表ひょう述じゅつ

从拉格かく朗ろう日び力学りきがく开始，运动方かた程ほど基もと于广义坐标

\left\{\,q_{j}|j=1,\ldots ,N\,\right\}

而相应的广义速度そくど为

\left\{\,{\dot {q}}_{j}|j=1,\ldots ,N\,\right\}

通つう过延伸えんしん记号的てき意い义，可か以将拉ひしげ格かく朗ろう日び函数かんすう写うつし作さく

L(q_{j},{\dot {q}}_{j},t)

其中带下标的变量视为所有しょゆうN个该类型的てき变量。哈密顿力学的がくてき目め标是用よう广义动量（也称为共きょう轭动量りょう）变量取と代だい广义速度そくど。这样一いち来らい，就可能かのう处理特定とくてい的てき系けい统，例れい如量子力学りょうしりきがく的てき某ぼう些方面めん，否いや则其表ひょう述じゅつ会かい更さら复杂。

对于每ごと个广义速度そくど，有ゆう一いち个对应的共きょう轭动量りょう，定てい义为：

p_{j}={\partial L \over \partial {\dot {q}}_{j}}

在ざい直角ちょっかく坐すわ标系中なか，广义动量就是物理ぶつり上じょう的てき线性动量。在ざい极坐标中なか，对应角速度かくそくど的てき广义动量就是物理ぶつり上じょう的てき角すみ动量。对于广义坐标的任意にんい选取，可能かのう不能ふのう找到共ども轭动量的りょうてき直ちょく观解释。

在ざい依よ赖于坐标的表ひょう述じゅつ中ちゅう不ふ太ふとし明あきら显的一いち点てん是ぜ：不同ふどう的てき广义坐标实际上无非就是同一どういつ辛からし流りゅう形がた的てき不同ふどう坐すわ标表示ひょうじ。

哈密顿量是ぜ拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう的てき勒让德とく变换：

H\left(q_{j},p_{j},t\right)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L(q_{j},{\dot {q}}_{j},t)

若わか定てい义广义坐标的变换方かた程ほど和わt无关，可か以证明あきらH等とう于总能のう量りょうE = T + V.

$H$ 的てき定てい义的每ごと边各产生一いち个微分ぶん：

{\begin{matrix}dH&=&\sum _{i}\left[\left({\partial H \over \partial q_{i}}\right)dq_{i}+\left({\partial H \over \partial p_{i}}\right)dp_{i}\right]+\left({\partial H \over \partial t}\right)dt\qquad \qquad \quad \quad \\\\&=&\sum _{i}\left[{\dot {q}}_{i}\,dp_{i}+p_{i}\,d{\dot {q}}_{i}-\left({\partial L \over \partial q_{i}}\right)dq_{i}-\left({\partial L \over \partial {\dot {q}}_{i}}\right)d{\dot {q}}_{i}\right]-\left({\partial L \over \partial t}\right)dt\end{matrix}}

把わ前面ぜんめん共ども轭动量的りょうてき定てい义代入だいにゅう这个方かた程ほど并合并系数すう，得とく到いた哈密顿力学がく的てき运动方かた程ほど，称しょう为哈密みつ顿方程ほど：

{\partial H \over \partial q_{j}}=-{\dot {p}}_{j},\qquad {\partial H \over \partial p_{j}}={\dot {q}}_{j},\qquad {\partial H \over \partial t}=-{\partial L \over \partial t}

哈密顿方程ほど是ぜ一いち阶微分びぶん方かた程ほど，因いん而比拉ひしげ格かく朗ろう日方ひかた程ほど容易ようい解ほどけ，因いん为後者しゃ是ぜ二に阶的。但ただし是ぜ，导出运动方かた程ほど的てき步ふ骤比拉ひしげ格かく朗ろう日び力学りきがく更さら繁しげる琐 - 从广义坐标和拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう开始，必须先さき计算哈密尔顿量りょう，用よう共ども轭动量りょう来らい表おもて达每个广义坐标，然しか后きさき将はた共きょう轭动量りょう代入だいにゅう哈密顿量。总之，用よう哈密顿力学がく来らい解かい决问题不比ひ用よう拉ひしげ格かく朗ろう日び力学りきがく简单多少たしょう。最さい终，這會得えとく到いた和わ拉ひしげ格かく朗ろう日び力学りきがく和わ牛うし顿运动定律ていりつ同どう样的解かい。

