2i進すすむ制せい

2i进制，是ぜ由ゆかり高德こうとく纳于1995年ねん提出ていしゅつ来らい的てき，当とう时用作さく高だか中ちゅう科学かがく精しらげ英えい研究けんきゅう用よう。它是一いち种以2i为基数きすう的てき非ひ标准进位制せい。这种进制以0、1、2、3为基本きほん數かず碼，能のう够独一いち无二的てき表示ひょうじ全体ぜんたい复数。

转换2i进制到いた十じゅう进制

2i的てき冪べき

k	(2i)k
-5	−1/32i
-4	1/16
-3	1/8i
-2	−1/4
-1	−1/2i
0	1
1	2i
2	−4
3	−8i
4	16
5	32i
6	−64
7	−128i
8	256

2i的てき冪べき

将はた2i进制转换为十じゅう进制可か以用标准公式こうしき。这个公式こうしき是ぜ：

$b$进制数すう$\ldots d_{3}d_{2}d_{1}d_{0}$ 的てき十じゅう进制数かず为

$\cdots +d_{3}\cdot b^{3}+d_{2}\cdot b^{2}+d_{1}\cdot b+d_{0}$

2i进制中ちゅう，$b=2i$。

示しめせ例れい

将はた $1101_{2i}$ 转换为十じゅう进制，可か按照上述じょうじゅつ公式こうしき填はま入相いりあい应数字すうじ：

$1\cdot (2i)^{3}+1\cdot (2i)^{2}+0\cdot (2i)^{1}+1\cdot (2i)^{0}=-8i-4+0+1=-3-8i$

再さい比ひ如： $1030003_{2i}$ 十じゅう进制是ぜ

$1\cdot (2i)^{6}+3\cdot (2i)^{4}+3\cdot (2i)^{0}=-64+3\cdot 16+3=-13$

十进制转换到2i进制

也能将しょう十じゅう进制数かず转换为2i进制。 每まい个复数（形かたち如a+bi） 都みやこ有ゆう个2i进制形式けいしき。 大だい多た十进制数都只有1个形式しき，但ただし像ぞう1这样的てき数すう在ざい十进制中有两种形式1.0 = 0.9， 相あい对应的てき ¹/₅有ゆう两种2i进制形式けいしき：1.0300_2i = 0.0003_2i。

要よう转换十じゅう进制数すう，先さき将しょう实部和わ虚きょ部ぶ分ぶん别转换为2i进制数すう，然しか后きさき加か到いた一いち起おこり即そく可か。 比ひ如， –1+4i 等とう于–1 加か上じょう 4i，–1的てき2i进制数すう是ぜ103， 4i的てき2i进制数すう是ぜ20，因いん此 –1+4i = 123_2i。

转换虚きょ部ぶ时，可か以先乘じょう以2i，得え到いた一いち个实数；然しか后きさき将はた这个实数转换为2i进制，然しか后きさき右みぎ移うつり一いち位い即そく可か（等とう效こう于除以 2i）。 例れい如，虚きょ部ぶ是ぜ 6i，先さき将しょう6i 乘の以2i 得え到いた –12，化か为2i进制是ぜ300_2i，然しか后きさき右みぎ移うつり一いち位い，得とく到いた： 6i = 30_2i。

转换实数，可か以用方かた程ほど组来らい求もとめ解かい。

示しめせ例れい：实数

我わが们来求もとめ解かい7的てき2i进制数すう。我わが们很难知道どう这个2i进制数すう有ゆう多た长，所以ゆえん我わが们先假かり设一个比较长的数。 我わが们先选六ろく位い试试，如果不ふ够，我わが们再延のべ长。 我わが们写出で公式こうしき，然しか后きさき分ぶん组：

${\begin{aligned}7_{10}&=d_{0}+d_{1}\cdot b+d_{2}\cdot b^{2}+d_{3}\cdot b^{3}+d_{4}\cdot b^{4}+d_{5}\cdot b^{5}\\&=d_{0}+2id_{1}-4d_{2}-8id_{3}+16d_{4}+32id_{5}\\&=d_{0}-4d_{2}+16d_{4}+i(2d_{1}-8d_{3}+32d_{5})\\\end{aligned}}$

7是ぜ实数，因いん此d₁、d₃ 和わ d₅ 是ぜ0。 剩あま下しも就是系けい数すうd₀、d₂ 和わ d₄。 因よし为 d₀ − 4 d₂ + 16 d₄ = 7 并且他た们只能のう是ぜ 0、 1、 2 或ある 3 。可能かのう的てき结果是ぜ： d₀ = 3, d₂ = 3 ， d₄ = 1。 这样就找到了りょう7₁₀的てき2i进制数すう。

