因數いんすう

提示ていじ：此条目め页的主ぬし题不是ぜ因いん式しき。

因数いんすう（英語えいご：factor）也称 约数、因子いんし、除じょ子こ、除數じょすう（divisor），是ぜ一いち个常见的数学すうがく名めい词，用よう于描述じゅつ自然しぜん数すう $a$ 和わ自然しぜん数すう $b$ 之これ间存在そんざい的てき整除せいじょ关系，即そく $b$ 可か以被 $a$ 整除せいじょ。这里我わが们称 $b$ 是これ $a$ 的てき倍数ばいすう，$a$ 是これ $b$ 的てき因数いんすう或ある因子いんし。

定てい义

设 $a,b$ 满足 $a\in \mathbb {N} ^{*},b\in \mathbb {N}$. 若わか存在そんざい $q\in \mathbb {N}$ 使つかい得とく $b=aq$, 那な么就说 $b$ 是これ $a$ 的てき倍数ばいすう， $a$ 是これ $b$ 的てき约数。这种关系记作 $a|b$,读作“$a$ 整除せいじょ $b$”.

例れい如 $24=3\times 8,\;1150=25\times 46$. 所以ゆえん $3|24,\;25|1150$，同どう时 $3$ 是これ $24$ 的てき因数いんすう；$25$ 是これ $1150$ 的てき因数いんすう。

除じょ了りょう自己じこ本身ほんみ外的がいてき因數いんすう，稱たたえ為ため 真因しんいん數すう 或ある 真ま因子いんし（proper divisor）。

性せい质

• 若わか $a|b,\;b|c$ 那な么 $a|c$.

• 若わか $a|b,\;a|c$ 且 $x,y\in \mathbb {Z}$, 有ゆう $a|(bx+cy)$.

• 若わか $a|b$, 设 $t\not =0$, 那な么 $(ta)|(tb)$.

• 若わか $b=qd+c$, 那な么 $d|b$ 的てき充たかし要よう条件じょうけん是これ $d|c$

• 若わか $x,y\in \mathbb {Z}$ 满足 $ax+by=1,\;a|n.\;b|n$ 那な么 $ab|n$.

这里对最后きさき一条性质进行证明:

$\because a|n,\;b|n\quad \therefore ab|bn,\;ab|an\quad \therefore ab|(anx+bny)$

$\because ax+by=1\quad \therefore ab|n$

证毕。

相あい关定理ていり

整数せいすう的てき唯一ゆいいつ分解ぶんかい定理ていり

任にん何なん一いち个正せい整数せいすう都みやこ有ゆう且仅有ゆう一种方式写出它所有素数そすう因子いんし的てき乘じょう积表达式。这个过程称しょう为质因数すう分解ぶんかい

如果 $A\in \mathbb {N} ^{+}$, 那な么

$A=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{a_{i}}$, 其中 $p_{i}$ 是ぜ一いち个素数そすう.

这种表示ひょうじ方法ほうほう是ぜ唯一ゆいいつ的てき。

因数いんすう个数

自然しぜん数すう $N$ 的てき因数いんすう个数以 $d(n)$ 表示ひょうじ。

若わか $N$ 唯一ゆいいつ分解ぶんかい为 $N=p_{1}^{a_{1}}\times p_{2}^{a_{2}}\times p_{3}^{a_{3}}\times \cdots \times p_{n}^{a_{n}}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{k_{i}}$, 则 $d(N)=(a_{1}+1)\times (a_{2}+1)\times (a_{3}+1)\times \cdots \times (a_{n}+1)=\prod _{i=1}^{n}\left(a_{i}+1\right)$.

例れい如 $2646=2\times 3^{3}\times 7^{2}$，则其正せい因数いんすう个数 $d(2646)=(1+1)\times (3+1)\times (2+1)=24$。

因数いんすう和わ

自然しぜん数すうN的てき正せい因数いんすう和わ，以因数すう函数かんすう $\sigma (N)$ 表示ひょうじ。由よし质因数すう分解ぶんかい而得。

若わか $N$ 唯一ゆいいつ分解ぶんかい为 $N=p_{1}^{a_{1}}\times p_{2}^{a_{2}}\times p_{3}^{a_{3}}\times \cdots \times p_{n}^{a_{n}}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{k_{i}}$, 则 $\sigma (N)=\prod _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=0}^{a_{i}}p_{i}^{j}\right)$.

再さい由よし等比とうひ级数求もとめ和わ公式こうしき可知かち，上うえ式しき亦また可か写うつし成なり：

${\begin{aligned}\sigma (N)&={\frac {p_{1}^{a_{1}+1}-1}{p_{1}-1}}\times {\frac {p_{2}^{a_{2}+1}-1}{p_{2}-1}}\times \cdots \times {\frac {p_{n}^{a_{n}+1}-1}{p_{n}-1}}&\end{aligned}}$

例れい如$2646=2\times 3^{3}\times 7^{2}$，则其正せい因数いんすう之の和わ

${\begin{aligned}\sigma (2646)&=(1+2)\times (1+3+9+27)\times (1+7+49)\\&={\frac {2^{2}-1}{2-1}}\times {\frac {3^{4}-1}{3-1}}\times {\frac {7^{3}-1}{7-1}}\\&=3\times 40\times 57\\&=6840\end{aligned}}$。

其他

• 所有しょゆうn的てき正せい因數いんすう都と是ぜn的てき質しつ因數いんすう的てき積せき的てき一いち些冪べき。這是算術さんじゅつ基本きほん定理ていり的てき結果けっか。

• 1是ぜ所有しょゆう整數せいすう的てき正せい因數いんすう，-1是ぜ所有しょゆう整數せいすう的てき負ふ因數いんすう，因よし為ため$x=1x=-1\times (-x)$

由よし上うえ式しき同樣どうよう可か證明しょうめい，一いち個こ整數せいすう及其相反あいはん數すう必然ひつぜん為ため自身じしん的てき因數いんすう，叫さけべ做 明あかり顯あらわ因數いんすう。

• n的てき正せい因數いんすう數すう目もく是ぜ積せき性せい函數かんすうd(n)，正せい因數いんすう之の和則かずのり是ぜ另一いち個こ積せき性せい函數かんすうσしぐま(n)。詳しょう見み除數じょすう函數かんすう

• 質しつ數すう$p$只ただ有ゆう2個こ正因まさより數すう：1, $p$。$p$ 的てき平方へいほう數すう只ただ有ゆう三さん個こ正因まさより數すう：1, $p$, $p^{2}$。

相關そうかん條目じょうもく

• 因數いんすう判別はんべつ法ほう可か參照さんしょう整除せいじょ規則きそく。
• 質しつ數すう
• 同どう余よ
• 質しつ因數いんすう
• 公倍數こうばいすう、最小公倍數さいしょうこうばいすう
• 公おおやけ因數いんすう、最さい大公たいこう因數いんすう