哈密顿方法的ほうてき主要しゅよう优点在てんざい于它提供ていきょう了りょう经典力りょく学理がくり论的更さら深刻しんこく结果的てき基もと础。

哈密顿系统的几何

哈密顿系统可以理解りかい为时间R上うえ的てき一いち个纤维丛E，其纤维E_t，t ∈ R是ぜ位置いち空そら间。拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう则是E上うえ的てきjet丛（射い流りゅう丛）J上うえ的てき函数かんすう；取と拉ひしげ格かく朗ろう日び量的りょうてき纤维内ない的てき勒让德とく变换就产生せい了りょう一个时间上的对偶丛的函数，其在t的てき纤维是ぜ余よ切きり空そら间T^*E_t，它有一いち个自然しぜん的てき辛からし形式けいしき，而这个函数すう就是哈密顿量。

数学すうがく表ひょう述じゅつ

任にん何なに辛からし流りゅう形がた上うえ的てき光ひかり滑すべり实值函数かんすうH可か以用来き定てい义一个哈密顿系统。函数かんすうH称しょう为哈密顿量或ある者もの能のう量りょう函数かんすう。该辛流りゅう形がた则称为相あい空そら间。哈密顿量在ざい辛からし流りゅう形がた上じょう导出一いち个特殊こと的てき向むかい量りょう场，称しょう为辛からし向むこう量りょう场。

该辛向むこう量りょう场，称しょう为哈密みつ顿向量りょう场，导出一いち个流形がた上じょう的てき哈密顿流。该向量りょう场的一いち个积分曲きょく线是ぜ一个流形的变换的单参数族；该曲线的参さん数すう通常つうじょう称しょう为时间。该时间的演えんじ变由辛からし同どう胚はい给出。根ね据すえ刘维尔定理ていり每まい个辛同どう胚はい保持ほじ相あい空そら间的てき体からだ积形式しき不ふ变。由よし哈密顿流导出的てき辛からし同どう胚はい的てき族ぞく通常つうじょう称しょう为哈密みつ顿系统的哈密顿力学がく。

哈密顿向量りょう场也导出一いち个特殊こと的てき操作そうさ，泊とまり松まつ括くく号ごう。泊とまり松まつ括くく号ごう作用さよう于辛流りゅう形がた上じょう的てき函数かんすう，给了流りゅう形がた上じょう的てき函数かんすう空そら间一个李り代数だいすう的てき结构。

特とく别的有ゆう，给定一いち个函数すうf

{\frac {d}{dt}}f={\frac {\partial }{\partial t}}f+\{\,f,H\,\}.

若わか已やめ知ち有ゆう一いち个概がい率りつ分布ぶんぷ, ρろー,则（因いん为相空そら间速度ど（ ${{\dot {p}}_{i}},{{\dot {q}}_{i}}$ ）有ゆう0散ち度たび，而概率りつ是ぜ不ふ变的）其传达导数すう（convective derivative）可か以证明あかり为0，所以ゆえん

{\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\{\,\rho ,H\,\}.

这称为刘维尔定理ていり。每まい个辛からし流りゅう形がた上うえ的てき光ひかり滑すべり函数かんすうG产生一いち个单参さん数すう辛からし同どう胚はい族ぞく，而若{ G, H } = 0,则G是ぜ守恒もりつね的てき，而该辛からし同どう胚はい是ぜ对称变换。

哈密顿向量りょう场的可か积性是ぜ未み解かい决的问题。通常つうじょう，哈密顿系统是混沌こんとん的てき；测度，完かん备性，可か积性和わ稳定性せい的てき概念がいねん没ぼつ有ゆう良好りょうこう的てき定てい义。迄まで今こん为止，动力系けい统的てき研究けんきゅう主要しゅよう是ぜ定性的ていせいてき，而非定量ていりょう的てき科学かがく。

黎はじむ曼流形がた

哈密顿量的てき重要じゅうよう特例とくれい是ぜ二に次じ型がた，也就是ぜ，可か以如下表かひょう达的哈密顿量

H(q,p)={\frac {1}{2}}\langle p,p\rangle _{q}

其中 $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{q}$ 是これ纤维 $T_{q}^{*}Q$ （组态空そら间中なか的てき点てんq上うえ的てき余よ切きり空そら间）上じょう的てき余よ度量どりょう。该哈密みつ顿量完全かんぜん由ゆかり动能项组成。

