四極よんきょく子こ

提示ていじ：此条目的もくてき主ぬし题不是ぜ二に端はし口こう网络，它有時じ也稱為ため四よん端はし網もう絡からま。

四極よんきょく子こ（英語えいご：Quadrupole）是ぜ指ゆび一いち種しゅ電荷でんか、電流でんりゅう或ある產さん生せい引力いんりょく的てき質點しつてん等ひとし場ば源げん在ざい空間くうかん中分なかぶん佈模式しき。四極子是一種特殊的空間分佈，對たい於一般分佈而言，四極子可以是其多た極きょく展開てんかい的てき一いち部分ぶぶん。

數學すうがく定義ていぎ

四极子通常用一个张量表おもて述じゅつ，四よん极矩张量Q是ぜ一いち个二に阶张量，即そく一いち个迹为零的てき3x3矩のり阵（即そく $Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}=0$）。四极矩张量有9个元素げんそ，但ただし是ぜ由よし于对称しょう性せい和わ迹为零れい的てき特性とくせい，其中只ただ有ゆう5个元素げんそ是ぜ独立どくりつ的てき。

以电荷に分布ぶんぷ为例，系けい统中的てき电荷以点电荷形式けいしき离散分布ぶんぷ于空间中，每まい个点电荷的てき电荷量りょう为 $q$，坐すわ标为 ${\vec {r}}=(r_{x},r_{y},r_{z})$，则张量りょう $Q$ 的てき矩のり阵元为

$Q_{ij}=\sum _{l}q_{l}(3r_{i}r_{j}-\|{\vec {r}}\|^{2}\delta _{ij})$.

其中下か标 $i$ 和わ $j$ 分ぶん别遍历 $x,y,z$ 三个表示笛卡尔坐标的下标，$\delta _{ij}$ 是これ克かつ罗内克かつ函数かんすう。

对于具有ぐゆう连续电荷密度みつど（或ある质量密度みつど）分布ぶんぷ的てき系けい统，密度みつど在ざい空そら间中的てき分布ぶんぷ以 $\rho (x,y,z)$ 表おもて达，此时 Q 由よし空そら间上的てき积分来き定てい义：

$Q_{ij}=\int \,\rho (3r_{i}r_{j}-\|{\vec {r}}\|^{2}\delta _{ij})\,d^{3}\mathbf {r}$

对于一いち个任意にんい的てき多た极子体系たいけい，若わか它的低てい阶矩（单极矩のり和わ偶极矩のり）不ふ是ぜ零れい，则四极矩的值与坐标原点げんてん的てき选取有ゆう关。例れい如，两个相反あいはん但ただし电荷量りょう相しょう同どう的まと点てん电荷组成的てき电偶极子，具有ぐゆう电偶极矩。若わか原点げんてん不在ふざい两个电荷的てき中点ちゅうてん，那な么这个体系けい的てき电四极矩不为零，反たん之の则为零れい。如果低てい阶矩都と是ぜ零れい（例れい如四个相同电荷量的电荷置于正方形的四个顶点上，每ごと条じょう边上的てき两个电荷异号），则电四极矩与坐标原点无关。

对于势的てき大小だいしょう可か表示ひょうじ为 $1/r$ 形式けいしき的てき场（例れい如电场和わ引力いんりょく场），四极子对势的贡献为：

$V_{q}(\mathbf {R} )={\frac {k}{|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}{\frac {1}{2}}Q_{ij}\,n_{i}n_{j}\ ,$

其中 R 是ぜ场源（电荷、质量等とう）系けい统指向しこう场中某ぼう点てん的てき位い移うつり矢や量りょう，n 是ぜ与あずか R 同どう方向ほうこう的てき单位矢や量りょう。$i,j$ 的てき含义与あずか前ぜん面相めんそう同どう，$n_{i},n_{j}$ 表示ひょうじ n 在ざい $i$ 或ある $j$ 方向ほうこう的てき分量ぶんりょう。

电四极子

一个电四极子的等电势面图.

最さい简单的てき电四极子是四个相同电荷量的电荷置于正方形的四个顶点上，每ごと条じょう边上的てき两个电荷异号。这个体系たいけい中ちゅう的てき总电荷に量りょう为零。在ざい此情况下，其电偶极矩都と是ぜ零れい，但ただし电四极矩不ふ是ぜ零れい，二者皆与坐标系的选取无关。此电荷に体系たいけい产生的てき电势由よし以下いか式子しょくし给出

$V_{q}(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}{\frac {1}{2}}Q_{ij}\,n_{i}n_{j}\ ,$

其中 $\epsilon _{0}$ 是これ电容率りつ, $Q_{ij}$ 定てい义同上じょう.

