對數たいすう平均へいきん

對數たいすう平均へいきん是ぜ一いち個こ二に個こ非負ひふ數字すうじ的てき數學すうがく函數かんすう，等とう於兩者しゃ的てき差さ除じょ以其對數たいすう的まと差さ。其符號ごう為ため：

{\begin{array}{ll}M_{\text{lm}}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\frac {\eta -\xi }{\ln \eta -\ln \xi }},\\&={\begin{cases}0&{\text{if }}x=0{\text{ or }}y=0,\\x&{\text{if }}x=y,\\{\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\end{array}}

其中 $x,y$ 都と是正ぜせい整數せいすう。

對數たいすう平均へいきん的てき計算けいさん適用てきよう在ざい有ゆう關せき熱ねつ傳でん及質しつ傳でん的てき工程こうてい問題もんだい上じょう。

不等式ふとうしき

二個數字的對數平均小於其算術さんじゅつ平均へいきん，大だい於幾何きか平均へいきん^[1]，若わか二に個こ數字すうじ相等そうとう，對數たいすう平均へいきん會かい等とう於算數すう平均へいきん及幾何なん平均へいきん。

{\sqrt {x\cdot y}}\leq M_{\text{lm}}(x,y)\leq {\frac {x+y}{2}}\qquad {\text{ for all }}x\geq 0{\text{ and }}y\geq 0.

平均へいきん的てき推導

微分びぶん的てき均ひとし值定理ていり

根據こんきょ均ひとし值定理ていり

\exists \xi \in [x,y]:\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}

若わか將しょう $f$ 改あらため為ため $\ln$ ，對數たいすう平均へいきん可か以由 $\xi$ 來らい求もとめ得え

{\frac {1}{\xi }}={\frac {\ln x-\ln y}{x-y}}

求もとめ解かい $\xi$ 。

\xi ={\frac {x-y}{\ln x-\ln y}}

積分せきぶん

對數たいすう平均へいきん也可以表示ひょうじ為ため指數しすう函數かんすう以下いか的てき面積めんせき。

L(x,y)=\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t

${\begin{array}{rcl}\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t&=&\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}x\ \mathrm {d} t\\&=&x\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\mathrm {d} t\\&=&{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}|_{t=0}^{1}\\&=&{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}-1\right)\\&=&{\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}\end{array}}$

面積めんせき的てき表示法ひょうじほう可か以推導しるべ一個有關對數平均的基本性質。因よし為ため指數しすう函數かんすう為ため單調たんちょう函數かんすう，長なが度たび為ため1區間くかん的てき的てき積分せきぶん會かい在ざい $x$ 和わ $y$ 之これ間あいだ。積分せきぶん算さん子こ的てき齐次性せい轉移てんい到いた平均へいきん算さん子こ，因いん此 $L(c\cdot x,c\cdot y)=c\cdot L(x,y)$ .

推廣

微分びぶん的てき均ひとし值定理ていり

對數たいすう平均へいきん可か推廣到いた $n+1$ 變數へんすう，考慮こうりょ對數たいすうn階かい導しるべ數すう的てき均ひとし差さ中ちゅう值定理ていり（英えい语：mean value theorem (divided differences)）。可か以得到いた: $L_{\mathrm {MV} }(x_{0},\dots ,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{(n+1)}\cdot n\cdot \ln[x_{0},\dots ,x_{n}]}}$ 其中 $\ln[x_{0},\dots ,x_{n}]$ 為ため對數たいすう的てき均ひとし差さ。

若わか $n=2$ ，會かい變成へんせい

L_{\mathrm {MV} }(x,y,z)={\sqrt {\frac {(x-y)\cdot (y-z)\cdot (z-x)}{2\cdot ((y-z)\cdot \ln x+(z-x)\cdot \ln y+(x-y)\cdot \ln z)}}}

.

積分せきぶん

積分せきぶん的てき表示法ひょうじほう也可以推廣こう到いた多た變數へんすう，但ただし結果けっか不同ふどう。假設かせつ单纯形がた $S$ 其中 $S=\{(\alpha _{0},\dots ,\alpha _{n}):\alpha _{0}+\dots +\alpha _{n}=1\ \land \ \alpha _{0}\geq 0\ \land \ \dots \ \land \ \alpha _{n}\geq 0\}$ 及適當てきとう的てき量りょう度たび $\mathrm {d} \alpha$ 可か以使单纯形がた得え到いた1的てき體積たいせき，可か得とく