衍射示 しめせ 意圖 いと 照射 しょうしゃ 光波 こうは 有 ゆう 孔 あな 徑 みち 的 てき 會 かい 在 ざい 後方 こうほう 區域 くいき 產 さん 生 せい 耳 みみ 從 したがえ 形成 けいせい 波 は 點 てん 假設 かせつ 照射 しょうしゃ 光波 こうは 有 ゆう 孔 あな 徑 みち 的 てき 不透明 ふとうめい 則 のり 會 かい 有 ゆう 圖樣 ずよう 出現 しゅつげん 根據 こんきょ 惠 めぐみ 更 さら 耳 みみ 原理 げんり 從 したがえ 孔 あな 徑 みち 任意 にんい 點 てん 次 じ 波 なみ 源 げん 發射 はっしゃ 出 で 的 てき 圓 えん 球面 きゅうめん 次 じ 波 は 在 ざい 觀察 かんさつ 屏 へい 點 てん 的 てき 波 なみ
ψ ぷさい (
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \psi (x,y,z)}
為 ため
ψ ぷさい (
x
,
y
,
z
)
=
−
i
λ らむだ
∫
S
ψ ぷさい (
x
′
,
y
′
,
0
)
e
i
k
R
R
K
(
χ かい )
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle \psi (x,y,z)=-\ {\frac {i}{\lambda }}\int _{\mathbb {S} }\psi (x',y',0){\frac {e^{ikR}}{R}}K(\chi )\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
其中，
r
=
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}
是 ぜ 點 てん 的 てき 直角 ちょっかく 坐 すわ 標 しるべ
r
′
=
(
x
′
,
y
′
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {r} '=(x',y',0)}
是 ぜ 點 てん 的 てき 直角 ちょっかく 坐 すわ 標 しるべ
λ らむだ
{\displaystyle \lambda }
是 ぜ 波長 はちょう
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
是 ぜ 積分 せきぶん 平面 へいめん 孔 あな 徑 みち
ψ ぷさい (
x
′
,
y
′
,
0
)
{\displaystyle \psi (x',y',0)}
是 ぜ 位 い 次 じ 波 なみ 源 げん 的 てき 波 なみ
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
是 ぜ 從 したがえ 點 てん 到 いた 點 てん 的 てき 位 い 移 うつり 向 むこう 量 りょう
R
{\displaystyle R}
是 これ
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
的 てき 數 すう 小 しょう
K
(
χ かい )
{\displaystyle K(\chi )}
是 ぜ 傾斜 けいしゃ 因子 いんし
χ かい
{\displaystyle \chi }
是 ぜ 垂直 すいちょく 徑 みち 平面 へいめん 的 てき 法 ほう 向 むこう 量 りょう 與 あずか
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
之 これ 間 あいだ 的 てき
古 こ 夫 おっと 基 もと 爾 なんじ 給 きゅう 出 で 了 りょう 傾斜 けいしゃ 因子 いんし
K
(
χ かい )
{\displaystyle K(\chi )}
的 まと 表 ひょう 達 たち 式 しき
K
(
χ かい )
=
1
2
(
1
+
cos
χ かい )
{\displaystyle K(\chi )={\frac {1}{2}}(1+\cos \chi )}
除 じょ 了 りょう 最 さい 簡單 かんたん 的 てき 案 あん 例 れい 以外 いがい 幾 いく 不可能 ふかのう 積分 せきぶん 式 しき 的 てき 解析 かいせき 解 かい 通常 つうじょう 必須 ひっす 使用 しよう 數 かず 分析 ぶんせき 方法 ほうほう 來 らい 解析 かいせき 積分 せきぶん 式 しき
為 ため 了 りょう 要 よう 計算 けいさん 積分 せきぶん 式 しき 的 てき 解答 かいとう 必須 ひっす 先 さき 使 し 積分 せきぶん 項目 こうもく 更 さら 簡單 かんたん 化 か 設定 せってい
ρ ろー =
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
{\displaystyle \rho ={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}}}
(
x
′
,
y
′
,
0
)
{\displaystyle (x',y',0)}
與 あずか
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
之 これ 間 あいだ 的 てき 距離 きょり
R
{\displaystyle R}
可 か 泰 たい 數 すう 表示 ひょうじ 為 ため
R
=
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
+
z
2
=
ρ ろー
2
+
z
2
=
z
1
+
ρ ろー
2
z
2
=
z
[
1
+
ρ ろー
2
2
z
