في الحساب التكاملي ، نشأت التكاملات الناقصية [1] [2] [3] أو التكاملات الإهليلجية [4] (بالإنجليزية : Elliptic integral ) في الأصل فيما يتعلق بمشكلة إيجاد طول قوس من القطع الناقص . تم دراستها لأول مرة من قبل جوليو فاغنانو [الإنجليزية] وليونهارت أويلر (حوالي 1750). تعرف الرياضيات الحديثة «التكامل الإهليلجي» على أنه أي دالة f يمكن التعبير عنها على شكل:
f
(
x
)
=
∫
c
x
R
(
t
,
P
(
t
)
)
d
t
,
{\displaystyle f(x)=\int _{c}^{x}R\left(t,{\sqrt {P(t)}}\right)\,\mathrm {d} t,}
حيث R هي دالة كسرية ذات متغيرين، و P هي متعددة الحدود من الدرجة الثالثة أو الرابعة بدون جذور متكررة، و c هو ثابت.
عمومًا، لا يمكن التعبير عن التكاملات في هذا الشكل بدلالة الدوال الابتدائية . الاستثناءات لهذه القاعدة العامة هي عندما يكون لـ P جذور متكررة، أو عندما لا تحتوي R (x, y) على قوى فردية لـ y.
تدوين العمدة [ عدل ]
التكاملات الاهليلجية غير التامة هي دوال لعمدتين (arguments). أما التكاملات الاهليلجية التامة، فهي دوال لعمدة واحدة.
التكاملات الإهليلجية غير التامة [ عدل ]
التكامل الإهليلجي غير التام من النوع الأول [ عدل ]
يعرف التكامل الإهليلجي غير الكامل من النوع الأول F بـ:
F
(
φ ふぁい
,
k
)
=
F
(
φ ふぁい
|
k
2
)
=
F
(
sin
φ ふぁい
;
k
)
=
∫
0
φ ふぁい
d
θ しーた
1
−
k
2
sin
2
θ しーた
.
{\displaystyle F(\varphi ,k)=F\left(\varphi \,|\,k^{2}\right)=F(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}.}
هذا هو الشكل المثلثي للتكامل؛ بتعويض t = sin (θ しーた ) و x = sin (φ ふぁい )، نحصل على شكل ليجاندر الإهليلجي النظامي:
F
(
x
;
k
)
=
∫
0
x
d
t
(
1
−
t
2
)
⋅
(
1
−
k
2
t
2
)
.
{\displaystyle F(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})\cdot (1-k^{2}t^{2})}}}.}
بدلالة السعة φ ふぁい والاختلاف المركزي الزاوي:
F
(
φ ふぁい
∖
α あるふぁ
)
=
F
(
φ ふぁい
,
sin
α あるふぁ
)
=
∫
0
φ ふぁい
d
θ しーた
1
−
(
sin
θ しーた
sin
α あるふぁ
)
2
.
{\displaystyle F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}}.}
في هذا الترميز، يشير استخدام شريط عمودي كمحدد إلى أن العمدة (argument) التي تليها هي «الوسيط»، بينما تشير الشرطة المائلة للخلف إلى أنها «الاختلاف المركزي الزاوي». يشير استخدام الفاصلة المنقوطة إلى أن العمدة التي تسبقها هي جيب السعة.
التكامل الإهليلجي غير التام من النوع الثاني [ عدل ]
تكتب التكاملات الإهليلجية من النوع الثاني على الشكل المثلثي:
E
(
φ ふぁい
,
k
)
=
E
(
φ ふぁい
|
k
2
)
=
E
(
sin
φ ふぁい
;
k
)
=
∫
0
φ ふぁい
1
−
k
2
sin
2
θ しーた
d
θ しーた
.
{\displaystyle E(\varphi ,k)=E(\varphi \,|\,k^{2})=E(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta .}
شكل جاكوبي:
E
(
x
;
k
)
=
∫
0
x
1
−
k
2
t
2
1
−
t
2
d
t
.
{\displaystyle E(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t.}
وبالمثل، مع الاختلاف المركزي الزاوي:
E
(
φ ふぁい
∖
α あるふぁ
)
=
E
(
φ ふぁい
,
sin
α あるふぁ
)
=
∫
0
φ ふぁい
1
−
(
sin
θ しーた
sin
α あるふぁ
)
2
d
θ しーた
.
{\displaystyle E(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}\,\mathrm {d} \theta .}
يعطى طول قوس الزوال من خط الإستواء إلى دائرة العرض بـ E:
m
(
φ ふぁい
)
=
a
(
E
(
φ ふぁい
,
e
)
+
d
2
d
φ ふぁい
2
E
(
φ ふぁい
,
e
)
)
,
{\displaystyle m(\varphi )=a\left(E(\varphi ,e)+{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}E(\varphi ,e)\right),}
حيث a هو المحور الرئيسي للإهليلج (القطع الناقص)، و e هو إختلافه المركزي.
التكامل الإهليلجي غير التام من النوع الثالث [ عدل ]
تكتب التكاملات الإهليلجية غير التامة من النوع الثالث Π ぱい على الشكل المثلثي:
Π ぱい
(
n
;
φ ふぁい
∖
α あるふぁ
)
=
∫
0
φ ふぁい
1
1
−
n
sin
2
θ しーた
⋅
d
θ しーた
1
−
(
sin
θ しーた
sin
α あるふぁ
)
2
{\displaystyle \Pi (n;\varphi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}\cdot {\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}}}
أو
Π ぱい
(
n
;
φ ふぁい
|
m
)
=
∫
0
sin
φ ふぁい
1
1
−
n
t
2
⋅
d
t
(
1
−
m
t
2
)
(
1
−
t
2
)
.
