衍射示 しめせ 意圖 いと :照射 しょうしゃ 光波 こうは 於開有 ゆう 孔 あな 徑 みち 的 てき 擋板,會 かい 在 ざい 擋板後方 こうほう 區域 くいき 產 さん 生 せい 菲涅耳 みみ 衍射,從 したがえ 而形成 けいせい 波 は 擾於點 てん P。
假設 かせつ 照射 しょうしゃ 光波 こうは 於開有 ゆう 孔 あな 徑 みち 的 てき 不透明 ふとうめい 擋板,則 のり 會 かい 有 ゆう 衍射圖樣 ずよう 出現 しゅつげん 於觀察屏。根據 こんきょ 惠 めぐみ 更 さら 斯-菲涅耳 みみ 原理 げんり ,從 したがえ 孔 あな 徑 みち 內部任意 にんい 點 てん 次 じ 波 なみ 源 げん Q發射 はっしゃ 出 で 的 てき 圓 えん 球面 きゅうめん 次 じ 波 は ,在 ざい 觀察 かんさつ 屏 へい 點 てん P的 てき 波 なみ 擾
ψ ぷさい
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \psi (x,y,z)}
為 ため
ψ ぷさい
(
x
,
y
,
z
)
=
−
i
λ らむだ
∫
S
ψ ぷさい
(
x
′
,
y
′
,
0
)
e
i
k
R
R
K
(
χ かい
)
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle \psi (x,y,z)=-\ {\frac {i}{\lambda }}\int _{\mathbb {S} }\psi (x',y',0){\frac {e^{ikR}}{R}}K(\chi )\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
;
其中,
r
=
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}
是 ぜ 點 てん P的 てき 直角 ちょっかく 坐 すわ 標 しるべ ,
r
′
=
(
x
′
,
y
′
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {r} '=(x',y',0)}
是 ぜ 點 てん Q的 てき 直角 ちょっかく 坐 すわ 標 しるべ ,
λ らむだ
{\displaystyle \lambda }
是 ぜ 波長 はちょう ,
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
是 ぜ 積分 せきぶん 平面 へいめん (孔 あな 徑 みち ),
ψ ぷさい
(
x
′
,
y
′
,
0
)
{\displaystyle \psi (x',y',0)}
是 ぜ 位 い 於點次 じ 波 なみ 源 げん Q的 てき 波 なみ 擾,
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
是 ぜ 從 したがえ 點 てん Q到 いた 點 てん P的 てき 位 い 移 うつり 向 むこう 量 りょう ,
R
{\displaystyle R}
是 これ
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
的 てき 數 すう 值大小 しょう ,
K
(
χ かい
)
{\displaystyle K(\chi )}
是 ぜ 傾斜 けいしゃ 因子 いんし ,
χ かい
{\displaystyle \chi }
是 ぜ 垂直 すいちょく 於孔徑 みち 平面 へいめん 的 てき 法 ほう 向 むこう 量 りょう 與 あずか
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
之 これ 間 あいだ 的 てき 夾角。
古 こ 斯塔夫 おっと ·基 もと 爾 なんじ 霍夫給 きゅう 出 で 了 りょう 傾斜 けいしゃ 因子 いんし
K
(
χ かい
)
{\displaystyle K(\chi )}
的 まと 表 ひょう 達 たち 式 しき :
K
(
χ かい
)
=
1
2
(
1
+
cos
χ かい
)
{\displaystyle K(\chi )={\frac {1}{2}}(1+\cos \chi )}
。
除 じょ 了 りょう 最 さい 簡單 かんたん 的 てき 衍射案 あん 例 れい 以外 いがい ,幾 いく 乎不可能 ふかのう 找到這積分 せきぶん 式 しき 的 てき 解析 かいせき 解 かい 。通常 つうじょう ,必須 ひっす 使用 しよう 數 かず 值分析 ぶんせき 方法 ほうほう 來 らい 解析 かいせき 這積分 せきぶん 式 しき 。
為 ため 了 りょう 要 よう 計算 けいさん 這積分 せきぶん 式 しき 的 てき 解答 かいとう ,必須 ひっす 先 さき 使 し 積分 せきぶん 項目 こうもく 更 さら 簡單 かんたん 化 か 。設定 せってい
ρ ろー
=
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
{\displaystyle \rho ={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}}}
