積分せきぶん常數じょうすう

積分せきぶん常數じょうすう是ぜ（英語えいご：Constant of integration）指ゆび在ざい微積分びせきぶん中なか，函數かんすう的てき不定ふてい積分せきぶん表示ひょうじ式しき中ちゅう會かい出現しゅつげん的てき一いち個こ待まち定常ていじょう數すう，一般いっぱん會かい用ようC表示ひょうじ，一函數的反導數有無窮多個，但ただし其中除じょ了りょう積分せきぶん常數じょうすう不同ふどう外がい，其餘部ぶ份均相しょう同どう。

簡介

任にん何なん常數じょうすう函數かんすう的てき導しるべ數すう均ひとし為ため零れい，因いん此只要よう發現はつげん一いち個こ函數かんすう的てき反はん導しるべ數すう$F(x)$，因よし為ため$(F(x)+C)'=F\,'(x)+C\,'=F\,'(x)$，加か上じょう或ある減げん去さ一いち常數じょうすうC後こう的てき函數かんすう也是反はん導しるべ數すう，積分せきぶん常數じょうすう可用かよう來らい表示ひょうじ任にん何なん函數かんすう均ひとし有無うむ限げん個こ不同ふどう的てき反はん導しるべ數すう。

例れい如，假設かせつ需要じゅよう求もとめ得え $\cos(x)$的てき反はん導しるべ數すう，$\sin(x)$、$\sin(x)+1$及$\sin(x)-\pi$的てき導しるべ數すう都と是ぜ$\cos(x)$，因いん此都是ぜ$\cos(x)$的てき反はん導しるべ數すう。

同どう一個函數可以有許多的反導數，而這些反導しるべ數すう之の間あいだ只ただ相差おうさつ一いち個こ常數じょうすう，因いん此若要よう列れつ出で $\cos(x)$所有しょゆう的てき反はん導しるべ數すう，可か以用以下いか的てき通どおり式しき：

$\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C.$

C即そく為ため積分せきぶん常數じょうすう，利用りよう下か式しき可か以確認かくにん這些函數かんすう的てき確かく都と是ぜ$\cos(x)$的てき反はん導しるべ數すう：

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}[\sin(x)+C]&={\frac {d}{dx}}[\sin(x)]+{\frac {d}{dx}}[C]\\&=\cos(x)+0\\&=\cos(x)\end{aligned}}$

若わか利用りよう線せん性せい代數だいすう的てき描述方式ほうしき，微分びぶん算さん子こ可か將しょうk+1維的向むこう量りょう映うつ射い到いたk維的空間くうかん中ちゅう，因いん此其反はん運算うんざん（積分せきぶん）會かい多た一いち個こ待まち確定かくてい的てき條件じょうけん。

積分せきぶん常數じょうすう的てき必要ひつよう性せい

積分せきぶん常數じょうすう可か以設為ため0，而且利用りよう微積分びせきぶん基本きほん定理ていり計算けいさん定てい積分せきぶん時とき，積分せきぶん常數じょうすう會かい互相抵消，積分せきぶん常數じょうすう看み似に沒ぼつ有ゆう必要ひつよう。

不ふ過か試ためし圖ず將はた積分せきぶん常數じょうすう設しつらえ為ため0的てき作法さほう不ふ一定いってい合理ごうり，例れい如$2\sin(x)\cos(x)$可か以用以二に種しゅ方式ほうしき積分せきぶん：

${\begin{aligned}\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&\sin ^{2}(x)+C&=&-\cos ^{2}(x)+1+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&-\cos ^{2}(x)+C&=&\sin ^{2}(x)-1+C\end{aligned}}$

即そく使つかい將しょうC設しつらえ為ため0，仍然有ゆう些積分ぶん表示ひょうじ式しき中ちゅう會かい出現しゅつげん常數じょうすう，也就是ぜ說せつ有ゆう些函數すう不ふ存在そんざい一種最簡單的反導數。

使用しよう積分せきぶん常數じょうすう的てき另一いち個こ原因げんいん，是ぜ有ゆう時じ會かい需要じゅよう反はん導しるべ數すう在ざい特定とくてい點てん為ため某ぼう特定とくてい值，就像是ぜ初はつ值問題もんだい的てき情じょう形がた一いち様よう。例れい如要求ようきゅう出で$\cos(x)$的てき反はん導しるべ數すう，且x = π時じ的てき值為100，此時C只ただ有ゆう一個數值才能滿足此條件（此例中ちゅうC = 100）。