${\begin{aligned}7_{10}=010303_{2i}=10303_{2i}.\end{aligned}}$

示しめせ例れい: 虚数きょすう

找一个纯虚数すう的てき2i进制数すう，可か以模拟实数すう的てき方法ほうほう。 例れい如6i, 也可以用公式こうしき。实部全ぜん为零，虚きょ部ぶ化か为6。 6i 很容易ようい看み出で d₁ = 3 其他各位かくい都と是ぜ0。6i就是：

${\begin{aligned}6i_{10}=30_{2i}\end{aligned}}$

其他的てき轉換てんかん方式ほうしき

對たい實數じっすう而言，2i进制表示法ひょうじほう實際じっさい上じょう與あずか負ふ四よん进制相しょう同どう。要よう將しょう複數ふくすうx+iy轉換てんかん成なり2i进制可か以透過とうか將しょうx和わy/2分別ふんべつ轉換てんかん為ため負まけ四进制再將之交錯合併來完成轉換成2i进制的てき工作こうさく。如果x和わy都みやこ是ただし有限ゆうげん的てき二に进制小數しょうすう，則のり可か以使用しよう連續れんぞく的てき带余除法じょほう來らい將しょう十进制數轉換成2i进制：

例れい如：35+23i=121003.2_2i

                35                                 23i/2i=11.5    11=12−0.5
            35÷(−4)=−8, 餘よ 3                12/(−4)=−3, 餘よ 0               (−0.5)×(−4)=2
            −8÷(−4)= 2, 餘よ 0                −3/(−4)= 1, 餘よ 1
             2÷(−4)= 0, 餘よ 2                 1/(−4)= 0, 餘よ 1
               20003                    +     101000                         +  0.2 = 121003.2
                         32i+16×2−8i−4×0+2i×0+1×3−2×i/2=35+23i

小数点しょうすうてん“.”

十じゅう进制中ちゅう小数点しょうすうてん用もちい来らい区分くぶん整数せいすう部分ぶぶん和わ小数しょうすう部分ぶぶん。2i进制中小ちゅうしょう数すう点てん一いち样可以用，比ひ如$...d_{5}d_{4}d_{3}d_{2}d_{1}d_{0}.d_{-1}d_{-2}d_{-3}...$ 中なか，小数点しょうすうてん用よう来らい分割ぶんかつb的てき正数せいすう幂和かず負数ふすう幂。带小数すう点てん时，公式こうしき是ぜ：

$d_{5}b^{5}+d_{4}b^{4}+d_{3}b^{3}+d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}+d_{-1}b^{-1}+d_{-2}b^{-2}+d_{-3}b^{-3}$

或ある

$32id_{5}+16d_{4}-8id_{3}-4d_{2}+2id_{1}+d_{0}+{\frac {1}{2i}}d_{-1}+{\frac {1}{-4}}d_{-2}+{\frac {1}{-8i}}d_{-3}$

$=32id_{5}+16d_{4}-8id_{3}-4d_{2}+2id_{1}+d_{0}-{\frac {i}{2}}d_{-1}-{\frac {1}{4}}d_{-2}+{\frac {i}{8}}d_{-3}$

示しめせ例れい

將はたi轉換てんかん為ため2i進すすむ制せい，没ぼつ有ゆう小数点しょうすうてん的てき话，可能かのう没ぼつ办法做到。因よし此：

${\begin{aligned}i&=32id_{5}+16d_{4}-8id_{3}-4d_{2}+2id_{1}+d_{0}+{\frac {1}{2i}}d_{-1}+{\frac {1}{-4}}d_{-2}+{\frac {1}{-8i}}d_{-3}\\&=i(32d_{5}-8d_{3}+2d_{1}-{\frac {1}{2}}d_{-1}+{\frac {1}{8}}d_{-3})+16d_{4}-4d_{2}+d_{0}-{\frac {1}{4}}d_{-2}\\\end{aligned}}$

因よし為ため实部为0，故ゆえ d₄ = d₂ = d₀ = d_-2 = 0。
接せっ著ちょ考慮こうりょ虚きょ部ぶ部分ぶぶん，当とう d₅ = d₃ = d _-3 = 0 并且 当とう d₁=1 ， d_-1=2 时结果はて正せい确。所以ゆえん

${\begin{aligned}i=10.2_{2i}\end{aligned}}$.