。
(
x
′
,
y
′
,
0
)
{\displaystyle (x',y',0)}
與 あずか
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
之 これ 間 あいだ 的 てき 距離 きょり
R
{\displaystyle R}
可 か 以以泰 たい 勒級數 すう 表示 ひょうじ 為 ため
R
=
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
+
z
2
=
ρ ろー
2
+
z
2
=
z
1
+
ρ ろー
2
z
2
=
z
[
1
+
ρ ろー
2
2
z
2
−
1
8
(
ρ ろー
2
z
2
)
2
+
⋯
]
=
z
+
ρ ろー
2
2
z
−
ρ ろー
4
8
z
3
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}R&={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}}={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}\\&=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}\\&=z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \right]\\&=z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}+\cdots \\\end{aligned}}}
。
假 かり 若 わか 保留 ほりゅう 所有 しょゆう 項目 こうもく ,則 のり 這級數式 すうしき 為 ため 精確 せいかく 解 かい 。[ 3] 將 はた 這
R
{\displaystyle R}
的 てき 級數 きゅうすう 式 しき 代入 だいにゅう 被 ひ 積 せき 函數 かんすう 的 てき 相 しょう 位 い 。菲涅耳 みみ 近似 きんじ 的 てき 要點 ようてん 是 ぜ 在 ざい 假定 かてい 級 きゅう 數式 すうしき 的 てき 第 だい 三 さん 個 こ 項目 こうもく 非常 ひじょう 微小 びしょう ,可 か 以被忽 ゆるがせ 略 りゃく 。為 ため 了 りょう 達 たち 到 いた 這目的 もくてき ,第 だい 三個項目必須超小於相位的週期
2
π ぱい
{\displaystyle 2\pi }
:
k
ρ ろー
4
8
z
3
≪
2
π ぱい
{\displaystyle {\frac {k\rho ^{4}}{8z^{3}}}\ll 2\pi }
。
改 あらため 換 かわ 以波長 ちょう
λ らむだ
=
2
π ぱい
/
k
{\displaystyle \lambda =2\pi /k}
來 らい 表 ひょう 達 たち ,
ρ ろー
4
8
z
3
λ らむだ
≪
1
{\displaystyle {\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}\lambda }}\ll 1}
。
將 しょう 先 さき 前 まえ
ρ ろー
{\displaystyle \rho }
的 まと 表 ひょう 達 たち 式 しき 代入 だいにゅう ,
[
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
]
2
8
z
3
λ らむだ
≪
1
{\displaystyle {\frac {[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]^{2}}{8z^{3}\lambda }}\ll 1}
。
假 かり 若 わか ,對 たい 於所有 しょゆう
(
x
′
,
y
′
,
0
)
{\displaystyle (x',y',0)}
與 あずか
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
的 てき 可能 かのう 值,這條件 じょうけん 成立 せいりつ ,則 のり 泰 たい 勒級數式 すうしき 的 てき 第 だい 三個項目和更高階項目都可以忽略。
從 したがえ 這些論述 ろんじゅつ ,
R
{\displaystyle R}
可 か 以近似 きんじ 為 ため
R
≈
z
+
ρ ろー
2
2
z
=
z
+
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
2
z
{\displaystyle R\approx z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}=z+{\frac {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}{2z}}}
。
