定常ていじょう系統けいとう

在ざい經典きょうてん力學りきがく裏うら，如果一いち個こ系統けいとう的てき所有しょゆう約束やくそく都みやこ是ただし定常ていじょう約束やくそく（scleronomous constraint），則のり稱しょう此系統けいとう為ため定常ていじょう系統けいとう（scleronomous system）。定常ていじょう約束やくそく顯あらわ性せい地ち不ふ含時間あいだ。假かり若わか約束やくそく顯あらわ性せい地ち含時間あいだ，則のり稱しょう此約束やくそく為ため非ひ定常ていじょう約束やくそく。

應用おうよう

主要しゅよう項目こうもく：廣義こうぎ速度そくど

在ざい三さん維空間あいだ裏うら，一いち個こ質量しつりょう為ため$m$、速度そくど為ため$\mathbf {v}$的てき粒子りゅうし的てき動どう能のう是これ

$T={\frac {1}{2}}mv^{2}$。

速度そくど是ぜ位置いち$\mathbf {r}$對たい於時間あいだ$t$的てき導しるべ數すう。應用おうよう偏へん微分びぶん連鎖れんさ律りつ，可か以得到いた

$\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{dq_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{dt}}$；

其中，$q_{i}$是ぜ第だい$i$個こ廣義こうぎ坐すわ標しるべ，${\dot {q}}_{i}$是ぜ對應たいおう的てき廣義こうぎ速度そくど。

所以ゆえん，

$T={\frac {1}{2}}m\sum _{i}\ \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}$。

將はた方程式ほうていしき展開てんかい，動どう能のう可か以分為ため三さん個こ項目こうもく表示ひょうじ：

$T=T_{0}+T_{1}+T_{2}$；

其中，

$T_{0}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}$，

$T_{1}=\sum _{i}\ m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}$，

$T_{2}=\sum _{i,j}\ {\frac {1}{2}}m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j},\!$。

$T_{0}$、$T_{1}$、$T_{2}$分別ふんべつ為ため廣義こうぎ速度そくど${\dot {q}}_{i}$的てき0次じ、1次じ、2次じ齊ひとし次じ函數かんすう。如果這系統けいとう是ぜ定常ていじょう系統けいとう，位置いち不ふ顯あらわ性せい地ち含時間あいだ，${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=0$，則のり只ただ有ゆう$T_{2}$不等ふとう於零。所以ゆえん，$T=T_{2}$，動どう能のう是ぜ廣義こうぎ速度そくど的てき2次じ齊ひとし次じ函數かんすう。

實例じつれい1：單たん擺

單たん擺

如右圖ず所しょ示しめせ，單たん擺是ぜ由よし一個擺錘與一條繩子組成的簡單機械；繩なわ子こ的てき上端じょうたん固定こてい，下端かたん繫著擺錘。由よし於這繩なわ子こ是ぜ無法むほう伸縮しんしゅく的てき，繩なわ子こ的てき長ちょう度ど是ぜ常數じょうすう。所以ゆえん，這系統けいとう是ぜ定常ていじょう系統けいとう；它遵守じゅんしゅ定常ていじょう約束やくそく

${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-L=0$；

其中，$(x,\ y)$是ぜ擺錘的てき位置いち，$L$是ぜ擺長。

實例じつれい2：受驅擺

單たん擺的繩なわ子こ上じょう端はし受到簡諧運動うんどう的てき驅動くどう。

參考さんこう右みぎ圖ず，假設かせつ一個單擺的繩子上端受到簡諧運動うんどう的てき驅動くどう：

$x_{t}=x_{0}\cos \omega t$；

這裏，$x_{0}$是これ振幅しんぷく，$\omega$是これ角かく頻しき率りつ，$t$是これ時間じかん。

由よし於無法ほう伸縮しんしゅく繩なわ子こ的てき長ちょう度ど是ぜ常數じょうすう，擺錘與繩よなわ子こ上じょう端はし的てき直線ちょくせん距離きょり保持ほじ不變ふへん。但ただし是ぜ，因いん為ため單たん擺的繩なわ子こ上じょう端はし受到簡諧運動うんどう的てき驅動くどう，這個受驅擺系統けいとう是非ぜひ定常ていじょう系統けいとう；它遵守じゅんしゅ非ひ定常ていじょう約束やくそく

${\sqrt {(x-x_{0}\cos \omega t)^{2}+y^{2}}}-L=0$。

參まいり閱

• 拉ひしげ格かく朗ろう日び力學りきがく
• 完かん整せい系統けいとう
• 非ひ定常ていじょう系統けいとう
• 單たん演えんじ系統けいとう
• 保守ほしゅ系統けいとう