2
−
1
8
(
ρ ろー
2
z
2
)
2
+
⋯
]
=
z
+
ρ ろー
2
2
z
−
ρ ろー
4
8
z
3
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}R&={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}}={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}\\&=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}\\&=z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \right]\\&=z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}+\cdots \\\end{aligned}}}
。 假 かり 若 わか 保留 ほりゅう 所有 しょゆう 項目 こうもく 則 のり 數式 すうしき 為 ため 精確 せいかく 解 かい [ 3] 將 はた
R
{\displaystyle R}
的 てき 級數 きゅうすう 式 しき 代入 だいにゅう 被 ひ 積 せき 函數 かんすう 的 てき 相 しょう 位 い 耳 みみ 近似 きんじ 的 てき 要點 ようてん 是 ぜ 在 ざい 假定 かてい 級 きゅう 數式 すうしき 的 てき 第 だい 三 さん 個 こ 項目 こうもく 非常 ひじょう 微小 びしょう 可 か 忽 ゆるがせ 略 りゃく 為 ため 了 りょう 達 たち 到 いた 目的 もくてき 第 だい
2
π ぱい
{\displaystyle 2\pi }
k
ρ ろー
4
8
z
3
≪
2
π ぱい
{\displaystyle {\frac {k\rho ^{4}}{8z^{3}}}\ll 2\pi }
改 あらため 換 かわ 長 ちょう
λ らむだ =
2
π ぱい
/
k
{\displaystyle \lambda =2\pi /k}
來 らい 表 ひょう 達 たち
ρ ろー
4
8
z
3
λ らむだ
≪
1
{\displaystyle {\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}\lambda }}\ll 1}
將 しょう 先 さき 前 まえ
ρ ろー
{\displaystyle \rho }
的 まと 表 ひょう 達 たち 式 しき 代入 だいにゅう
[
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
]
2
8
z
3
λ らむだ
≪
1
{\displaystyle {\frac {[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]^{2}}{8z^{3}\lambda }}\ll 1}
假 かり 若 わか 對 たい 所有 しょゆう
(
x
′
,
y
′
,
0
)
{\displaystyle (x',y',0)}
與 あずか
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
的 てき 可能 かのう 條件 じょうけん 成立 せいりつ 則 のり 泰 たい 數式 すうしき 的 てき 第 だい
從 したがえ 論述 ろんじゅつ
R
{\displaystyle R}
可 か 近似 きんじ 為 ため
R
≈
z
+
ρ ろー
2
2
z
=
z
+
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
2
z
{\displaystyle R\approx z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}=z+{\frac {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}{2z}}}
這方程式 ほうていしき 稱 しょう 為 ため 耳 みみ 近似 きんじ 近似 きんじ 成立 せいりつ 的 てき 條件 じょうけん 是 ぜ 上述 じょうじゅつ 不等式 ふとうしき
例 れい 對 たい 半徑 はんけい 為 ため 的 てき 圓 えん 孔 あな 假設 かせつ 觀察 かんさつ 屏 へい 區域 くいき 的 てき 半徑 はんけい 入射 にゅうしゃ 波 は 的 てき 波長 はちょう 為 ため 則 のり 近似 きんじ 成立 せいりつ 的 てき 條件 じょうけん 為 ため
z
≫
(
ρ ろー
4
8
λ らむだ
)
1
/
3
=
[
0.002
4
8
⋅
500
⋅
10
−
9
]
1
/
3
≈
0.016
[
m
]
{\displaystyle z\gg \left({\frac {\rho ^{4}}{8\lambda }}\right)^{1/3}=\left[{\frac {0.002^{4}}{8\cdot 500\cdot 10^{-9}}}\right]^{1/3}\approx 0.016[m]}
圓 えん 孔 あな 與 あずか 觀察 かんさつ 屏 へい 之 の 間 あいだ 的 てき 距離 きょり
z
{\displaystyle z}
必須 ひっす 超大 ちょうだい 16mm じゅうろくみり 實際 じっさい 條件 じょうけん 太 ふと 過 か 嚴 げん 從 したがえ 數 すう 分析 ぶんせき 的 てき 結果 けっか 只 ただ 要 よう 圓 えん 孔 あな 與 あずか 觀察 かんさつ 屏 へい 之 の 間 あいだ 的 てき 距離 きょり