這方程式 ほうていしき 稱 しょう 為 ため 「菲涅耳 みみ 近似 きんじ 」。這近似 きんじ 成立 せいりつ 的 てき 條件 じょうけん 是 ぜ 上述 じょうじゅつ 不等式 ふとうしき 。
例 れい 如,對 たい 於半徑 はんけい 為 ため 1mm的 てき 圓 えん 孔 あな ,假設 かせつ 觀察 かんさつ 屏 へい 區域 くいき 的 てき 半徑 はんけい 也是1mm,入射 にゅうしゃ 波 は 的 てき 波長 はちょう 為 ため 500nm,則 のり 近似 きんじ 成立 せいりつ 的 てき 條件 じょうけん 為 ため
z
≫
(
ρ ろー
4
8
λ らむだ
)
1
/
3
=
[
0.002
4
8
⋅
500
⋅
10
−
9
]
1
/
3
≈
0.016
[
m
]
{\displaystyle z\gg \left({\frac {\rho ^{4}}{8\lambda }}\right)^{1/3}=\left[{\frac {0.002^{4}}{8\cdot 500\cdot 10^{-9}}}\right]^{1/3}\approx 0.016[m]}
。
圓 えん 孔 あな 與 あずか 觀察 かんさつ 屏 へい 之 の 間 あいだ 的 てき 距離 きょり
z
{\displaystyle z}
必須 ひっす 超大 ちょうだい 於16mm じゅうろくみり 。實際 じっさい 而言,這條件 じょうけん 太 ふと 過 か 嚴 げん 苛,從 したがえ 數 すう 值分析 ぶんせき 的 てき 結果 けっか ,只 ただ 要 よう 圓 えん 孔 あな 與 あずか 觀察 かんさつ 屏 へい 之 の 間 あいだ 的 てき 距離 きょり
z
{\displaystyle z}
大 だい 於16mm じゅうろくみり 就行了 りょう 。[ 4]
假設 かせつ 孔 あな 徑 みち 尺寸 しゃくすん 超 ちょう 小 しょう 於傳播 でんぱ 路 ろ 徑 みち 長 ちょう 度 ど ,則 のり
K
(
χ かい
)
≈
1
{\displaystyle K(\chi )\approx 1}
。特別 とくべつ 是 ぜ 在 ざい z-軸 じく 附近 ふきん 的 てき 小 しょう 範圍 はんい 區域 くいき ,
x
,
y
≪
z
{\displaystyle x,y\ll z}
,分母 ぶんぼ 的 てき
R
{\displaystyle R}
,可 か 以近似 きんじ 為 ため
R
≈
z
{\displaystyle R\approx z}
,只 ただ 取 と 至 いたり 線 せん 性 せい 項目 こうもく 。現在 げんざい ,採用 さいよう 菲涅耳 みみ 近似 きんじ ,則 のり 在 ざい 位置 いち
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
的 てき 波 なみ 擾為
ψ ぷさい
(
x
,
y
,
z
)
=
−
i
e
i
k
z
λ らむだ
z
∫
S
ψ ぷさい
(
x
′
,
y
′
,
0
)
e
i
k
[
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
]
/
2
z
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle \psi (x,y,z)=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}\int _{\mathbb {S} }\psi (x',y',0)e^{ik[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]/2z}\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
。
這就是 ぜ 「菲涅耳 みみ 衍射積分 せきぶん 式 しき 」。仔細 しさい 推敲 すいこう 這積分 せきぶん 式 しき 的 てき 含意 がんい ,假設 かせつ 菲涅耳 みみ 近似 きんじ 成立 せいりつ ,則 のり 位 い 於孔徑 みち 的 てき 次 つぎ 波 なみ 源 げん 發 はつ 射出 しゃしゅつ 的 てき 圓 えん 球面 きゅうめん 次 じ 波 は ,會 かい 沿著z-軸 じく 方向 ほうこう ,傳播 でんぱ 到 いた 觀察 かんさつ 屏 へい 。整 せい 個 こ 積分 せきぶん 調製 ちょうせい 圓 えん 球面 きゅうめん 波 は 的 てき 波 なみ 幅 はば 與 あずか 相 あい 位 い 。只 ただ 有 ゆう 對 たい 於少數 すう 案 あん 例 れい ,這方程式 ほうていしき 存在 そんざい 分析 ぶんせき 解答 かいとう 。
更進 こうしん 一 いち 步 ほ 近似 きんじ ,將 はた
e
i
k
R
{\displaystyle e^{ikR}}
近似 きんじ 為 ため
e
i
k
z
{\displaystyle e^{ikz}}
