Факториел: Разлика между версии
Luckas-bot (беседа | приноси) м r2.7.1) (Робот Добавяне: la:Factorialis |
Редакция без резюме |
||
(Не са показани 32 междинни версии от 18 потребители) | |||
Ред 1: | Ред 1: | ||
'''Факториел''' е [[функция]] |
'''Факториел''' е [[функция]], дефинирана за всички [[цели числа|цели неотрицателни числа]] n (<math>n \in \mathbb{Z}</math>), равна на произведението на всички [[Естествено число|естествени числа]], по-малки или равни на n. |
||
* n! =1·2·3·...·(n-1)·n, за n>1; |
|||
* 1! =1; |
|||
* 0! =1. |
|||
⚫ | |||
Така, <math>n! = \prod_{i=1}^{i=n} i</math> |
|||
⚫ | |||
Например: |
|||
* 5! = 5*4*3*2*1 = 120 |
|||
* 10! = 10*9*8*7*...*2*1 = 3628800 |
|||
* По конвенция, 0! = 1 |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
* n!=(n-1)!·n |
* n!=(n-1)!·n |
||
Ред 12: | Ред 15: | ||
== Произволни реални и комплексни числа == |
== Произволни реални и комплексни числа == |
||
Съществува обобщение на факториел, наречено [[Гама-функция]] на [[Ойлер]], дефинирано за произволни [[Комплексно число|комплексни числа]] ''z'' с положителна реална част, аналогично факториел за естествени числа: |
|||
Факториелът може да се определи и за произволното комплексно число ''z'', по същия начин, както се определя факториела за естествени числа, но се нарича [[Гама-функция]] на [[Ойлер]]: |
|||
:<math>\Gamma(n+1) = n \, \Gamma(n)</math> |
:<math>\Gamma(n+1) = n \, \Gamma(n)</math> |
||
която може и да се определи като |
която може и да се определи като:<math> |
||
\Gamma(z) = \int_0^\infty |
\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t \,\! |
||
</math> |
</math> |
||
а предното определение следва от това след [[интегриране по части]]. Въведеното от самия Ойлер определение е: |
, а предното определение следва от това след [[интегриране по части]]. Въведеното от самия Ойлер определение е: |
||
:<math>\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^n(z+k)}. \!</math>, а днес използваното дължим на [[Адриан Мари Льожандър]]. |
:<math>\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^n(z+k)}. \!</math>, а днес използваното дължим на [[Адриан Мари Льожандър]]. |
||
Интересно следствие от тези определения е, че <math>\left( |
Интересно следствие от тези определения е, че <math>\left({1 \over 2}\right)! = {\sqrt{\pi}\over 2}</math> |
||
== Приложения == |
== Приложения == |
||
=== Пермутация без повторение === |
|||
⚫ | |||
{{основна|Пермутация}} |
|||
Практическото приложение на факториела е чрез него да се изчислят всички възможни подредби на елементите на определено множество, като всеки елемент участва само веднъж и мястото му в подредбата има значение. Когато този елемент е един е ясно, че и подредбата му е по един-единствен начин (т.е. 1! = 1). Тъй като това е принцип за всяко число, е прието, че и николко (нула) елемента може да имат само една подредба, т.е. 0! = 1. |
|||
''Пример'': Да се изчисли колко различни знамена може да има от 3 цвята: бяло, зелено и червено. Използвайки функцията факториел получаваме: |
|||
{{Математика-мъниче}} |
|||
3! = 1 × 2 × 3 = 6 |
|||
⚫ | |||
''Практическо доказателство'': За целта поставяме всеки един от трите цвята (б, з, ч) на първо място, а останалите два цвята имат точно два начина за подредба (защото 2! = 1 × 2) и така общо стават 6: |
|||
[[ar:عاملي]] |
|||
[[bs:Faktorijel]] |
|||
бзч, бчз, збч, зчб, чзб, чбз |
|||
[[ca:Factorial]] |
|||
[[cs:Faktoriál]] |
|||
Ако добавим четвърти цвят (син) ще имаме четири пъти повече подредби (4! = 3! × 4), защото на всеки от 6-те варианта ще имаме 4 места за синия цвят. На първия начин ('''бзч''') това са: |
|||
[[cv:Факториал]] |
|||
[[da:Fakultet (matematik)]] |
|||
сбзч, бсзч, бзсч, бзчс |
|||
[[de:Fakultät (Mathematik)]] |
|||
[[en:Factorial]] |
|||
и т.н. за останалите 5, или общо 24 подредби. |
|||
[[eo:Faktorialo]] |
|||
[[es:Factorial]] |
|||