z
{\displaystyle z}
大 だい 16mm じゅうろくみり 了 りょう [ 4]
假設 かせつ 孔 あな 徑 みち 尺寸 しゃくすん 超 ちょう 小 しょう 傳播 でんぱ 路 ろ 徑 みち 長 ちょう 度 ど 則 のり
K
(
χ かい )
≈
1
{\displaystyle K(\chi )\approx 1}
特別 とくべつ 是 ぜ 在 ざい 軸 じく 附近 ふきん 的 てき 小 しょう 範圍 はんい 區域 くいき
x
,
y
≪
z
{\displaystyle x,y\ll z}
分母 ぶんぼ 的 てき
R
{\displaystyle R}
可 か 近似 きんじ 為 ため
R
≈
z
{\displaystyle R\approx z}
只 ただ 取 と 至 いたり 線 せん 性 せい 項目 こうもく 現在 げんざい 採用 さいよう 耳 みみ 近似 きんじ 則 のり 在 ざい 位置 いち
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
的 てき 波 なみ
ψ ぷさい (
x
,
y
,
z
)
=
−
i
e
i
k
z
λ らむだ z
∫
S
ψ ぷさい (
x
′
,
y
′
,
0
)
e
i
k
[
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
]
/
2
z
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle \psi (x,y,z)=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}\int _{\mathbb {S} }\psi (x',y',0)e^{ik[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]/2z}\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
這就是 ぜ 耳 みみ 積分 せきぶん 式 しき 仔細 しさい 推敲 すいこう 積分 せきぶん 式 しき 的 てき 含意 がんい 假設 かせつ 耳 みみ 近似 きんじ 成立 せいりつ 則 のり 位 い 徑 みち 的 てき 次 つぎ 波 なみ 源 げん 發 はつ 射出 しゃしゅつ 的 てき 圓 えん 球面 きゅうめん 次 じ 波 は 會 かい 軸 じく 方向 ほうこう 傳播 でんぱ 到 いた 觀察 かんさつ 屏 へい 整 せい 個 こ 積分 せきぶん 調製 ちょうせい 圓 えん 球面 きゅうめん 波 は 的 てき 波 なみ 幅 はば 與 あずか 相 あい 位 い 只 ただ 有 ゆう 對 たい 數 すう 案 あん 例 れい 方程式 ほうていしき 存在 そんざい 分析 ぶんせき 解答 かいとう
更進 こうしん 一 いち 步 ほ 近似 きんじ 將 はた
e
i
k
R
{\displaystyle e^{ikR}}
近似 きんじ 為 ため
e
i
k
z
{\displaystyle e^{ikz}}
相 そう 位 い 部分 ぶぶん 至 いたり 線 せん 性 せい 項目 こうもく 有 ゆう 當 とう 觀察 かんさつ 屏 へい 與 あずか 孔 あな 徑 みち 之 の 間 あいだ 的 てき 距離 きょり 超 ちょう 遠 とお 時 とき 才 ざい 成立 せいりつ 目 め 夫 おっと 朗 ろう 和 わ 射 しゃ 耳 みみ 與 あずか 夫 おっと 射 しゃ 不同 ふどう 的 てき 地方 ちほう 主要 しゅよう 是 ぜ 耳 みみ 將 しょう 波 は 前 まえ 的 てき 曲 きょく 率 りつ 納入 のうにゅう 考量 こうりょう 為 ため 了 りょう 要 よう 精確 せいかく 計算 けいさん 相互 そうご 干涉 かんしょう 的 てき 波 なみ 彼此 ひし 之 の 間 あいだ 的 てき 相對 そうたい 相 しょう 位 い
轴上照度 しょうど 輻 や 照度 しょうど 比率 ひりつ 對 たい 無量 むりょう 綱 つな 距離 きょり 圖 ず 照射 しょうしゃ 光波 こうは 有 ゆう 孔 あな 徑 みち 的 てき 會 かい 在 ざい 後方 こうほう 區域 くいき 產 さん 生 せい 耳 みみ 因 いん 觀察 かんさつ 屏 へい 會 かい 出現 しゅつげん 光 こう 斑 むら 注意 ちゅうい 到 いた 在 ざい 光 ひかり 斑 まだら 的 てき 中心 ちゅうしん 有 ゆう 一 いち 個 こ 黑點 こくてん 的 てき 輻 や 照度 しょうど 等 とう 夫 おっと 朗 ろう 和 わ 射 しゃ 不 ふ 會 かい 在 ざい 光 ひかり 斑 まだら 的 てき 中心 ちゅうしん 產 さん 生 せい 點 てん 假設 かせつ 孔 あな 徑 みち 是 ぜ 半徑 はんけい 為 ため
a
{\displaystyle a}
的 てき 圓 えん 孔 あな 首 しゅ 先 さき 計算 けいさん 中心 ちゅうしん 軸 じく 的 てき 波 なみ
x
,
y
=
0
{\displaystyle x,y=0}
又 また 假設 かせつ 入射 にゅうしゃ 波 は 是 ぜ 波 は 幅 はば 為 ため
ψ ぷさい
0
{\displaystyle \psi _{0}}
朝 あさ 著 ちょ 軸 じく 傳播 でんぱ 的 てき 平面 へいめん 波 は
根據 こんきょ 耳 みみ 積分 せきぶん 式 しき
ψ ぷさい (
0
,
0
,
z
)
=
−
i
e
i
k
z
ψ ぷさい
0
λ らむだ z
∫
S
e
i
k
(
x
′
2
+
y
′
2
)
/
2
z