,相 そう 位 い 部分 ぶぶん 僅取至 いたり 線 せん 性 せい 項目 こうもく ,這只有 ゆう 當 とう 觀察 かんさつ 屏 へい 與 あずか 孔 あな 徑 みち 之 の 間 あいだ 的 てき 距離 きょり 超 ちょう 遠 とお 時 とき 才 ざい 成立 せいりつ ,請參閱條目 め 夫 おっと 朗 ろう 和 わ 斐繞射 しゃ 。菲涅耳 みみ 衍射與 あずか 夫 おっと 琅禾费衍射 しゃ 不同 ふどう 的 てき 地方 ちほう ,主要 しゅよう 是 ぜ 菲涅耳 みみ 衍射將 しょう 波 は 前 まえ 的 てき 曲 きょく 率 りつ 納入 のうにゅう 考量 こうりょう ,這是為 ため 了 りょう 要 よう 精確 せいかく 計算 けいさん 相互 そうご 干涉 かんしょう 的 てき 波 なみ 擾彼此 ひし 之 の 間 あいだ 的 てき 相對 そうたい 相 しょう 位 い 。
轴上照度 しょうど
輻 や 照度 しょうど 比率 ひりつ 對 たい 無量 むりょう 綱 つな 距離 きょり 圖 ず 。
照射 しょうしゃ 光波 こうは 於開有 ゆう 孔 あな 徑 みち 的 てき 擋板,會 かい 在 ざい 擋板後方 こうほう 區域 くいき 產 さん 生 せい 菲涅耳 みみ 衍射,因 いん 此在觀察 かんさつ 屏 へい 會 かい 出現 しゅつげん 光 こう 斑 むら 。注意 ちゅうい 到 いた 在 ざい 光 ひかり 斑 まだら 的 てき 中心 ちゅうしん 有 ゆう 一 いち 個 こ 黑點 こくてん ,這裏的 てき 輻 や 照度 しょうど 等 とう 於零,夫 おっと 朗 ろう 和 わ 斐繞射 しゃ 不 ふ 會 かい 在 ざい 光 ひかり 斑 まだら 的 てき 中心 ちゅうしん 產 さん 生 せい 這黑點 てん 。
假設 かせつ 孔 あな 徑 みち 是 ぜ 半徑 はんけい 為 ため
a
{\displaystyle a}
的 てき 圓 えん 孔 あな ,首 しゅ 先 さき 計算 けいさん 沿著中心 ちゅうしん 軸 じく 的 てき 波 なみ 擾,
x
,
y
=
0
{\displaystyle x,y=0}
,又 また 假設 かせつ 入射 にゅうしゃ 波 は 是 ぜ 波 は 幅 はば 為 ため
ψ ぷさい
0
{\displaystyle \psi _{0}}
、朝 あさ 著 ちょ z-軸 じく 傳播 でんぱ 的 てき 平面 へいめん 波 は 。
根據 こんきょ 菲涅耳 みみ 衍射積分 せきぶん 式 しき ,
ψ ぷさい
(
0
,
0
,
z
)
=
−
i
e
i
k
z
ψ ぷさい
0
λ らむだ
z
∫
S
e
i
k
(
x
′
2
+
y
′
2
)
/
2
z
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle \psi (0,0,z)=-\ {\frac {ie^{ikz}\psi _{0}}{\lambda z}}\int _{\mathbb {S} }e^{ik(x'^{2}+y'^{2})/2z}\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
。
改 あらため 採 と 極 ごく 坐 すわ 標 しるべ
(
ρ ろー
′
,
θ しーた
′
)
{\displaystyle (\rho ',\theta ')}
,
ψ ぷさい
(
0
,
0
,
z
)
=
−
i
e
i
k
z
ψ ぷさい
0
λ らむだ
z
∫
0
a
e
i
k
ρ ろー
′
2
/
2
z
ρ ろー
′
d
ρ ろー
′
=
−
ψ ぷさい
0
e
i
k
z
(
e
i
k
a
2
/
2
z
−
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi (0,0,z)&=-\ {\frac {ie^{ikz}\psi _{0}}{\lambda z}}\int _{0}^{a}e^{ik\rho '^{2}/2z}\ \rho '\mathrm {d} \rho '\\&=-\psi _{0}e^{ikz}(e^{ika^{2}/2z}-1)\\\end{aligned}}}
。
輻 や 照度 しょうど
I
(
z
)
{\displaystyle I(z)}
為 ため [ 5]
I
(
z
)
=
ψ ぷさい
∗
ψ ぷさい
/
2
=
ψ ぷさい
0
2
2
sin
2
(
k
a
2
/
4
z
)
=
I
0
sin
2
(
k
a
2
/
4
z
)
{\displaystyle I(z)=\psi ^{*}\psi /2=\psi _{0}^{\ 2}\ 2\sin ^{2}(ka^{2}/4z)=I_{0}\sin ^{2}(ka^{2}/4z)}
。
從 したがえ 這函數 すう 繪 え 製 せい 的 てき 輻 や 照度 しょうど 比率 ひりつ 對 たい 無量 むりょう 綱 つな 距離 きょり 圖 ず 展示 てんじ 出 で ,離 はなれ 孔 あな 徑 みち 越 こし 近 きん ,震盪 しんとう 越 えつ 劇烈 げきれつ 。這區域 くいき 是 ぜ 菲涅耳 みみ 衍射區域 くいき 。在 ざい 這區域 くいき 裏 うら ,輻 や 照度 しょうど 的 てき 極 ごく 值點分別 ふんべつ 為 ため
極大 きょくだい 值:當 とう
z
=
a
2
2
n
λ らむだ
,
n
