Факториел

Факториел е функция на естествено число n (n∈ℕ⁰), равна на произведението на първите n естествени числа. Например:

• 5! = 5*4*3*2*1 = 120
• 10! = 10*9*8*7*...*2*1 = 3628800
• 0! се брои за 1, 0! = 1

Рекурсивно задаване на функцията факториел

Факториел може да бъде определена и чрез рекурсия, т.е. n! може да се изрази чрез факториел от естествени числа, по-малки от n:

• n!=(n-1)!·n

Използвайки началната стойност 1! =1 и рекурсивното задаване на функцията, можем да я изчислим за всяка стойност на n∈ℕ.

Произволни реални и комплексни числа

Факториелът може да се определи и за произволното комплексно число z, по същия начин, както се определя факториела за естествени числа, но се нарича Гама-функция на Ойлер:

$\Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)$

която може и да се определи като :$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t\,\!$ , а предното определение следва от това след интегриране по части. Въведеното от самия Ойлер определение е:

$\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod _{k=0}^{n}(z+k)}}.\!$, а днес използваното дължим на Адриан Мари Льожандър.

Интересно следствие от тези определения е, че $\left({1 \over 2}\right)!={{\sqrt {\pi }} \over 2}$

Приложения

Използва се в теорията на числата (например за изразяване на коефициентите на Нютоновия бином), при разлагането на аналитичните функции, например синус и косинус, в ред на Тейлър, което позволява практическото им изчисление с дадена точност, и т.н.

В компютърните науки

Имплементация на някои програмни езици:

$\operatorname {fact} (n)={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0\\n\cdot \operatorname {fact} (n-1)&{\mbox{if }}n>0\\\end{cases}}$

Псевдокод (рекурсивно):
функция факториел: вход: цяло число n където n >= 0 изход: [n × (n-1) × (n-2) × … × 1] 1. ако n е 0, върни 1 2. иначе, върни [ n × факториел(n-1) ] край факториел

C (език за програмиране):

int factorial(int n)
{
  if(n == 0)
    return 1;

  return n * factorial(n - 1);
}

Java:

private int factorial(int n)
{
   if(n == 0)
       return 1;

   return n * factorial(n - 1);
}

PHP:

function factorial($n)
{
    if($n == 0)
        return 1;

    return $n * factorial($n -1);
}

C#:

static void Main()
    {
        int n = int.Parse(Console.ReadLine());
        int fact = 1;

        do
            {
                fact = fact * n; //fact *= n;
                n--;
            } while (n>1);
            Console.WriteLine(fact);

    }

Външни връзки

• Онлайн изчисляване на факториела на 40 000! всички валидни точки