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle \psi (0,0,z)=-\ {\frac {ie^{ikz}\psi _{0}}{\lambda z}}\int _{\mathbb {S} }e^{ik(x'^{2}+y'^{2})/2z}\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
改 あらため 採 と 極 ごく 坐 すわ 標 しるべ
(
ρ ろー ′
,
θ しーた ′
)
{\displaystyle (\rho ',\theta ')}
ψ ぷさい (
0
,
0
,
z
)
=
−
i
e
i
k
z
ψ ぷさい
0
λ らむだ z
∫
0
a
e
i
k
ρ ろー
′
2
/
2
z
ρ ろー ′
d
ρ ろー ′
=
−
ψ ぷさい
0
e
i
k
z
(
e
i
k
a
2
/
2
z
−
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi (0,0,z)&=-\ {\frac {ie^{ikz}\psi _{0}}{\lambda z}}\int _{0}^{a}e^{ik\rho '^{2}/2z}\ \rho '\mathrm {d} \rho '\\&=-\psi _{0}e^{ikz}(e^{ika^{2}/2z}-1)\\\end{aligned}}}
。 輻 や 照度 しょうど
I
(
z
)
{\displaystyle I(z)}
為 ため [ 5]
I
(
z
)
=
ψ ぷさい
∗
ψ ぷさい
/
2
=
ψ ぷさい
0
2
2
sin
2
(
k
a
2
/
4
z
)
=
I
0
sin
2
(
k
a
2
/
4
z
)
{\displaystyle I(z)=\psi ^{*}\psi /2=\psi _{0}^{\ 2}\ 2\sin ^{2}(ka^{2}/4z)=I_{0}\sin ^{2}(ka^{2}/4z)}
從 したがえ 數 すう 繪 え 製 せい 的 てき 輻 や 照度 しょうど 比率 ひりつ 對 たい 無量 むりょう 綱 つな 距離 きょり 圖 ず 展示 てんじ 出 で 離 はなれ 孔 あな 徑 みち 越 こし 近 きん 震盪 しんとう 越 えつ 劇烈 げきれつ 區域 くいき 是 ぜ 耳 みみ 區域 くいき 在 ざい 區域 くいき 裏 うら 輻 や 照度 しょうど 的 てき 極 ごく 分別 ふんべつ 為 ため
極大 きょくだい 當 とう
z
=
a
2
2
n
λ らむだ
,
n
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle z={\frac {a^{2}}{2n\lambda }},\qquad n=1,2,3,\dots }
極小 きょくしょう 當 とう
z
=
a
2
(
2
n
−
1
)
λ らむだ
,
n
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle z={\frac {a^{2}}{(2n-1)\lambda }},\qquad n=1,2,3,\dots }
離 はなれ 孔 あな 徑 みち 越 えつ 遠 とお 兩個 りゃんこ 相 しょう 之 の 間 あいだ 的 てき 間隔 かんかく 越 えつ 大 だい
z
=
a
2
/
λ らむだ
{\displaystyle z=a^{2}/\lambda }
是 ぜ 最後 さいご 一 いち 個 こ 極 ごく 遠 とお 距離 きょり 輻 や 照度 しょうど 呈 てい 單調 たんちょう 遞減 ていげん 通常 つうじょう 物理 ぶつり 學者 がくしゃ 規定 きてい 耳 みみ 區域 くいき 的 てき 耳 みみ 數 すう 大 だい 等 とう 應 おう
Z
F
=
a
2
/
λ らむだ
{\displaystyle Z_{F}=a^{2}/\lambda }
為 ため 分界 ぶんかい 點 てん 超 ちょう 遠 どお 分界 ぶんかい 點 てん 是 ぜ 夫 おっと 朗 ろう 和 わ 射 しゃ 區域 くいき 可 か 使用 しよう 夫 おっと 朗 ろう 和 わ 近似 きんじ 數學 すうがく 計算 けいさん 比較 ひかく 簡單 かんたん
例 れい 對 たい 半徑 はんけい 為 ため 的 てき 圓 えん 孔 あな 假設 かせつ 入射 にゅうしゃ 波 は 的 てき 波長 はちょう 為 ため 則 のり
Z
F
{\displaystyle Z_{F}}
為 ため
Z
F
=
0.001
2
500
⋅
10
−
9
≈
2
[
m
]
{\displaystyle Z_{F}={\frac {0.001^{2}}{500\cdot 10^{-9}}}\approx 2[m]}
總 そう 結 ゆい 孔 あな 徑 みち 與 あずか 觀察 かんさつ 屏 へい 之 の 間 あいだ 的 てき 距離 きょり 在 ざい 是 ぜ 耳 みみ 區域 くいき 以外 いがい 是 ぜ 夫 おっと 朗 ろう 和 わ 射 しゃ 區域 くいき
轴侧照度 しょうど 通 つう 梅 うめ 数 すう 的 てき 耳 みみ 中心 ちゅうしん 可能 かのう 是 ぜ 黑 くろ 班 はん 或 ある 白斑 はくはん 斑 まだら [ 6]
I
=
(
V
0
−
cos
(
u
2
+
v
2
2
u
)
)
2
+
(
V
1
−
sin
(
u
2
+
v
2
2
u
)
)
2
{\displaystyle I=\left(V_{0}-\cos \left({\frac {u^{2}+v^{2}}{2u}}\right)\right)^{2}+\left(V_{1}-\sin \left({\frac {u^{2}+v^{2}}{2u}}\right)\right)^{2}}