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle z={\frac {a^{2}}{2n\lambda }},\qquad n=1,2,3,\dots }
。
極小 きょくしょう 值:當 とう
z
=
a
2
(
2
n
−
1
)
λ らむだ
,
n
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle z={\frac {a^{2}}{(2n-1)\lambda }},\qquad n=1,2,3,\dots }
。
離 はなれ 孔 あな 徑 みち 越 えつ 遠 とお ,兩個 りゃんこ 相 しょう 鄰極值點之 の 間 あいだ 的 てき 間隔 かんかく 越 えつ 大 だい ,
z
=
a
2
/
λ らむだ
{\displaystyle z=a^{2}/\lambda }
是 ぜ 最後 さいご 一 いち 個 こ 極 ごく 值點。遠 とお 於這距離 きょり ,輻 や 照度 しょうど 呈 てい 單調 たんちょう 遞減 ていげん 。通常 つうじょう ,物理 ぶつり 學者 がくしゃ 規定 きてい 菲涅耳 みみ 衍射區域 くいき 的 てき 菲涅耳 みみ 數 すう 大 だい 於或等 とう 於1,這對應 おう 於
Z
F
=
a
2
/
λ らむだ
{\displaystyle Z_{F}=a^{2}/\lambda }
為 ため 分界 ぶんかい 點 てん ;超 ちょう 遠 どお 於這分界 ぶんかい 點 てん ,是 ぜ 夫 おっと 朗 ろう 和 わ 斐繞射 しゃ 區域 くいき ,可 か 以使用 しよう 夫 おっと 朗 ろう 和 わ 斐近似 きんじ ,數學 すうがく 計算 けいさん 比較 ひかく 簡單 かんたん 很多。
例 れい 如,對 たい 於半徑 はんけい 為 ため 1mm的 てき 圓 えん 孔 あな ,假設 かせつ 入射 にゅうしゃ 波 は 的 てき 波長 はちょう 為 ため 500nm,則 のり
Z
F
{\displaystyle Z_{F}}
為 ため
Z
F
=
0.001
2
500
⋅
10
−
9
≈
2
[
m
]
{\displaystyle Z_{F}={\frac {0.001^{2}}{500\cdot 10^{-9}}}\approx 2[m]}
。
總 そう 結 ゆい ,孔 あな 徑 みち 與 あずか 觀察 かんさつ 屏 へい 之 の 間 あいだ 的 てき 距離 きょり 在 ざい 2m以內是 ぜ 菲涅耳 みみ 衍射區域 くいき ,以外 いがい 是 ぜ 夫 おっと 朗 ろう 和 わ 斐繞射 しゃ 區域 くいき 。
轴侧照度 しょうど
通 つう 过隆梅 うめ 尔函数 すう 计算的 てき 菲涅耳 みみ 圆孔衍射图中心 ちゅうしん 可能 かのう 是 ぜ 黑 くろ 班 はん 或 ある 白斑 はくはん ,此图为黑斑 まだら [ 6]
I
=
(
V
0
−
cos
(
u
2
+
v
2
2
u
)
)
2
+
(
V
1
−
sin
(
u
2
+
v
2
2
u
)
)
2
{\displaystyle I=\left(V_{0}-\cos \left({\frac {u^{2}+v^{2}}{2u}}\right)\right)^{2}+\left(V_{1}-\sin \left({\frac {u^{2}+v^{2}}{2u}}\right)\right)^{2}}
其中
V
m
{\displaystyle V_{m}}
是 ぜ 二 に 元 げん 隆 りゅう 梅 うめ 尔函数 すう (Lommel function)
V
m
=
∑
n
=
0
∞
∗
(
(
−
1
)
n
∗
(
v
u
)
2
∗
n
+
m
∗
J
2
n
+
m
(
v
)
)
{\displaystyle V_{m}=\sum _{n=0}^{\infty }*((-1)^{n}*({\frac {v}{u}})^{2*n+m}*J_{2n+m}(v))}
J
2
n
+
m
(
v
)
{\displaystyle J_{2n+m}(v)}
为 第 だい 一 いち 类
2
n
+
m
{\displaystyle 2n+m}
阶贝塞尔函数 すう
泊 とまり 松 まつ 光 ひかり 斑 まだら
圆盘衍射在 ざい 轴上的 てき 强度 きょうど 为
I
=
I
0
∗
λ らむだ
2
/
4
{\displaystyle I=I_{0}*\lambda ^{2}/4}
因 いん 此圆盘衍射的 しゃてき 轴上强度 きょうど ,和波 わなみ 长的平方 ひらかた 成 しげる 正 せい 比 ひ ,而与圆盘的 てき 直径 ちょっけい 、与 あずか 圆盘的 てき 距离无关,所以 ゆえん 衍射图形的 てき 中心 ちゅうしん 一定 いってい 是 ぜ 个亮点 てん 。这个亮 あきら 点 てん 称 しょう 为泊 とまり 松 まつ 光 ひかり 斑 まだら [ 7] 。菲涅耳 みみ 圆孔衍射图形的 てき 中心 ちゅうしん 点 てん ,根 ね 据 すえ 圆孔直径 ちょっけい 和 わ 距离之 の 不同 ふどう ,可 か 以是亮 あきら 点 てん ,也可以是暗 くら 点 てん 。
菲涅尔单缝衍射 しゃ
菲涅耳 みみ 单缝衍射的 てき 强度 きょうど 分布 ぶんぷ 为:[ 8] .
