Факториел
Факториел е функция на естествено число n (n∈ℕ0), равна на произведението на първите n естествени числа. Например:
- 5! = 5*4*3*2*1 = 120
- 10! = 10*9*8*7*...*2*1 = 3628800
- 0! се брои за 1, 0! = 1
Рекурсивно задаване на функцията факториел
Факториел може да бъде определена и чрез рекурсия, т.е. n! може да се изрази чрез факториел от естествени числа, по-малки от n:
- n!=(n-1)!·n
Използвайки началната стойност 1! =1 и рекурсивното задаване на функцията, можем да я изчислим за всяка стойност на n∈ℕ.
Произволни реални и комплексни числа
Факториелът може да се определи и за произволното комплексно число z, по същия начин, както се определя факториела за естествени числа, но се нарича Гама-функция на Ойлер:
която може и да се определи като : а предното определение следва от това след интегриране по части. Въведеното от самия Ойлер определение е:
- , а днес използваното дължим на Адриан Мари Льожандър.
Интересно следствие от тези определения е, че
Приложения
Използва се в теорията на числата (например за изразяване на коефициентите на Нютоновия бином), при разлагането на аналитичните функции, например синус и косинус, в ред на Тейлър, което позволява практическото им изчисление с дадена точност, и т.н.
В компютърните науки
Имплементация на някои програмни езици:
Псевдокод (рекурсивно): |
---|
функция факториел: |
int factorial(int n)
{
if(n == 0)
return 1;
return n * factorial(n - 1);
}
Java:
private int factorial(int n)
{
if(n == 0)
return 1;
return n * factorial(n - 1);
}
PHP:
function factorial($n)
{
if($n == 0)
return 1;
return $n * factorial($n -1);
}
Външни връзки
- Онлайн изчисляване на факториела на 40 000! всички валидни точки