其中
V
m
{\displaystyle V_{m}}
是 ぜ 二 に 元 げん 隆 りゅう 梅 うめ 数 すう
V
m
=
∑
n
=
0
∞
∗
(
(
−
1
)
n
∗
(
v
u
)
2
∗
n
+
m
∗
J
2
n
+
m
(
v
)
)
{\displaystyle V_{m}=\sum _{n=0}^{\infty }*((-1)^{n}*({\frac {v}{u}})^{2*n+m}*J_{2n+m}(v))}
J
2
n
+
m
(
v
)
{\displaystyle J_{2n+m}(v)}
第 だい 一 いち
2
n
+
m
{\displaystyle 2n+m}
贝塞尔函数 すう
泊 とまり 松 まつ 光 ひかり 斑 まだら 圆盘衍射在 ざい 的 てき 强度 きょうど
I
=
I
0
∗
λ らむだ
2
/
4
{\displaystyle I=I_{0}*\lambda ^{2}/4}
因 いん 射的 しゃてき 强度 きょうど 和波 わなみ 平方 ひらかた 成 しげる 正 せい 比 ひ 的 てき 直径 ちょっけい 与 あずか 的 てき 所以 ゆえん 的 てき 中心 ちゅうしん 一定 いってい 是 ぜ 点 てん 亮 あきら 点 てん 称 しょう 泊 とまり 松 まつ 光 ひかり 斑 まだら [ 7] 耳 みみ 的 てき 中心 ちゅうしん 点 てん 根 ね 据 すえ 直径 ちょっけい 和 わ 之 の 不同 ふどう 可 か 亮 あきら 点 てん 暗 くら 点 てん
菲涅尔单缝衍射 しゃ 菲涅耳 みみ 的 てき 强度 きょうど 分布 ぶんぷ [ 8]
I
=
(
C
p
(
Y
)
−
C
q
(
Y
)
)
2
+
(
S
p
(
Y
)
−
S
q
(
Y
)
)
2
{\displaystyle I=(Cp(Y)-Cq(Y))^{2}+(Sp(Y)-Sq(Y))^{2}}
其中 Cp,Cq 为余弦 よげん 菲涅耳 みみ ：
C
p
(
Y
)
:=
∫
0
p
(
cos
(
(
1
/
2
)
∗
π ぱい ∗
t
2
)
d
t
{\displaystyle Cp(Y):=\int _{0}^{p}(\cos((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
C
q
(
Y
)
=
∫
0
q
(
cos
(
(
1
/
2
)
∗
π ぱい ∗
t
2
)
d
t
{\displaystyle Cq(Y)=\int _{0}^{q}(\cos((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
正弦 せいげん 耳 みみ
S
p
(
Y
)
:=
∫
0
p
(
sin
(
(
1
/
2
)
∗
π ぱい ∗
t
2
)
d
t
{\displaystyle Sp(Y):=\int _{0}^{p}(\sin((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
S
q
(
Y
)
=
∫
0
q
(
sin
(
(
1
/
2
)
∗
π ぱい ∗
t
2
)
d
t
{\displaystyle Sq(Y)=\int _{0}^{q}(\sin((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
菲涅耳 みみ 与 あずか 夫 おっと 射 しゃ 明 あきら 不同 ふどう 之 の 者 しゃ 的 てき 第 だい 者 しゃ
菲涅尔直边衍射 しゃ 菲涅耳 みみ 直 ちょく 射 しゃ 一个平面波通过与光线传播方向垂直的不透明直边，
直 ちょく 射的 しゃてき 强度 きょうど 分布 ぶんぷ [ 9]
I
=
(
C
p
(
Y
)
+
0.5
)
2
+
(
S
p
(
Y
)
+
0.5
)
)
2
{\displaystyle I=(Cp(Y)+0.5)^{2}+(Sp(Y)+0.5))^{2}}
其中 Cq 为余弦 よげん 菲涅耳 みみ ：
C
q
(
Y
)
=
∫
0
q
(
cos
(
(
1
/
2
)
∗
π ぱい ∗
t
2
)
d
t
{\displaystyle Cq(Y)=\int _{0}^{q}(\cos((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
Sp 为正弦 せいげん 耳 みみ
S
p
(
Y
)
:=
∫
0
p
(
sin
(
(
1
/
2
)
∗
π ぱい ∗
t
2
)
d
t
{\displaystyle Sp(Y):=\int _{0}^{p}(\sin((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
射 しゃ 在 ざい 区 く 附近 ふきん 强度 きょうど 不 ふ 在 ざい 明 あかり 亮 あきら 区 く 光 ひかり 强 きょう 尼 あま 振 ふ 式 しき 衰 おとろえ 一 いち 定数 ていすう [ 10] [ 11]
設定 せってい 函數 かんすう
h
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle h(x,y,z)}
為 ため
h
(
x
,
y
,
z
)
=
−
i
e
i
k
z
λ らむだ z
e
i
k
2
z
(
x
2
+
y
2
)
{\displaystyle h(x,y,z)=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}e^{i{\frac {k}{2z}}(x^{2}+y^{2})}}