I
=
(
C
p
(
Y
)
−
C
q
(
Y
)
)
2
+
(
S
p
(
Y
)
−
S
q
(
Y
)
)
2
{\displaystyle I=(Cp(Y)-Cq(Y))^{2}+(Sp(Y)-Sq(Y))^{2}}
其中 Cp,Cq 为余弦 よげん 菲涅耳 みみ 积分 :
C
p
(
Y
)
:=
∫
0
p
(
cos
(
(
1
/
2
)
∗
π ぱい
∗
t
2
)
d
t
{\displaystyle Cp(Y):=\int _{0}^{p}(\cos((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
C
q
(
Y
)
=
∫
0
q
(
cos
(
(
1
/
2
)
∗
π ぱい
∗
t
2
)
d
t
{\displaystyle Cq(Y)=\int _{0}^{q}(\cos((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
;
Sp,Sq 为正弦 せいげん 菲涅耳 みみ 积分:
S
p
(
Y
)
:=
∫
0
p
(
sin
(
(
1
/
2
)
∗
π ぱい
∗
t
2
)
d
t
{\displaystyle Sp(Y):=\int _{0}^{p}(\sin((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
S
q
(
Y
)
=
∫
0
q
(
sin
(
(
1
/
2
)
∗
π ぱい
∗
t
2
)
d
t
{\displaystyle Sq(Y)=\int _{0}^{q}(\sin((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
;
菲涅耳 みみ 单缝衍射图形与 あずか 夫 おっと 琅禾费单缝衍射 しゃ 明 あきら 显不同 ふどう 之 の 处在于前者 しゃ 的 てき 第 だい 一个极小值不等于0(如图),而后者 しゃ 为0。
菲涅尔直边衍射 しゃ
菲涅耳 みみ 直 ちょく 边衍射 しゃ
一个平面波通过与光线传播方向垂直的不透明直边,
其菲涅耳直 ちょく 边衍射的 しゃてき 强度 きょうど 分布 ぶんぷ 为:[ 9] .
I
=
(
C
p
(
Y
)
+
0.5
)
2
+
(
S
p
(
Y
)
+
0.5
)
)
2
{\displaystyle I=(Cp(Y)+0.5)^{2}+(Sp(Y)+0.5))^{2}}
其中 Cq 为余弦 よげん 菲涅耳 みみ 积分 :
C
q
(
Y
)
=
∫
0
q
(
cos
(
(
1
/
2
)
∗
π ぱい
∗
t
2
)
d
t
{\displaystyle Cq(Y)=\int _{0}^{q}(\cos((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
;
Sp 为正弦 せいげん 菲涅耳 みみ 积分:
S
p
(
Y
)
:=
∫
0
p
(
sin
(
(
1
/
2
)
∗
π ぱい
∗
t
2
)
d
t
{\displaystyle Sp(Y):=\int _{0}^{p}(\sin((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
菲涅尔直边衍射 しゃ 图样在 ざい 几何阴影区 く 附近 ふきん 强度 きょうど 不 ふ 为零,在 ざい 明 あかり 亮 あきら 区 く 间,光 ひかり 强 きょう 以阻尼 あま 振 ふ 动形式 しき 逐渐衰 おとろえ 减至一 いち 个稳定数 ていすう 值[ 10] [ 11]
設定 せってい 函數 かんすう
h
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle h(x,y,z)}
為 ため
h
(
x
,
y
,
z
)
=
−
i
e
i
k
z
λ らむだ
z
e
i
k
2
z
(
x
2
+
y
2
)
{\displaystyle h(x,y,z)=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}e^{i{\frac {k}{2z}}(x^{2}+y^{2})}}
。
波 なみ 擾
ψ ぷさい
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \psi (x,y,z)}
可 か 以寫為 ため 卷 まき 積 つもる 形式 けいしき :
ψ ぷさい
(
x
,
y
,
z
)
=
∬
−
∞
∞
ψ ぷさい
(
x
′
,
y
′
,
0
)
h
(
x
−
x
′
,
y
−
y
′
,
z
)
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle \psi (x,y,z)=\iint \limits _{-\infty }^{\ \ \ \infty }\psi (x',y',0)h(x-x',y-y',z)\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
,
或 ある 者 もの ,由 ゆかり 於z-坐 すわ 標 しるべ 與 あずか 積分 せきぶん 無關 むせき ,可 か 以將z-坐 すわ 標 しるべ 資 し 訊提出 ていしゅつ ,
ψ ぷさい
z
(
x
,
y
)
=
∬
−
∞
∞
ψ ぷさい
0
(
x
′
,
y
′
)
h
z
(
x
−
x
′
,
y
−
y
′
)
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle \psi _{z}(x,y)=\iint \limits _{-\infty }^{\ \ \ \infty }\psi _{0}(x',y')h_{z}(x-x',y-y')\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
,
這卷積 せき 又 また 可 か 以標記 ひょうき 為 ため
ψ ぷさい
z
(
x
,
y
)
=
ψ ぷさい
0
(
x
,
y
)
∗
h
z
(
x
,
y
)
