Факториел: Разлика между версии
мРедакция без резюме |
Редакция без резюме |
||
(Не са показани 5 междинни версии от 2 потребители) | |||
Ред 1: | Ред 1: | ||
'''Факториел''' е [[функция]] |
'''Факториел''' е [[функция]], дефинирана за всички [[цели числа|цели неотрицателни числа]] n (<math>n \in \mathbb{Z}</math>), равна на произведението на всички [[Естествено число|естествени числа]], по-малки или равни на n. |
||
Така, <math>n! = \prod_{i=1}^{i=n} i</math> |
Така, <math>n! = \prod_{i=1}^{i=n} i</math> |
||
Ред 9: | Ред 9: | ||
== Рекурсивно задаване на функцията факториел == |
== Рекурсивно задаване на функцията факториел == |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
* n!=(n-1)!·n |
* n!=(n-1)!·n |
||
Ред 16: | Ред 15: | ||
== Произволни реални и комплексни числа == |
== Произволни реални и комплексни числа == |
||
Съществува обобщение на факториел, наречено [[Гама-функция]] на [[Ойлер]], дефинирано за произволни [[Комплексно число|комплексни числа]] ''z'' с положителна реална част, аналогично факториел за естествени числа: |
|||
Факториелът може да се определи и за произволното комплексно число ''z'', по същия начин, както се определя факториела за естествени числа, но се нарича [[Гама-функция]] на [[Ойлер]]: |
|||
:<math>\Gamma(n+1) = n \, \Gamma(n)</math> |
:<math>\Gamma(n+1) = n \, \Gamma(n)</math> |
||
която може и да се определи като:<math> |
която може и да се определи като:<math> |
||
\Gamma(z) = \int_0^\infty |
\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t \,\! |
||
</math> |
</math> |
||
, а предното определение следва от това след [[интегриране по части]]. Въведеното от самия Ойлер определение е: |
, а предното определение следва от това след [[интегриране по части]]. Въведеното от самия Ойлер определение е: |
||
Ред 28: | Ред 27: | ||
Интересно следствие от тези определения е, че <math>\left({1 \over 2}\right)! = {\sqrt{\pi}\over 2}</math> |
Интересно следствие от тези определения е, че <math>\left({1 \over 2}\right)! = {\sqrt{\pi}\over 2}</math> |
||
== Приложения == |
== Приложения == |
||
=== Пермутация === |
=== Пермутация без повторение === |
||
{{основна|Пермутация}} |
{{основна|Пермутация}} |
||
Практическото приложение на факториела е чрез него да се изчислят всички възможни подредби на елементите на определено множество, като всеки елемент участва |
Практическото приложение на факториела е чрез него да се изчислят всички възможни подредби на елементите на определено множество, като всеки елемент участва само веднъж и мястото му в подредбата има значение. Когато този елемент е един е ясно, че и подредбата му е по един-единствен начин (т.е. 1! = 1). Тъй като това е принцип за всяко число, е прието, че и николко (нула) елемента може да имат само една подредба, т.е. 0! = 1. |
||
''Пример'': Да се изчисли колко различни знамена може да има от 3 цвята: бяло, зелено и червено. Използвайки функцията факториел получаваме: |
''Пример'': Да се изчисли колко различни знамена може да има от 3 цвята: бяло, зелено и червено. Използвайки функцията факториел получаваме: |
Текуща версия към 08:02, 24 май 2022
Факториел е функция, дефинирана за всички цели неотрицателни числа n (), равна на произведението на всички естествени числа, по-малки или равни на n.
Така,
Например:
- 5! = 5*4*3*2*1 = 120
- 10! = 10*9*8*7*...*2*1 = 3628800
- По конвенция, 0! = 1
Рекурсивно задаване на функцията факториел[редактиране | редактиране на кода]
Факториел може да бъде определена и чрез рекурсия, т.е. чрез функцията от предходното естествено число, по-малко от n:
- n!=(n-1)!·n
Използвайки началната стойност 1! =1 и рекурсивното задаване на функцията, можем да я изчислим за всяка стойност на n∈ℕ.
Произволни реални и комплексни числа[редактиране | редактиране на кода]
Съществува обобщение на факториел, наречено Гама-функция на Ойлер, дефинирано за произволни комплексни числа z с положителна реална част, аналогично факториел за естествени числа:
която може и да се определи като: , а предното определение следва от това след интегриране по части. Въведеното от самия Ойлер определение е:
- , а днес използваното дължим на Адриан Мари Льожандър.
Интересно следствие от тези определения е, че
Приложения[редактиране | редактиране на кода]
Пермутация без повторение[редактиране | редактиране на кода]
Практическото приложение на факториела е чрез него да се изчислят всички възможни подредби на елементите на определено множество, като всеки елемент участва само веднъж и мястото му в подредбата има значение. Когато този елемент е един е ясно, че и подредбата му е по един-единствен начин (т.е. 1! = 1). Тъй като това е принцип за всяко число, е прието, че и николко (нула) елемента може да имат само една подредба, т.е. 0! = 1.
Пример: Да се изчисли колко различни знамена може да има от 3 цвята: бяло, зелено и червено. Използвайки функцията факториел получаваме:
3! = 1 × 2 × 3 = 6
Практическо доказателство: За целта поставяме всеки един от трите цвята (б, з, ч) на първо място, а останалите два цвята имат точно два начина за подредба (защото 2! = 1 × 2) и така общо стават 6:
бзч, бчз, збч, зчб, чзб, чбз
Ако добавим четвърти цвят (син) ще имаме четири пъти повече подредби (4! = 3! × 4), защото на всеки от 6-те варианта ще имаме 4 места за синия цвят. На първия начин (бзч) това са:
сбзч, бсзч, бзсч, бзчс
и т.н. за останалите 5, или общо 24 подредби.
4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
Теория на числата[редактиране | редактиране на кода]
Факториелът служи за изразяване на коефициентите на Нютоновия бином), при разлагането на аналитичните функции, например синус и косинус, в ред на Тейлър, което позволява практическото им изчисление с дадена точност, и др.