波 なみ
ψ ぷさい (
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \psi (x,y,z)}
可 か 為 ため 卷 まき 積 つもる 形式 けいしき
ψ ぷさい (
x
,
y
,
z
)
=
∬
−
∞
∞
ψ ぷさい (
x
′
,
y
′
,
0
)
h
(
x
−
x
′
,
y
−
y
′
,
z
)
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle \psi (x,y,z)=\iint \limits _{-\infty }^{\ \ \ \infty }\psi (x',y',0)h(x-x',y-y',z)\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
或 ある 者 もの 由 ゆかり 坐 すわ 標 しるべ 與 あずか 積分 せきぶん 無關 むせき 可 か 坐 すわ 標 しるべ 資 し 提出 ていしゅつ
ψ ぷさい
z
(
x
,
y
)
=
∬
−
∞
∞
ψ ぷさい
0
(
x
′
,
y
′
)
h
z
(
x
−
x
′
,
y
−
y
′
)
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle \psi _{z}(x,y)=\iint \limits _{-\infty }^{\ \ \ \infty }\psi _{0}(x',y')h_{z}(x-x',y-y')\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
這卷積 せき 又 また 可 か 標記 ひょうき 為 ため
ψ ぷさい
z
(
x
,
y
)
=
ψ ぷさい
0
(
x
,
y
)
∗
h
z
(
x
,
y
)
{\displaystyle \psi _{z}(x,y)=\psi _{0}(x,y)*h_{z}(x,y)}
根據 こんきょ 卷 まき 積 つもる 定理 ていり 函數 かんすう 卷 まき 積 つもる 的 てき 傅 でん 立葉 たてば 變換 へんかん 是 ぜ 函數 かんすう 傅 でん 立葉 たてば 變換 へんかん 的 てき 乘 じょう 積 せき 方程式 ほうていしき 表 ひょう 達 たち
F
{
ψ ぷさい
z
(
x
,
y
)
}
=
F
{
ψ ぷさい
0
(
x
,
y
)
∗
h
(
x
,
y
)
}
=
F
{
ψ ぷさい
0
(
x
,
y
)
}
⋅
F
{
h
z
(
x
,
y
)
}
{\displaystyle {\mathcal {F}}\{\psi _{z}(x,y)\}={\mathcal {F}}\{\psi _{0}(x,y)*h(x,y)\}={\mathcal {F}}\{\psi _{0}(x,y)\}\cdot {\mathcal {F}}\{h_{z}(x,y)\}}
其中，
F
{
f
(
x
,
y
)
}
{\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(x,y)\}}
是 ぜ 函數 かんすう
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
的 てき 傅 でん 立葉 たてば 變換 へんかん
假設 かせつ 學 がく 系統 けいとう 是 ぜ 線 せん 性 せい 系統 けいとう 滿足 まんぞく 空間 くうかん 不變 ふへん 性 せい 即 そく 改變 かいへん 波 は 源 げん 的 てき 位置 いち 只 ただ 會 かい 改變 かいへん 圖樣 ずよう 的 てき 位置 いち 不 ふ 會 かい 改變 かいへん 圖樣 ずよう 的 てき 形狀 けいじょう 可 か 為 ため 是 ぜ 由 よし
假設 かせつ 性 せい 系統的 けいとうてき 線 せん 性 せい 算 さん 子 こ 為 ため
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
輸入 ゆにゅう 函數 かんすう 為 ため
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
輸出 ゆしゅつ 函數 かんすう 為 ため
G
(
X
,
Y
)
{\displaystyle G(X,Y)}
則 のり 兩個 りゃんこ 函數 かんすう 之 の 間 あいだ 的 てき 關係 かんけい 可 か 達 たち 為 ため
G
(
X
,
Y
)
=
L
{
f
(
x
,
y
)
}
{\displaystyle G(X,Y)={\mathcal {L}}\{f(x,y)\}}
應用 おうよう 狄拉克 かつ δ でるた 函數 かんすう 的 てき 數學 すうがく 性質 せいしつ
G
(
X
,
Y
)
=
L
{
∬
−
∞
∞
f
(
x
′
,
y
′
)
δ でるた (
x
−
x
′
)
δ でるた (
y
−
y
′
)
d
x
′
d
y
′
}
{\displaystyle G(X,Y)={\mathcal {L}}\left\{\iint \limits _{-\infty }^{\ \ \ \infty }f(x',y')\delta (x-x')\delta (y-y')\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'\right\}}
將 はた
f
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle f(x',y')}
視 み 為 ため 函數 かんすう
