Факториел

Факториел е функция, дефинирана за всички цели неотрицателни числа n ($n\in \mathbb {Z}$), равна на произведението на всички естествени числа, по-малки или равни на n.

Така, $n!=\prod _{i=1}^{i=n}i$

Например:

• 5! = 5*4*3*2*1 = 120
• 10! = 10*9*8*7*...*2*1 = 3628800
• По конвенция, 0! = 1

Рекурсивно задаване на функцията факториел

Факториел може да бъде определена и чрез рекурсия, т.е. чрез функцията от предходното естествено число, по-малко от n:

• n!=(n-1)!·n

Използвайки началната стойност 1! =1 и рекурсивното задаване на функцията, можем да я изчислим за всяка стойност на n∈ℕ.

Произволни реални и комплексни числа

Съществува обобщение на факториел, наречено Гама-функция на Ойлер, дефинирано за произволни комплексни числа z с положителна реална част, аналогично факториел за естествени числа:

$\Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)$

която може и да се определи като:$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t\,\!$ , а предното определение следва от това след интегриране по части. Въведеното от самия Ойлер определение е:

$\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod _{k=0}^{n}(z+k)}}.\!$, а днес използваното дължим на Адриан Мари Льожандър.

Интересно следствие от тези определения е, че $\left({1 \over 2}\right)!={{\sqrt {\pi }} \over 2}$

Приложения

Пермутация без повторение

Практическото приложение на факториела е чрез него да се изчислят всички възможни подредби на елементите на определено множество, като всеки елемент участва само веднъж и мястото му в подредбата има значение. Когато този елемент е един е ясно, че и подредбата му е по един-единствен начин (т.е. 1! = 1). Тъй като това е принцип за всяко число, е прието, че и николко (нула) елемента може да имат само една подредба, т.е. 0! = 1.

Пример: Да се изчисли колко различни знамена може да има от 3 цвята: бяло, зелено и червено. Използвайки функцията факториел получаваме:

3! = 1 × 2 × 3 = 6

Практическо доказателство: За целта поставяме всеки един от трите цвята (б, з, ч) на първо място, а останалите два цвята имат точно два начина за подредба (защото 2! = 1 × 2) и така общо стават 6:

бзч, бчз, збч, зчб, чзб, чбз

Ако добавим четвърти цвят (син) ще имаме четири пъти повече подредби (4! = 3! × 4), защото на всеки от 6-те варианта ще имаме 4 места за синия цвят. На първия начин (бзч) това са:

сбзч, бсзч, бзсч, бзчс

и т.н. за останалите 5, или общо 24 подредби.

4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Теория на числата

Факториелът служи за изразяване на коефициентите на Нютоновия бином), при разлагането на аналитичните функции, например синус и косинус, в ред на Тейлър, което позволява практическото им изчисление с дадена точност, и др.

Външни препратки

• Онлайн изчисляване на факториел до 40 000!