ミレニアム懸xuán賞shăng問wèn題tí

ミレニアム懸xuán賞shăng問wèn題tí（ミレニアムけんしょうもんだい、英yīng: millennium prize problems）とは、アメリカのクレイ数shù学xué研yán究jiū所suŏによって、2000年niánに発fā表biaŏされた100万wànドルの懸xuán賞shăng金jīnがかけられている7つの問wèn題tíのことである。そのうち1つは解jiě決jué済jìみ、6つは2023年nián12月yuèの時shí点diănで未weì解jiě決juéである。ミレニアム賞shăng問wèn題tí、ミレニアム問wèn題tíとも呼hūばれる。

概gaì説shuō

これらの問wèn題tíは、それぞれの分fēn野yěで非feī常chángに重zhòng要yaòかつ難nán解jiěな問wèn題tíである^[1]。

賞shăng金jīnを得déるためには、査chá読dúつきの専zhuān門mén雑zá誌zhìに掲jiē載zaìされた後hoù、二èr年nián間jiānの経jīng過guò期qī間jiānを経jīngて解jiě決juéが学xué界jièに受shoùけ入rùれられたことが確què認rènされなくてはならない^[1]。なお、P≠NPとナビエ-ストークス方fāng程chéng式shìについては、肯kěn定dìng的de、否foŭ定dìng的deのいずれの解jiě決juéに対duìしても賞shăng金jīnが与yŭえられるが、他tāの問wèn題tíについては、否foŭ定dìng的deな解jiě決juéは、それが問wèn題tíの実shí効xiaò的deな解jiě決juéであるとみなされる場cháng合héに限xiànり賞shăng金jīnが与yŭえられる。否foŭ定dìng的deな解jiě決juéであっても問wèn題tíが修xiū正zhèngを加jiāえられた上shàngで生shēngき残cánる場cháng合héは、賞shăng金jīnは与yŭえられない^[2]^[3]。

7つの予yŭ想xiăngのうち、ポアンカレ予yŭ想xiăngについては2002年niánから2003年niánにかけてグリゴリー・ペレルマンによりこれを証zhèng明míngしたとする3つのプレプリント（専zhuān門mén誌zhì未weì査chá読dúの論lùn文wén）^{[注zhù釈shì 1]}が発fā表biaŏされた。この証zhèng明míngは複fù数shùの数shù学xué者zhěによる4年niánの検jiăn証zhèngを経jīngて正zhèngしいものと認rènめられ、2010年nián3月yuè18日rìにクレイ数shù学xué研yán究jiū所suŏはペレルマンの受shoù賞shăngを発fā表biaŏした^[4]。ただし、ペレルマンはこの受shoù賞shăngを拒jù否foŭ^[5]しており、彼bĭに与yŭえられる賞shăng金jīn100万wànドルは数shù学xué界jièへ貢gòng献xiànするかたちで使shĭわれることになると発fā表biaŏしている。

一yī覧lăn

ヤン–ミルズ方fāng程chéng式shìと質zhí量liàngギャップ問wèn題tí (Yang–Mills and Mass Gap)

任rèn意yìのコンパクトな単dān純chúnゲージ群qún G に対duìして、非feī自zì明míngな量liàng子zĭヤン・ミルズ理lĭ論lùnが $' R 4$ 上shàngに存cún在zaìし、質zhí量liàngギャップ $Δ > 0$ を持chíつことを証zhèng明míngせよ。

リーマン予yŭ想xiăng (Riemann Hypothesis)

リーマンゼータ関guān数shù $ζ (s)$ の非feī自zì明míngな零líng点diăn $s$ は全quánて、実shí部bùが $1/2$ の直zhí線xiàn上shàngに存cún在zaìする。

P≠NP予yŭ想xiăng (P vs NP Problem)

計jì算suàn複fù雑zá性xìng理lĭ論lùn（計jì算suàn量liàng理lĭ論lùn）におけるクラスPとクラスNPが等děngしくない。

ナビエ–ストークス方fāng程chéng式shìの解jiěの存cún在zaìと滑huáらかさ (Navier–Stokes Equation)

3次cì元yuán空kōng間jiānと（1次cì元yuánの）時shí間jiānの中zhōngで、初chū期qī速sù度dùを与yŭえると、ナビエ–ストークス方fāng程chéng式shìの解jiěとなる速sù度dùベクトル場chángと圧yā力lìのスカラー場chángが存cún在zaìして、双shuāng方fāngとも滑huáらかで大dà域yù的deに定dìng義yìされるか。

ホッジ予yŭ想xiăng (Hodge Conjecture)

複fù素sù解jiě析xī多duō様yàng体tĭのあるホモロジー類leìは、代daì数shù的deなド・ラームコホモロジー類leìであろう、つまり、部bù分fēn多duō様yàng体tĭのホモロジー類leìのポアンカレ双shuāng対duìの和héとして表biaŏされるようなド・ラームコホモロジー類leìであろう。