若わか考こう虑一个黎はじむ曼流形がた或ある一いち个伪黎曼流形がた，使つかい得とく存在そんざい一いち个可逆ぎゃく，非ひ退化たいか的てき度量どりょう，则该余あまり度量どりょう可か以简单的由よし该度量的りょうてき逆ぎゃく给出。哈密顿-雅みやび可か比ひ方かた程ほど的てき解かい就是流りゅう形がた上じょう的てき测地线。特とく别的有ゆう，这个情じょう况下的てき哈密顿流就是测地流りゅう。这些解かい的てき存在そんざい性せい和解わかい集しゅう的てき完かん备性在ざい测地线条目じょうもく中有ちゅうう详细讨论。

亚黎曼流形がた

当とう余よ度量どりょう是ぜ退化たいか的てき时，它不是ぜ可逆かぎゃく的てき。在ざい这个情じょう况下，这不是ぜ一个黎曼流形，因いん为它没ぼつ有ゆう一いち个度量りょう。但ただし是ぜ，哈密顿量依然いぜん存在そんざい。这个情じょう况下，在ざい流りゅう形がたQ的まと每ごと一いち点てんq余よ度量どりょう是ぜ退化たいか的てき，因いん此余度量どりょう的てき阶小しょう于流行りゅうこうQ的てき维度，因いん而是一いち个亚黎曼流形がた。

这种情じょう况下的てき哈密顿量称しょう为亚黎曼哈密みつ顿量。每まい个这样的哈密顿量唯一ゆいいつ的てき决定余あまり度量どりょう，反はん过来也是一いち样。这意味いみ着ぎ每ごと个亚黎曼流形がた由よし其亚黎はじむ曼哈密みつ顿量唯一ゆいいつ的てき决定，而其逆ぎゃく命いのち题也为真：每まい个亚黎はじむ曼流形がた有ゆう唯ただ一的亚黎曼哈密顿量。亚黎曼测地ち线的存在そんざい性せい由ゆかり周しゅう-臘雪夫おっと斯基定理ていり（英えい语：Chow–Rashevskii theorem）给出。

连续实值海うみ森もり堡群提供ていきょう了りょう亚黎曼流形がた的てき一いち个例子こ。对于海うみ森もり堡群，哈密顿量为

H(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z})={\frac {1}{2}}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right)

.

$p_{z}$ 没ぼつ有ゆう在ざい哈密顿量中ちゅう被ひ涉わたる及到。

泊とまり松代まつよ数すう

哈密尔顿系けい统可以几种方式しき推广。如果不ふ仅简单的利用りよう辛からし流りゅう形がた上うえ的てき光ひかり滑すべり函数かんすう的てき结合代数だいすう，哈密尔顿系けい统可以用更さら一般いっぱん的てき交换有ゆう单位的てき实泊とまり松代まつよ数すう表おもて述じゅつ。一いち个状じょう态是ぜ一いち个（装そう备了恰当的てき拓つぶせ扑结构的まと）泊とまり松代まつよ数すう上じょう的てき连续线性泛函，使つかい得とく对于代数だいすう中ちゅう的てき每まい个元素げんそA，A²映うつ射い到いた非ひ负实数すう。

进一いち步ほ的てき推广由ゆかり南部なんぶ力学りきがく给出。

註釋ちゅうしゃく

^ 拉ひしげ格かく朗ろう日び力学りきがく是ぜ经典力学りきがく的てき另一表ひょう述じゅつ，由ゆかり拉ひしげ格かく朗ろう日び于1788年ねん建立こんりゅう。

参考さんこう資料しりょう

文獻ぶんけん

Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X
Rychlik, Marek, "拉ひしげ格かく郎ろう日和びより哈密顿力学がく-- 一いち个简介かい（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）"
Binney, James, "经典力学りきがく" (PostScript) 笔记（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）（PDF）

參まいり見み

[1] 拉ひしげ格かく朗ろう日び力学りきがく是ぜ经典力学りきがく的てき另一表ひょう述じゅつ，由ゆかり拉ひしげ格かく朗ろう日び于1788年ねん建立こんりゅう。

[註 1]