δ でるた (
x
−
x
′
)
δ でるた (
y
−
y
′
)
{\displaystyle \delta (x-x')\delta (y-y')}
權 けん 重 おも 係數 けいすう 應用 おうよう 線 せん 性 せい 系統 けいとう 的 てき 性質 せいしつ 可 か 積分 せきぶん 式 しき 寫 うつし 為 ため
G
(
X
,
Y
)
=
∬
−
∞
∞
f
(
x
′
,
y
′
)
L
{
δ でるた (
x
−
x
′
)
δ でるた (
y
−
y
′
)
}
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle G(X,Y)=\iint \limits _{-\infty }^{\ \ \ \infty }f(x',y'){\mathcal {L}}\{\delta (x-x')\delta (y-y')\}\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
由 よし 論 ろん 表現 ひょうげん 觀察 かんさつ 屏 へい 輻 や 照 あきら 圖案 ずあん 的 てき 函數 かんすう
h
z
(
x
,
y
)
{\displaystyle h_{z}(x,y)}
是 ぜ 線 せん 性 せい 系統 けいとう 對 たい 孔 あな 徑 みち 位置 いち
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle (x',y')}
的 てき 狄拉克 かつ δ でるた 函數 かんすう 所 ところ 的 てき 響 ひびき 應 おう 因 いん 為 ため 脈 みゃく 應 おう [ 12]
定義 ていぎ 空間 くうかん 頻 しき 率 りつ
K
x
,
K
y
{\displaystyle K_{x},K_{y}}
為 ため
K
x
=
d
e
f
k
x
/
z
{\displaystyle K_{x}\ {\stackrel {def}{=}}\ kx/z}
K
y
=
d
e
f
k
y
/
z
{\displaystyle K_{y}\ {\stackrel {def}{=}}\ ky/z}
將 はた 橫 よこ 向 むこう 位 い 移 うつり 的 てき 每 ごと 一 いち 個 こ 分量 ぶんりょう 展開 てんかい
(
x
−
x
′
)
2
=
x
2
+
x
′
2
−
2
x
x
′
{\displaystyle (x-x')^{2}=x^{2}+x'^{2}-2xx'}
(
y
−
y
′
)
2
=
y
2
+
y
′
2
−
2
y
y
′
{\displaystyle (y-y')^{2}=y^{2}+y'^{2}-2yy'}
則 のり 耳 みみ 積分 せきぶん 式 しき 可 か 設定 せってい 函數 かんすう
G
(
K
x
,
K
y
)
{\displaystyle G(K_{x},K_{y})}
為 ため 函數 かんすう
g
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle g(x',y')}
的 てき 傅 でん 立葉 たてば 變換 へんかん 那 な 根據 こんきょ 定義 ていぎ 函數 かんすう
G
(
K
x
,
K
y
)
{\displaystyle G(K_{x},K_{y})}
為 ため
G
(
K
x
,
K
y
)
=
d
e
f
F
{
g
(
x
′
,
y
′
)
}
=
d
e
f
∬
−
∞
∞
g
(
x
′
,
y
′
)
e
−
i
(
K
x
x
′
+
K
y
y
′
)
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle G(K_{x},K_{y})\ {\stackrel {def}{=}}\ {\mathcal {F}}\left\{g(x',y')\right\}\ {\stackrel {def}{=}}\ \iint \limits _{-\infty }^{\ \ \ \infty }g(x',y')e^{-i(K_{x}x'+K_{y}y')}\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
設定 せってい 函數 かんすう
g
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle g(x',y')}
為 ため
g
(
x
′
,
y
′
)
=
ψ ぷさい
0
(
x
′
,
y
′
)
e
i
k
(
x
′
2
+
y
′
2
)
/
2
z
{\displaystyle g(x',y')=\psi _{0}(x',y')e^{ik(x'^{2}+y'^{2})/2z}}
菲涅耳 みみ 積分 せきぶん 式 しき 表 ひょう 達 たち 為 ため
ψ ぷさい
z
(
x
,
y
)
=
−
i
e
i
k
z
λ らむだ z
e
i
k
(
x
2
+
y
2
)
/
2
z
F
{
ψ ぷさい
0
(
x
′
,
y
′
)
e
i
k
(
x
′
2
+
y
′
2
)
/
2
z
}
=
−
i
e
i
k
z
λ らむだ z
e
i
k
(
x
2
+
y
2
)
/
2
z
F
{
g
(
x
′
,
y
′
)
}
=
−
i
e
i
k
z
λ らむだ z
e
i
k
(
x
2
+
y
2
)
/
2
z
G
(
K
x
,
K
y
)
=
h
z
(
x
,
y
)
G
(
K
x
,
K
y