示しめせ例れい（分數ぶんすう）

將はた${\frac {1}{3}}$轉換てんかん為ため2i進すすむ制せい，其結果けっか為ため-0.0203。

加か减法

2i进制也可以做加か减法。 首くび先さき要よう记住以下いか规则：

1. 数字すうじ超ちょう过3时, 减 4 "进" −1 到いた左ひだり边第二に位い。
2. 数字すうじ小しょう于0时, 加か 4"进" +1 到いた左ひだり边第二に位い。

简单的てき说： 「加か四よん进一、减四借か一いち」（當とう作さく四よん進しん制せい來らい計算けいさん）。 和わ一般竖式加法不同的是，要よう借か/进到左ひだり边第二に位い。

示しめせ例れい：加法かほう

   1 - 2i                1031             3 - 4i                 1023
   1 - 2i                1031             1 - 8i                 1001
   ------- +     <=>     ----- +          ------- +      <=>     ----- +
   2 - 4i                1022             4 - 12i               12320

第だい一いち个例子こ，先さき是ぜ1+1=2。然しか后きさき是ぜ3+3=6，6比ひ3大だい，我わが们得减4借か1。接着せっちゃく是ぜ0+0=0。然しか后きさき是ぜ1+1=2，在ざい减去借か的てき1。得とく1。

第だい二に个例子こ，先さき是ぜ3+1=4; 4 比ひ3大だい，我わが们得减4借か1。然しか后きさき是ぜ2+0=2。 接着せっちゃく是ぜ0+0=0，再さい减去借か位くらい1，得とく-1，小しょう于0，我わが们得加か四よん进一。 然しか后きさき是ぜ1+1=2; 最さい后きさき是ぜ进位1。我わが们得到いた结果$12320_{2i}$。

示しめせ例れい：减法

减法和わ加法かほう类似。下面かめん是ぜ例れい子こ：

         - 2 - 8i                       1102
           1 - 6i                       1011  
           ------- -         <=>        ----- -
         - 3 - 2i                       1131

这个例れい子中こなか，先さき是ぜ2-1 = 1。 然しか后きさき是ぜ0-1=-1，小しょう于0，加か4进1得とく3；接着せっちゃく是ぜ1-0=1。然しか后きさき是ぜ1-1=0，加か上じょう进位得とく1。 结果就是 $1131_{2i}$。

乘法じょうほう

乘法じょうほう也要用よう到いた上面うわつら两点。先さき逐位相乘そうじょう，然しか后きさき叠加。比ひ如：

             11201
             20121  x
             --------
             11201      <--- 1 x 11201
            12002       <--- 2 x 11201
           11201        <--- 1 x 11201
          00000         <--- 0 x 11201
         12002      +   <--- 2 x 11201
         ------------
         120231321

也就是ぜ $(9-8i)\cdot (29+4i)=293-196i$。

查表转换

下面かめん是ぜ一いち个常用じょうよう的てき复数对照表ひょう。我わが们可以用叠加的てき方法ほうほう来らい转换复数

十じゅう进制	2i进制
1	1
2	2
3	3
4	10300
5	10301
6	10302
7	10303
8	10200
9	10201
10	10202
11	10203
12	10100
13	10101
14	10102
15	10103
16	10000

十じゅう进制	2i进制
−1	103
−2	102
−3	101
−4	100
−5	203
−6	202
−7	201
−8	200
−9	303
−10	302
−11	301
−12	300
−13	1030003
−14	1030002
−15	1030001
−16	1030000

十じゅう进制	2i进制
1i	10.2
2i	10.0
3i	20.2
4i	20.0
5i	30.2
6i	30.0
7i	103000.2
8i	103000.0
9i	103010.2
10i	103010.0
11i	103020.2
12i	103020.0
13i	103030.2
14i	103030.0
15i	102000.2
16i	102000.0

十じゅう进制	2i进制
−1i	0.2
−2i	1030.0
−3i	1030.2
−4i	1020.0
−5i	1020.2
−6i	1010.0
−7i	1010.2
−8i	1000.0
−9i	1000.2
−10i	2030.0
−11i	2030.2
−12i	2020.0
−13i	2020.2
−14i	2010.0
−15i	2010.2
−16i	2000.0

示しめせ例れい

$5=16+(3\cdot -4)+1=10301_{2i}$

$i=2i+2\left(-{\frac {1}{2}}i\right)=10.2_{2i}$

$7{\frac {3}{4}}-7{\frac {1}{2}}i=1(16)+1(-8i)+2(-4)+1(2i)+3\left(-{\frac {1}{2}}i\right)+1\left(-{\frac {1}{4}}\right)=11210.31_{2i}$

参まいり见

• 四よん進しん制せい
• 十じゅう六ろく進しん制せい
• 複ふく進しん制せい
• 负进制せい

参考さんこう资料

• D. Knuth. The Art of Computer Programming. Volume 2, 3rd Edition. Addison-Wesley. pp. 205, "Positional Number Systems"

Donald Knuth. An imaginary number system. Communications of the ACM. April 1960, 3 (4).