Факториел

Факториел е функция на естествено число n (n∈ℕ⁰), която изразява произведението на всички естествени числа, по-малки или равни на n. Записва се n! и по определение:

• n! =1·2·3·...·(n-1)·n, за n>1;
• 1! =1;
• 0! =1.

Рекурсивно задаване на функцията факториел

Факториел може да бъде определена и чрез рекурсия, т.е. n! може да се изрази чрез факториел от естествени числа, по-малки от n:

• n!=(n-1)!·n

Използвайки началната стойност 1! =1 и рекурсивното задаване на функцията, можем да я изчислим за всяка стойност на n∈ℕ.

Произволни реални и комплексни числа

Факториелът може да се определи и за произволното комплексно число z, по същия начин, както се определя факториела за естествени числа, но се нарича Гама-функция на Ойлер:

$\Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)$

която може и да се определи като :$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t\,\!$ а предното определение следва от това след интегриране по части. Въведеното от самия Ойлер определение е:

$\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod _{k=0}^{n}(z+k)}}.\!$, а днес използваното дължим на Адриан Мари Льожандър.

Интересно следствие от тези определения е, че $\left({1 \over 2}\right)!={{\sqrt {\pi }} \over 2}$

Приложения

Използва се в теорията на числата (например за изразяване на коефициентите на Нютоновия бином), при разлагането на аналитичните функции, например синус и косинус, в ред на Тейлър, което позволява практическото им изчисление с дадена точност, и т.н.