4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24 |
|||
[[et:Faktoriaal]] |
|||
[[eu:Faktorial]] |
|||
=== Теория на числата === |
|||
[[fa:فاکتوریل]] |
|||
{{основна|Теория на числата}} |
|||
[[fi:Kertoma]] |
|||
⚫ | |||
[[fr:Factorielle]] |
|||
[[gl:Factorial]] |
|||
== Външни препратки == |
|||
[[he:עצרת]] |
|||
* [http://www.elektro-energetika.cz/calculations/faktorial.php?language=bg Онлайн изчисляване на факториел до 40 000!] |
|||
[[hu:Faktoriális]] |
|||
[[id:Faktorial]] |
|||
⚫ | |||
[[io:Faktorialo]] |
|||
[[is:Aðfeldi]] |
|||
[[it:Fattoriale]] |
|||
[[ja: |
|||
[[ka:მათემატიკური ფაქტორიალი]] |
|||
[[ko:계승]] |
|||
[[la:Factorialis]] |
|||
[[lmo:Faturiaal]] |
|||
[[lt:Faktorialas]] |
|||
[[lv:Faktoriāls]] |
|||
[[ml:ഫാക്റ്റോറിയൽ]] |
|||
[[ms:Faktorial]] |
|||
[[nl:Faculteit (wiskunde)]] |
|||
[[no:Fakultet (matematikk)]] |
|||
[[pl:Silnia]] |
|||
[[pms:Fatorial]] |
|||
[[pt:Fatorial]] |
|||
[[ro:Factorial]] |
|||
[[ru:Факториал]] |
|||
[[scn:Fatturiali]] |
|||
[[simple:Factorial]] |
|||
[[sk:Faktoriál]] |
|||
[[sl:Fakulteta (funkcija)]] |
|||
[[sq:Faktoriali]] |
|||
[[sr:Факторијел]] |
|||
[[sv:Fakultet (matematik)]] |
|||
[[th:แฟกทอเรียล]] |
|||
[[tr:Faktöriyel]] |
|||
[[uk:Факторіал]] |
|||
[[ur:عاملیہ]] |
|||
[[vi:Giai thừa]] |
|||
[[zh: |
Текуща версия към 08:02, 24 май 2022
Факториел е функция, дефинирана за всички цели неотрицателни числа n (), равна на произведението на всички естествени числа, по-малки или равни на n.
Така,
Например:
- 5! = 5*4*3*2*1 = 120
- 10! = 10*9*8*7*...*2*1 = 3628800
- По конвенция, 0! = 1
Рекурсивно задаване на функцията факториел[редактиране | редактиране на кода]
Факториел може да бъде определена и чрез рекурсия, т.е. чрез функцията от предходното естествено число, по-малко от n:
- n!=(n-1)!·n
Използвайки началната стойност 1! =1 и рекурсивното задаване на функцията, можем да я изчислим за всяка стойност на n∈ℕ.
Произволни реални и комплексни числа[редактиране | редактиране на кода]
Съществува обобщение на факториел, наречено Гама-функция на Ойлер, дефинирано за произволни комплексни числа z с положителна реална част, аналогично факториел за естествени числа:
която може и да се определи като: , а предното определение следва от това след интегриране по части. Въведеното от самия Ойлер определение е:
- , а днес използваното дължим на Адриан Мари Льожандър.
Интересно следствие от тези определения е, че
Приложения[редактиране | редактиране на кода]
Пермутация без повторение[редактиране | редактиране на кода]
Практическото приложение на факториела е чрез него да се изчислят всички възможни подредби на елементите на определено множество, като всеки елемент участва само веднъж и мястото му в подредбата има значение. Когато този елемент е един е ясно, че и подредбата му е по един-единствен начин (т.е. 1! = 1). Тъй като това е принцип за всяко число, е прието, че и николко (нула) елемента може да имат само една подредба, т.е. 0! = 1.
Пример: Да се изчисли колко различни знамена може да има от 3 цвята: бяло, зелено и червено. Използвайки функцията факториел получаваме:
3! = 1 × 2 × 3 = 6
Практическо доказателство: За целта поставяме всеки един от трите цвята (б, з, ч) на първо място, а останалите два цвята имат точно два начина за подредба (защото 2! = 1 × 2) и така общо стават 6:
бзч, бчз, збч, зчб, чзб, чбз
Ако добавим четвърти цвят (син) ще имаме четири пъти повече подредби (4! = 3! × 4), защото на всеки от 6-те варианта ще имаме 4 места за синия цвят. На първия начин (бзч) това са:
сбзч, бсзч, бзсч, бзчс
и т.н. за останалите 5, или общо 24 подредби.
4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
Теория на числата[редактиране | редактиране на кода]
Факториелът служи за изразяване на коефициентите на Нютоновия бином), при разлагането на аналитичните функции, например синус и косинус, в ред на Тейлър, което позволява практическото им изчисление с дадена точност, и др.