ポアンカレ予yŭ想xiăng (Poincaré Conjecture) - グリゴリー・ペレルマンにより解jiě決jué済jì。

単dān連lián結jiéな3次cì元yuán閉bì多duō様yàng体tĭは3次cì元yuán球qiú面miàn $S 3$ に同tóng相xiāngである。

バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予yŭ想xiăng (BSD予yŭ想xiăng、Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture)

楕tuŏ円yuán曲qŭ線xiànE上shàngの有yoŭ理lĭ点diănと無wú限xiàn遠yuăn点diănOのなす有yoŭ限xiàn生shēng成chéngアーベル群qúnの階jiē数shù（ランク）が、EのL関guān数shù L(E, s) のs=1における零líng点diănの位weì数shùと一yī致zhìする。

脚jiaŏ注zhù

[脚jiaŏ注zhùの使shĭい方fāng]

注zhù釈shì

^
*Perelman, Grisha (11 November 2002). "The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications". arXiv:math.DG/0211159。
- Perelman, Grisha (10 March 2003). "Ricci flow with surgery on three-manifolds". arXiv:math.DG/0303109。
- Perelman, Grisha (17 July 2003). "Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds". arXiv:math.DG/0307245。

出chū典diăn

^ ^a ^b Jaffe 2006
^ Jaffe & Wiles (2006) の Rules for the Millennium Prizes の章zhāngを参cān照zhaò
^ CMI 2013
^ Carlson 2010
^ “ＮＨＫスペシャル　１００年niánの難nán問wènはなぜ解jiěけたのか～天tiān才caí数shù学xué者zhě　失shī踪zōng（しっそう）の謎mí～”. NHK. 2023年nián6月yuè11日rì閲yuè覧lăn。

参cān考kaŏ文wén献xiàn

Carlson, James (19 March 2010) (英yīng語yŭ) (PDF), First Clay Mathematics Institute Millennium Prize Announced Today Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture a Awarded to Dr. Grigoriy Perelman, Clay Mathematics Institute 2013年nián12月yuè15日rì閲yuè覧lăn。
CMI (26 September, 2018) (英yīng語yŭ), Rules for the Millennium Prizes, Clay Mathematics Institute 2019年nián3月yuè9日rì閲yuè覧lăn。
Jaffe, Arthur M. (2006-6), “The Millennium Grand Challenge in Mathematics” (英yīng語yŭ) (PDF), Notices of AMS (American Mathematical Society) 63 (6): 652-660
Jaffe, Arthur; Wiles, Andrew (2006), Carlson, James, ed. (英yīng語yŭ), The Millennium Prize Problems (Hardcover ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3679-8

関guān連lián文wén献xiàn

キース・デブリン著zhù、山shān下xià純chún一yī 訳yì『興xīng奮fènする数shù学xué　世shì界jièを沸feìかせる7つの未weì解jiě決jué問wèn題tí』岩yán波bō書shū店diàn、2004年nián8月yuè25日rì。ISBN 978-4-00-005387-7。 - 原yuánタイトル：The millennium problems.
数shù学xuéセミナー編biān集jí部bù 編biān『ミレニアム賞shăng問wèn題tí　7つの未weì解jiě決jué問wèn題tíはどうなったか？』日rì本běn評píng論lùn社shè〈数shù学xuéセミナー増zēng刊kān〉、2010年nián7月yuè。
一yī松sōng信xìn ほか『数shù学xué七qīつの未weì解jiě決jué問wèn題tí　あなたも100万wànドルにチャレンジしよう！』森sēn北beĭ出chū版băn、2002年nián10月yuè。ISBN 978-4-627-01961-4。
一yī松sōng信xìn「ミレニアム賞shăng問wèn題tíの経jīng緯weĭ」『数shù学xuéセミナー』第dì50巻juàn4（通tōng号haò 595）、日rì本běn評píng論lùn社shè、2011年nián4月yuè、21-25頁yè、ISSN 0386-4960。

関guān連lián項xiàng目mù

外waì部bùリンク

Millennium Prize Problems

[4] *Perelman, Grisha (11 November 2002). "The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications". arXiv:math.DG/0211159。
Perelman, Grisha (10 March 2003). "Ricci flow with surgery on three-manifolds". arXiv:math.DG/0303109。

Perelman, Grisha (17 July 2003). "Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds". arXiv:math.DG/0307245。

[2] Perelman, Grisha (10 March 2003). "Ricci flow with surgery on three-manifolds". arXiv:math.DG/0303109。

[3] Perelman, Grisha (17 July 2003). "Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds". arXiv:math.DG/0307245。

[jaffe2006-1] Jaffe 2006

[carlson2006-2] Jaffe & Wiles (2006) の Rules for the Millennium Prizes の章zhāngを参cān照zhaò

[3] CMI 2013

[5] Carlson 2010

[6] “ＮＨＫスペシャル　１００年niánの難nán問wènはなぜ解jiěけたのか～天tiān才caí数shù学xué者zhě　失shī踪zōng（しっそう）の謎mí～”. NHK. 2023年nián6月yuè11日rì閲yuè覧lăn。

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[注zhù釈shì 1]

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