反はん函數かんすう

在ざい數學すうがく裡うら，反はん函數かんすう，也称为逆ぎゃく函数かんすう（英語えいご：Inverse function），為ため對たい一個定函數做逆運算的函數かんすう。

定てい义与存在そんざい性せい

設しつらえ $f$ 為ため一いち函數かんすう，其定義ていぎ域いき為ため $X$ ，陪域為ため $Y$ 。如果存在そんざい一いち函數かんすう $g$ ，其定義ていぎ域いき和わ陪域分別ふんべつ為ため $Y,\,X$ ，並なみ對たい任意にんい $x\in X$ 有ゆう $g(f(x))=x$ 、對たい任意にんい $y\in Y$ 有ゆう $f(g(y))=y$ ，則のり稱しょう $g$ 為ため $f$ 的てき反はん函數かんすう，記き之の為ため $f^{-1}$ 。^{[註 1]}

若わか一いち函數かんすう有ゆう反はん函數かんすう，便びん稱たたえ此函數すう可逆かぎゃく。一いち函數かんすう可逆かぎゃく的てき充分じゅうぶん必要ひつよう条件じょうけん是ぜ该函数すう为双そう射い，即そく同どう时为单射和わ满射。^[1]

若わか $f$ 為一ためいち实函数すう，还可通過つうか水平すいへい線せん測はか試ためし判断はんだん其是否ひ为单射い、满射或ある双そう射しゃ。

与あずか限きり制せい的てき关系

一部分函数尽管本身不可逆，但ただし它到其定义域的てき某ぼう个子集しゅう上じょう的てき限きり制せい是ぜ可逆かぎゃく的てき。^[2]例れい如

f:\mathbb {R} \to [0,\infty ),\,f(x)=x^{2}

$f$ 并不是ぜ单射，因いん $f(1)$ 和わ $f(-1)$ 均ひとし为 $1$ 。但ただし若わか取と其到 $[0,\infty )$ 上うえ的てき限きり制せい，则这一いち限げん制せい为双射い，并拥有ゆう反はん函数かんすう

{f_{|_{[0,-\infty )}}}^{-1}(x)={\sqrt {x}}.

反はん三角さんかく函数かんすう是ぜ限げん制定せいてい义域的てき另一个例子こ。正弦せいげん、余弦よげん等ひとし三角さんかく函数かんすう具有ぐゆう周期しゅうき性せい，如

\sin(x+2\pi )=\sin(x),

这意味いみ着ぎ其并非ひ单射。若わか要よう定てい义三さん角かく函数かんすう的てき反はん函数かんすう，则需要よう限定げんてい其定义域，如反はん正弦せいげん函数かんすう通常つうじょう定てい义为正弦せいげん函数かんすう到いた $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ 上うえ的てき限きり制せい的てき反はん函数かんすう。这一经过限制的定义域亦是反正弦函数的值域，称しょう作さく其主しゅ值（英えい语：Principal value）。

性質せいしつ

原はら函数かんすう的てき定てい义域、值域分ぶん别是反はん函数かんすう的てき值域、定てい义域。
原はら函数かんすう与あずか其反函数かんすう的てき函数かんすう图像关于函数かんすう $y=x$ 的てき图像对称。
严格单调函数かんすう一定いってい存在そんざい反はん函数かんすう，且反函数かんすう与原よはら函数かんすう的てき单调性せい一致いっち。
拥有反はん函数かんすう的てき函数かんすう不ふ一定是严格单调函数，例れい如 $y=x^{-3}$

注ちゅう释

^ 此种写うつし法ほう易えき与一よいち个数的てき $-1$ 次つぎ冪べき混淆こんこう，尤ゆう其在三角さんかく函数かんすう中なか， $\sin ^{2}(x)$ 表示ひょうじ $\sin(x)$ 的てき平方へいほう，但ただし $\sin ^{-1}(x)$ 表示ひょうじ反はん正弦せいげん在ざい $x$ 处的值，而非 ${\frac {1}{\sin(x)}}$ 。

参考さんこう资料

^ Smith, Geoff. Introductory Mathematics: Algebra and Analysis. London: Springer-Verlag. 1998: 30 [2023-12-29]. ISBN 978-1-4471-0619-7. （原始げんし内容ないよう存そん档于2023-12-29）.
^ Clapham, Christopher; Nicholson, James. inverse function. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford University Press. 2014. ISBN 978-0-19-175902-4.

另見

[1] 此种写うつし法ほう易えき与一よいち个数的てき $-1$ 次つぎ冪べき混淆こんこう，尤ゆう其在三角さんかく函数かんすう中なか， $\sin ^{2}(x)$ 表示ひょうじ $\sin(x)$ 的てき平方へいほう，但ただし $\sin ^{-1}(x)$ 表示ひょうじ反はん正弦せいげん在ざい $x$ 处的值，而非 ${\frac {1}{\sin(x)}}$ 。

[2] Smith, Geoff. Introductory Mathematics: Algebra and Analysis. London: Springer-Verlag. 1998: 30 [2023-12-29]. ISBN 978-1-4471-0619-7. （原始げんし内容ないよう存そん档于2023-12-29）.

[3] Clapham, Christopher; Nicholson, James. inverse function. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford University Press. 2014. ISBN 978-0-19-175902-4.

[註 1]

[1]

[2]