磁四极子

能のう产生四よん极场的てき线圈

磁铁组成的てき磁四极子

众所周知しゅうち，磁铁分ぶん为南北きた两极，两极之の间有磁场。然しか而，四极磁场将四个磁铁相互垂直放置，其中一个磁极比如南极都朝内放置，另一个磁极如北极都朝外放置，四个磁铁呈放射状。这样的てき结构将しょう磁偶极矩抵消，产生一いち个四极矩。这样的てき磁场强度きょうど在ざい大だい范围内ない衰おとろえ减很快かい（相あい对于磁偶极）。磁四极子的磁场常用于在粒子りゅうし加速器かそくき中ちゅう聚焦带电粒子りゅうし束たば，属ぞく于强つよ聚焦方法ほうほう的てき一いち种。随ずい时间变化的てき磁四极子能产生电磁辐射。

重力じゅうりょく四よん極きょく子こ

由よし質點しつてん组成的てき四極子與電四極子類似，其產生せい的てき重力じゅうりょく場じょう可か表ひょう達たち為ため：

$V_{q}(\mathbf {R} )=-G{\frac {1}{2}}{\frac {1}{|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}Q_{ij}\,n_{i}n_{j}\ .$

例れい如，由ゆかり於地球ちきゅう不ふ是ぜ完かん美的びてき球體きゅうたい，在ざい赤道せきどう處しょ略りゃく有ゆう隆起りゅうき，地球ちきゅう產さん生せい的てき四よん極きょく矩のり不為ふため零れい。這個四極矩對於靠近地球的人造衛星軌道的計算非常重要，但ただし對たい於月球だま軌道きどう計算けいさん則そく影響えいきょう較小。這是由よし於因為ため四極矩產生的場是 ${\frac {1}{|\mathbf {R} |^{3}}}$ 的てき形式けいしき，隨ずい距離きょり衰おとろえ减很快かい。

重力じゅうりょく四よん極きょく矩のり在ざい廣義こうぎ相對そうたい論ろん中也ちゅうや十分じゅうぶん重要じゅうよう。如果它隨時間じかん變化へんか，就能產さん生せい重力じゅうりょく波は（與あずか震盪しんとう的てき電でん或ある磁四極矩產生電磁輻射的情形類似）。只ただ有ゆう重力じゅうりょく四極矩或更高階的矩能向外輻射出引力波。在ざい重力じゅうりょく的てき情じょう境さかい下か，單たん極きょく矩のり代表だいひょう系統けいとう的てき總そう质量，是ぜ一いち個こ守恆もりつね量りょう，不ふ產さん生せい輻射ふくしゃ。相あい同どう的てき，系統けいとう的てき動どう量りょう為ため偶極矩のり對たい時間じかん的てき一いち階かい導しるべ數すう，也是守恆もりつね量りょう，不隨ふずい時間じかん變化へんか，因いん此偶極ごく矩のり不ふ產さん生せい輻射ふくしゃ。而四よん極きょく矩のり可か隨時ずいじ間あいだ變化へんか，因いん此它是能これよし產さん生せい重力じゅうりょく波は輻射ふくしゃ的てき最低さいてい階かい多た極きょく矩のり。

能のう夠向外がい輻射ふくしゃ重力じゅうりょく波は的てき最さい簡單かんたん系統けいとう是ぜ：兩個りゃんこ相しょう同どう質量しつりょう的てき質點しつてん以其質しつ心こころ互相繞にょう行作ぎょうさく圓周えんしゅう運動うんどう。假設かせつ坐すわ標しるべ系けい以質心しん作為さくい原點げんてん，並なみ且以質しつ心こころ到いた其中一質點的距離作為距離單位，則のり這個系統けいとう的てき四よん極きょく矩のり為ため

$Q_{ij}=M(3x_{i}x_{j}-\delta _{ij})$

其中 M 是ぜ兩個りゃんこ質點しつてん各自かくじ的てき質量しつりょう，$x_{i}$ 是ぜ質點しつてん位置いち向こう量りょう在ざい坐すわ標しるべ軸じく其中一いち方向ほうこう的てき分量ぶんりょう。當とう互相繞にょう行作ぎょうさく圓周えんしゅう運動うんどう時じ，x方向ほうこう向むこう量りょう會かい旋轉せんてん，使つかい其一階導數及二階導數均不為0（因いん有ゆう速度そくど及加速度そくど），因いん此此系統けいとう可か輻射ふくしゃ出で重力じゅうりょく波は。在ざい赫爾斯-泰たい勒脈衝雙星ぼし（為ため兩りょう質量しつりょう相近すけちか的てき中子なかご星ぼし組成そせい的てき脈みゃく衝星雙そう星ほし系けい统）中ちゅう找到了りょう因いん重力じゅうりょく波は輻射ふくしゃ導しるべ致能量りょう損失そんしつ的てき證據しょうこ。

正せい如電じょでん荷に和わ電流でんりゅう多た極きょく對たい電磁場でんじば有ゆう貢獻こうけん一いち樣よう，質量しつりょう和わ質量しつりょう流りゅう多た極きょく對たい廣義こうぎ相對そうたい論ろん中ちゅう的てき引力いんりょく場じょう有ゆう貢獻こうけん，從したがえ而產生せい所謂いわゆる的てき重力じゅうりょく電磁でんじ性せい。 改變かいへん質量しつりょう流りゅう多た極きょく也可以發出はっしゅつ引力いんりょく輻射ふくしゃ。 然しか而，質量しつりょう流りゅう多た極きょく的てき貢獻こうけん通常つうじょう比ひ質量しつりょう四極的貢獻小得多。

相關そうかん條目じょうもく

• 多た極きょく展開てんかい
• 多た極きょく磁矩
• 固体こたい谐波
• 轴向多た极矩
• 圆柱形がた多た极矩
• 球たま多た極きょく矩のり
• 拉ひしげ普ひろし拉ひしげ斯展开
• 勒壤得とく多項式たこうしき
• 四极离子阱
• 四よん极质谱仪

外部がいぶ連結れんけつ

• Multipole expansion（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）