{\displaystyle \psi _{z}(x,y)=\psi _{0}(x,y)*h_{z}(x,y)}
。
根據 こんきょ 卷 まき 積 つもる 定理 ていり ,函數 かんすう 卷 まき 積 つもる 的 てき 傅 でん 立葉 たてば 變換 へんかん 是 ぜ 函數 かんすう 傅 でん 立葉 たてば 變換 へんかん 的 てき 乘 じょう 積 せき ,以方程式 ほうていしき 表 ひょう 達 たち ,
F
{
ψ ぷさい
z
(
x
,
y
)
}
=
F
{
ψ ぷさい
0
(
x
,
y
)
∗
h
(
x
,
y
)
}
=
F
{
ψ ぷさい
0
(
x
,
y
)
}
⋅
F
{
h
z
(
x
,
y
)
}
{\displaystyle {\mathcal {F}}\{\psi _{z}(x,y)\}={\mathcal {F}}\{\psi _{0}(x,y)*h(x,y)\}={\mathcal {F}}\{\psi _{0}(x,y)\}\cdot {\mathcal {F}}\{h_{z}(x,y)\}}
;
其中,
F
{
f
(
x
,
y
)
}
{\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(x,y)\}}
是 ぜ 函數 かんすう
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
的 てき 傅 でん 立葉 たてば 變換 へんかん 。
假設 かせつ 這光學 がく 系統 けいとう 是 ぜ 線 せん 性 せい 系統 けいとう ,滿足 まんぞく 空間 くうかん 不變 ふへん 性 せい ,即 そく 改變 かいへん 波 は 源 げん 的 てき 位置 いち 只 ただ 會 かい 改變 かいへん 衍射圖樣 ずよう 的 てき 位置 いち ,不 ふ 會 かい 改變 かいへん 衍射圖樣 ずよう 的 てき 形狀 けいじょう 。這樣,一個有限尺寸波源所產生的衍射圖樣,可 か 以視為 ため 是 ぜ 由 よし 其每一個點波源所產生的衍射圖樣共同線性疊加而形成。
假設 かせつ 這線性 せい 系統的 けいとうてき 線 せん 性 せい 算 さん 子 こ 為 ため
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
、輸入 ゆにゅう 函數 かんすう 為 ため
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
、輸出 ゆしゅつ 函數 かんすう 為 ため
G
(
X
,
Y
)
{\displaystyle G(X,Y)}
,則 のり 這兩個 りゃんこ 函數 かんすう 之 の 間 あいだ 的 てき 關係 かんけい 可 か 以表達 たち 為 ため
G
(
X
,
Y
)
=
L
{
f
(
x
,
y
)
}
{\displaystyle G(X,Y)={\mathcal {L}}\{f(x,y)\}}
。
應用 おうよう 狄拉克 かつ δ でるた 函數 かんすう 的 てき 數學 すうがく 性質 せいしつ ,
G
(
X
,
Y
)
=
L
{
∬
−
∞
∞
f
(
x
′
,
y
′
)
δ でるた
(
x
−
x
′
)
δ でるた
(
y
−
y
′
)
d
x
′
d
y
′
}
{\displaystyle G(X,Y)={\mathcal {L}}\left\{\iint \limits _{-\infty }^{\ \ \ \infty }f(x',y')\delta (x-x')\delta (y-y')\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'\right\}}
。
將 はた
f
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle f(x',y')}
視 み 為 ため 函數 かんすう
δ でるた
(
x
−
x
′
)
δ でるた
(
y
−
y
′
)
{\displaystyle \delta (x-x')\delta (y-y')}
權 けん 重 おも 係數 けいすう ,應用 おうよう 線 せん 性 せい 系統 けいとう 的 てき 性質 せいしつ ,可 か 以將積分 せきぶん 式 しき 寫 うつし 為 ため
G
(
X
,
Y
)
=
∬
−
∞
∞
f
(
x
′
,
y
′
)
L
{
δ でるた
(
x
−
x
′
)
δ でるた
(
y
−
y
′
)
}
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle G(X,Y)=\iint \limits _{-\infty }^{\ \ \ \infty }f(x',y'){\mathcal {L}}\{\delta (x-x')\delta (y-y')\}\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
。
由 よし 此推論 ろん ,表現 ひょうげん 觀察 かんさつ 屏 へい 輻 や 照 あきら 圖案 ずあん 的 てき 函數 かんすう
h
z
(
x
,
y
)
{\displaystyle h_{z}(x,y)}
是 ぜ 線 せん 性 せい 系統 けいとう 對 たい 於在孔 あな 徑 みち 位置 いち
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle (x',y')}
的 てき 狄拉克 かつ δ でるた 函數 かんすう 所 ところ 做出的 てき 響 ひびき 應 おう ,因 いん 此稱為 ため 脈 みゃく 衝響應 おう 。[ 12]
定義 ていぎ 空間 くうかん 頻 しき 率 りつ
K
x
,
K
y
{\displaystyle K_{x},K_{y}}
為 ため
K
x
=
d
e
f
k
x
/
z
{\displaystyle K_{x}\ {\stackrel {def}{=}}\ kx/z}
、
K
y
=
d
e
f
k
y
/
z
{\displaystyle K_{y}\ {\stackrel {def}{=}}\ ky/z}
。