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{z}(x,y)&=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}\ {\mathcal {F}}\{\psi _{0}(x',y')e^{ik(x'^{2}+y'^{2})/2z}\}\\&=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}\ {\mathcal {F}}\{g(x',y')\}\\&=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}\ G(K_{x},K_{y})\\&=h_{z}(x,y)\ G(K_{x},K_{y})\\\end{aligned}}}
； 其中，函數 かんすう
h
z
(
x
,
y
)
=
−
i
e
i
k
z
λ らむだ z
e
i
k
(
x
2
+
y
2
)
/
2
z
{\displaystyle h_{z}(x,y)=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}}
在 ざい 例 れい 計算 けいさん 時 じ 先 さき 計算 けいさん
g
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle g(x',y')}
的 てき 傅 でん 立葉 たてば 變換 へんかん 然 しか 後 ご 將 はた 空間 くうかん 頻 しき 率 りつ
K
x
,
K
y
{\displaystyle K_{x},K_{y}}
替 かえ 換 かわ 回 かい 原 ばら 來 らい 的 てき 變量 へんりょう 最後 さいご 再 さい 乘 じょう
h
z
(
x
,
y
)
{\displaystyle h_{z}(x,y)}
到 いた
ψ ぷさい
z
(
x
,
y
)
{\displaystyle \psi _{z}(x,y)}
假 かり 若 わか
g
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle g(x',y')}
是 これ 個 こ 常見 つねみ 函數 かんすう 已 やめ 知道 ともみち
g
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle g(x',y')}
的 てき 傅 でん 立葉 たてば 變換 へんかん 則 のり 一 いち 種 しゅ 比較 ひかく 精緻 せいち 的 てき 理論 りろん 方法 ほうほう 更 さら 多 た 相關 そうかん 目 め 線 せん 性 せい 標準 ひょうじゅん 轉換 てんかん
![{\displaystyle {\begin{aligned}R&={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}}={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}\\&=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}\\&=z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \right]\\&=z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}+\cdots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51b5efb63bb08b6df1a2797505eec3b7b0c9de19)
![{\displaystyle {\frac {[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]^{2}}{8z^{3}\lambda }}\ll 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4eeb84a66c3267c3271e92a8f28a20c8bb6ea80)
![{\displaystyle z\gg \left({\frac {\rho ^{4}}{8\lambda }}\right)^{1/3}=\left[{\frac {0.002^{4}}{8\cdot 500\cdot 10^{-9}}}\right]^{1/3}\approx 0.016[m]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f494abfec5c4acfeac1fa81abb704962594d1e6)
![{\displaystyle \psi (x,y,z)=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}\int _{\mathbb {S} }\psi (x',y',0)e^{ik[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]/2z}\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/043116bdd1d9468255a5ed42d454e478764cbb2b)
![{\displaystyle Z_{F}={\frac {0.001^{2}}{500\cdot 10^{-9}}}\approx 2[m]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e16bdedfb0f1eb2c88ab7c6c0b75d1d8fc576db1)