上述じょうじゅつ限げん制せい可か以用微分びぶん方かた程ほど的形まとがた式しき來らい描述：求もとめ解かい一いち個こ函數かんすう$f(x)$的てき反はん導しるべ數すう也就是ぜ求もとめ解かい微分びぶん方かた程ほど${\frac {dy}{dx}}=f(x)$。任にん何なん微分びぶん方かた程ほど都みやこ有ゆう許多きょた的てき解かい，每まい一個解都是一個良態初はつ值問題もんだい的てき唯ただ一いち解かい。上うえ一いち段だん的てき問題もんだい中なかx = π時じ的てき值為100即そく為ため初はつ始はじめ條件じょうけん。每まい一個初值問題對應一個唯一的C值，若わか沒ぼつ有ゆう積分せきぶん常數じょうすうC，許多きょた初はつ值問題もんだい就無法ほう求もとめ解かい。

不同ふどう反はん導しるべ數すう之の間あいだ只ただ差さ一いち個こ常數じょうすう的てき原因げんいん

原因げんいん可か以用以下いか定理ていり來らい表示ひょうじ：令れい$F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$及$G:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$為ため二個處處可微的函數。假設かせつ對たい於所有しょゆう的てき實數じっすうx，$F\,'(x)=G\,'(x)$都と成立せいりつ，則のり存在そんざい一いち實數じっすうC使つかい得とく對たい於所有しょゆう的てき實數じっすうx，$F(x)-G(x)=C$皆みな成立せいりつ。

若わか要よう證明しょうめい此式，由ゆかり於$[F(x)-G(x)]'=0$，因いん此以下か用ようF-G來らい代替だいたいF，而用常數じょうすう函數かんすう0來らい代替だいたいG，待まち證明しょうめい為ため一いち個こ處處しょしょ可か微ほろ，導しるべ數すう恆つね為ため0的てき函數かんすう一定いってい是ぜ常數じょうすう：

選擇せんたく一いち實數じっすうa，令れい$C=F(a)$。針はり對たい任意にんい的てきx，依よ照あきら微積分びせきぶん基本きほん定理ていり可か得とく

${\begin{aligned}\int _{a}^{x}0\,dt&=F(x)-F(a)\\&=F(x)-C,\end{aligned}}$

因いん此可得とく$F(x)=C$，因いん此F為ため常數じょうすう函數かんすう。

證明しょうめい過程かてい中ちゅう，有ゆう二に個こ條件じょうけん相當そうとう重要じゅうよう。首くび先さき，實數じっすう數すう線せん為ため連れん通どおり空間くうかん，若わか實數じっすう數すう線せん不ふ是ぜ連れん通どおり空間くうかん，就無法ほう從したがえ固定こてい的てきa點てん積分せきぶん到いた任意にんい的てきx點てん。例れい如一函數かんすう只ただ在ざい[0,1]及[2,3]的てき區間くかん有ゆう定義ていぎ，而a為ため0，因いん為ため函數かんすう在ざい1到いた2之これ間あいだ沒ぼつ有ゆう定義ていぎ，不可能ふかのう從したがえ0積分せきぶん到いた3。此時會かい有ゆう二に個こ常數じょうすう，分別ふんべつ對應たいおう定てい义域中なか的てき二に個こ連れん通どおり空間くうかん。一般いっぱん而言，若わか將はた常數じょうすう改あらため為ため局部きょくぶ常數じょうすう函數かんすうs，可か以將此定理ていり延伸えんしん到いた不ふ連れん通どおり的てき空間くうかん中ちゅう。例れい如$\textstyle \int dx/x$有ゆう二に個こ積分せきぶん常數じょうすう，而$\textstyle \int \tan x\,dx,$有無うむ限げん個こ積分せきぶん常數じょうすう。1/x積分せきぶん的てき一般いっぱん式しき為ため：

$\int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}$

再さい者しゃ，F和わG的てき條件じょうけん需是處處しょしょ可か微ほろ的てき函數かんすう，若わかF及G在ざい某ぼう一いち點てん不可ふか微ほろ，則のり以上いじょう定理ていり不成立ふせいりつ。例れい如令$F(x)$单位阶跃函数かんすう，在ざいx負ふ值時為ため0，在ざいx非負ひふ時じ為ため1，令れい$G(x)=0$。F在ざい有ゆう定義ていぎ導しるべ數すう的てき區域くいき，其導數すう為ため0，G的てき導しるべ數すう恆つね為ため0，但ただしF及G不ふ只ただ差さ一いち個こ常數じょうすう而已。

甚至假設かせつF及G為ため處處しょしょ連續れんぞく，幾いく乎處處しょ可か微ほろ，則のり以上いじょう定理ていり仍然不成立ふせいりつ。康かん托たく函數かんすう和かず常數じょうすう函數かんすう0就是這樣的てき例れい子こ。