將 はた 橫 よこ 向 むこう 位 い 移 うつり 的 てき 每 ごと 一 いち 個 こ 分量 ぶんりょう 展開 てんかい ,
(
x
−
x
′
)
2
=
x
2
+
x
′
2
−
2
x
x
′
{\displaystyle (x-x')^{2}=x^{2}+x'^{2}-2xx'}
、
(
y
−
y
′
)
2
=
y
2
+
y
′
2
−
2
y
y
′
{\displaystyle (y-y')^{2}=y^{2}+y'^{2}-2yy'}
,
則 のり 菲涅耳 みみ 衍射積分 せきぶん 式 しき 可 か 以以二維傅立葉變換來表達。設定 せってい 函數 かんすう
G
(
K
x
,
K
y
)
{\displaystyle G(K_{x},K_{y})}
為 ため 函數 かんすう
g
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle g(x',y')}
的 てき 傅 でん 立葉 たてば 變換 へんかん ,那 な 麼,根據 こんきょ 定義 ていぎ ,函數 かんすう
G
(
K
x
,
K
y
)
{\displaystyle G(K_{x},K_{y})}
為 ため
G
(
K
x
,
K
y
)
=
d
e
f
F
{
g
(
x
′
,
y
′
)
}
=
d
e
f
∬
−
∞
∞
g
(
x
′
,
y
′
)
e
−
i
(
K
x
x
′
+
K
y
y
′
)
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle G(K_{x},K_{y})\ {\stackrel {def}{=}}\ {\mathcal {F}}\left\{g(x',y')\right\}\ {\stackrel {def}{=}}\ \iint \limits _{-\infty }^{\ \ \ \infty }g(x',y')e^{-i(K_{x}x'+K_{y}y')}\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
;
設定 せってい 函數 かんすう
g
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle g(x',y')}
為 ため
g
(
x
′
,
y
′
)
=
ψ ぷさい
0
(
x
′
,
y
′
)
e
i
k
(
x
′
2
+
y
′
2
)
/
2
z
{\displaystyle g(x',y')=\psi _{0}(x',y')e^{ik(x'^{2}+y'^{2})/2z}}
。
菲涅耳 みみ 衍射積分 せきぶん 式 しき 表 ひょう 達 たち 為 ため
ψ ぷさい
z
(
x
,
y
)
=
−
i
e
i
k
z
λ らむだ
z
e
i
k
(
x
2
+
y
2
)
/
2
z
F
{
ψ ぷさい
0
(
x
′
,
y
′
)
e
i
k
(
x
′
2
+
y
′
2
)
/
2
z
}
=
−
i
e
i
k
z
λ らむだ
z
e
i
k
(
x
2
+
y
2
)
/
2
z
F
{
g
(
x
′
,
y
′
)
}
=
−
i
e
i
k
z
λ らむだ
z
e
i
k
(
x
2
+
y
2
)
/
2
z
G
(
K
x
,
K
y
)
=
h
z
(
x
,
y
)
G
(
K
x
,
K
y
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{z}(x,y)&=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}\ {\mathcal {F}}\{\psi _{0}(x',y')e^{ik(x'^{2}+y'^{2})/2z}\}\\&=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}\ {\mathcal {F}}\{g(x',y')\}\\&=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}\ G(K_{x},K_{y})\\&=h_{z}(x,y)\ G(K_{x},K_{y})\\\end{aligned}}}
;
其中,函數 かんすう
h
z
(
x
,
y
)
=
−
i
e
i
k
z
λ らむだ
z
e
i
k
(
x
2
+
y
2
)
/
2
z
{\displaystyle h_{z}(x,y)=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}}
。
在 ざい 做實例 れい 計算 けいさん 時 じ ,先 さき 計算 けいさん
g
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle g(x',y')}
的 てき 傅 でん 立葉 たてば 變換 へんかん ,然 しか 後 ご 將 はた 空間 くうかん 頻 しき 率 りつ
K
x
,
K
y
{\displaystyle K_{x},K_{y}}
替 かえ 換 かわ 回 かい 原 ばら 來 らい 的 てき 變量 へんりょう ,最後 さいご 再 さい 乘 じょう 以
h
z
(
x
,
y
)
{\displaystyle h_{z}(x,y)}
,就可以得到 いた
ψ ぷさい
z
(
x
,
y
)
{\displaystyle \psi _{z}(x,y)}
。假 かり 若 わか
g
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle g(x',y')}
是 これ 個 こ 常見 つねみ 函數 かんすう ,而且已 やめ 知道 ともみち
g
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle g(x',y')}
的 てき 傅 でん 立葉 たてば 變換 へんかん ,則 のり 這是一 いち 種 しゅ 比較 ひかく 精緻 せいち 的 てき 理論 りろん 方法 ほうほう 。更 さら 多 た 相關 そうかん 內容,請參閱條目 め 線 せん 性 せい 標準 ひょうじゅん 轉換 てんかん 。