{\displaystyle \Pi (n;\varphi \,|\,m)=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-nt^{2}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-mt^{2})(1-t^{2})}}}.}
يُطلق على العدد n اسم المميزة ويمكن أن يأخذ أي قيمة، بغض النظر عن العمدات الأخرى. ومع ذلك، لاحظ أن
Π ぱい
(
1
;
π ぱい
2
|
m
)
{\displaystyle \Pi (1;{\tfrac {\pi }{2}}\,|\,m)}
لانهائي، مهما كان m.
يعطى طول قوس الزوال من خط الإستواء إلى دائرة العرض φ ふぁい أيضا بدلالة Π ぱい :
m
(
φ ふぁい
)
=
a
(
1
−
e
2
)
Π ぱい
(
e
2
;
φ ふぁい
|
e
2
)
.
{\displaystyle m(\varphi )=a(1-e^{2})\Pi (e^{2};\varphi \,|\,e^{2}).}
التكاملات الإهليلجية التامة [ عدل ]
هي حالات خاصة للتكاملات غير التامة عندما تكون السعة تساوي π ぱい / 2 ، وبالتالي x =1.
التكامل الإهليلجي التام من النوع الأول [ عدل ]
منحنى التكامل الإهليلجي التام من النوع الأول K (k )
تعرف التكاملات الإهليلجية التامة من النوع الأول K بـ:
K
(
k
)
=
F
(
π ぱい
2
,
k
)
=
F
(
π ぱい
2
|
k
2
)
=
F
(
1
;
k
)
=
∫
0
π ぱい
/
2
d
θ しーた
1
−
k
2
sin
2
θ しーた
=
∫
0
1
d
t
(
1
−
t
2
)
(
1
−
k
2
t
2
)
,
{\displaystyle K(k)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=F\left({\frac {\pi }{2}}\,|\,k^{2}\right)=F\left(1;k\right)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}},}
يمكن استخدام مفكوكه :
K
(
k
)
=
π ぱい
2
∑
n
=
0
∞
[
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
]
2
k
2
n
{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]^{2}k^{2n}}
يمكن حسابه بكفاءة عالية بدلالة المتوسط الحسابي الهندسي :
K
(
k
)
=
π ぱい
2
agm
(
1
,
1
−
k
2
)
.
{\displaystyle K(k)={\frac {\frac {\pi }{2}}{\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}.}
التكامل الإهليلجي التام من النوع الثاني [ عدل ]
منحنى التكامل الإهليلجي التام من النوع الثاني
E
(
k
)
{\displaystyle E(k)}
تعرف التكاملات الإهليلجية التامة من النوع الثاني E بـ:
E
(
k
)
=
E
(
π ぱい
2
,
k
)
=
E
(
1
;
k
)
=
∫
0
π ぱい
/
2
1
−
k
2
sin
2
θ しーた
d
θ しーた
=
∫
0
1
1
−
k
2
t
2
1
−
t
2
d
t
{\displaystyle E(k)=E\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=E(1;k)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\ \mathrm {d} \theta =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\mathrm {d} t}
.
بالنسبة للقطع الناقص ذو المحور الرئيسي a والمحور الثانوي b، وبالتالي من الاختلاف المركزي
e
=
1
−
b
2
/
a
2
{\displaystyle e={\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}}
، التكامل الإهليلجي التام من النوع الثاني E (e) يساوي ربع المحيط c للقطع الناقص قسمة المحور الثانوي a. اختصارًا:
c
=
4
a
E
(
e
)
{\displaystyle c=4aE(e)}
يمكن استخدام مفكوكه :
E
(
k
)
=
π ぱい
2
∑
n
=
0
∞
[
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
]
2
k
2
n
1
−
2
n
=
π ぱい
2
{
1
−
(
1
2
)
2
k
2
1
−
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
2
k
4
3
−
⋯
−
[
(
2
n
−
1
)
!
!
(
2
n
)
!
!
]
2
k
2
n
2
n
−
1
−
⋯
}
.
{\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}}={\frac {\pi }{2}}\left\{1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\cdots -\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\cdots \right\}.}
حيث
n
!
!
{\displaystyle n!!}
هو عاملي ثنائي .
التكامل الإهليلجي التام من النوع الثالث [ عدل ]
منحنى التكامل الإهليلجي التام من النوع الثالث
Π ぱい
(
n
,
k
)
{\displaystyle \Pi (n,k)}
مع عدة قيم ثابتة لـ n
n
{\displaystyle n}
تعرف التكاملات الإهليلجية التامة من النوع الثالث Π ぱい بـ:
Π ぱい
(
n
,
k
)
=
∫
0
π ぱい
/
2
d
θ しーた
(
1
−
n
sin
2
θ しーた
)
1
−
k
2
sin
2
θ しーた
.
{\displaystyle \Pi (n,k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}
يمكن تعريفهم أحيانًا بالمعكوس الجمعي للمميزة n ،
Π ぱい
′
(
n
,
k
)
=
∫
0
π ぱい
/
2
d
θ しーた
(
1
+
n
sin
2
θ しーた
)
1
−
k
2
sin
2
θ しーた
.
{\displaystyle \Pi '(n,k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{(1+n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}
انظر أيضًا [ عدل ]
مراجع [ عدل ]