Средноаритметична стойност
Средноаритметично на числа е сборът им, разделен на броя им, т. е. .
Равнозначно се използват понятията „средноаритметично число“, „средноаритметична стойност“, „средноаритметична оценка“, „средноаритметично претеглено“, „средноаритметично тегло“.
Примери[редактиране | редактиране на кода]
- Ако има три числа, събират се и се дели сбора на 3: .
- Ако има четири числа, събират се и се дели сбора на 4: .
- Ако има пет числа, събират се и се дели сбора на 5: .
- Ако месечният доход на души е , тогава средноаритметичното е:
Общи сведения[редактиране | редактиране на кода]
Средноаритметичното е една от най-широко използваните числови характеристики за средна стойност. Предложено е още от питагорейците (заедно със средногеометричното и среднохармоничното). [1] То се пресмята лесно и в повечето случаи е приемлива мярка за средната стойност на съвкупност от числови данни. В изключителни случаи обаче е възможно средноаритметичното да даде напълно неадекватна представа за стойностите в дадено числово множество. Това става, когато някои числа в множеството са екстремални (т. е. много големи или много малки). Съществуват статистически методи за откриване на екстремални стойности. Препоръчително е средноаритметичното да бъде изчислявано след премахване на екстремалните стойности; така то става много по-надеждна мярка за средна стойност. Алтернативата е да се използва някоя друга мярка, която е нечувствителна към екстремални стойности, например средномедианното число.
Специални случаи на средноаритметичната стойност са средна стойност на генералната съвкупност и средна стойност на извадката (извадките).
В случай, че броят на елементите на набора от числа на стационарен случаен процес е безкраен, математическото очакване на случайна променлива играе ролята на средно аритметично.
Средноаритметичната стойност се използва основно в математиката и статистиката. Прилага се и в икономиката, антропологията, историята и почти всяка академична област до известна степен. Например доходът на глава от населението е средният аритметичен доход на населението на една нация.
Освен средноаритметичното съществуват и други мерки за средна стойност: средногеометрично, средно аритметико-геометрично, среднохармонично, средностепенно, средноквадратично, средномедианна стойност, медиана, мода, и др.
Характеристика[редактиране | редактиране на кода]
Нека обозначим набора от числа X = (x1, x2, …, xn) – тогава средната стойност на извадка от него обикновено се обозначава с хоризонтална черта над променливата (, произнася се „ с черта“ ).
Средноаритметичното на целия набор от числа обикновено се означава с гръцката буква
На практика разликата между
И двете величини се изчисляват по един и същ начин:
Ако X е случайна променлива, тогава математическото очакване на X може да се разглежда като средно аритметично на стойностите при многократни измервания на X. Това е проявление на закона за големите числа. Следователно средната стойност на извадката се използва за оценка на неизвестното математическо очакване.
В елементарната алгебра се доказва, че средната стойност на + 1 числа е по-голяма от средната стойност на числа тогава и само тогава, когато новото число е по-голямо от старото средно; по-малка – тогава и само тогава, когато новото число е по-малко от старото средно; и равна на нея, ако и само ако новото число е средното. Колкото по-голямо е , толкова по-малка е разликата между новата и старата средна стойност.
Непрекъсната случайна променлива[редактиране | редактиране на кода]
Ако има интеграл от някаква функция на една променлива, тогава средноаритметичното на тази функция в отрязъка се намира чрез определен интеграл:
Тук за определяне на интервала се предполага, че като за да не е равен на 0 знаменателят.
Свойства[редактиране | редактиране на кода]
Средноаритметичната стойност има няколко свойства, които я правят интересна, особено като мярка за централна тенденция. Те включват:
- Ако числата имат средноаритметично , тогава . Тъй като е разстоянието от дадено число до средната стойност, един от начините да се интерпретира това свойство е като се каже, че числата вляво от средната стойност са балансирани от числа вдясно. Средната стойност е единственото число, за което сумата на остатъците (отклоненията от оценката) е нула. Това също може да се тълкува като че средната стойност е транслационно инвариантна в смисъл, че за всяко реално число , .
- Ако се изисква да се използва едно число като „типична“ стойност за набор от известни числа , тогава средноаритметичното на числата прави това най-добре, тъй като минимизира сумата на средноквадратичните отклонения от типичната стойност: сумата от . Средната стойност на извадката също е най-добрият единичен показател (предиктор), тъй като има най-ниската средноквадратичнна грешка. [2]
- Средната аритметичната стойност е независима от мащаба на мерните единици, в смисъл че Така, например, изчисляването на средна стойност на литри и след това преобразуване в галони е същото като първо преобразуване в галони и след това изчисляване на средната стойност. Това също се нарича хомогенност от първи ред и означава, че средноаритметичното е еднородна функция.
- Средната аритметична стойност на дадена извадка винаги е между най-голямата и най-малката стойност в тази извадка.
- Средната аритметична стойност на произволно количество групи с еднакви по размер числа заедно е средната аритметична стойност на средните аритметични стойности на всяка група.
Някои проблеми при използването на средната стойност[редактиране | редактиране на кода]
- Липса на робастност /устойчивост/ – при големи отклонения на пиковите стойности от средната, например среден доход ли тегло: за извадката (1, 2, 3, 2, 9, 2) средната аритметична стойност е 3,166, но пет от шестте стойности са под тази средна стойност.
- Сложeн процент (виж Възвръщаемост на инвестициите)
- Направления и цикличност на променливите. Например, ъглови градуси и радиани: средната посока на 1° и 359° не е средноаритметичната стойност 180°, а 0°. За да съвпадат те, трябва в такива случаи, когато всички променливи са само в I квадрант (0°÷90°) и IV квадрант (270°÷360°), т. е. с дисперсия около оста 0°, за променливите от IV квадрант да се използват отрицателни градуси в обратен ред на I квадрант: 270°÷360° = –90°÷0°. Ако променливите са само във II квадрант (90°÷180°) и III квадрант (180°÷270°), т. е. с дисперсия около оста 180°, трябва да се използват положителни градуси. Ако променливите са в 3 или 4 квадранта, за променливите от III и IV квадрант може да се използват отрицателни градуси в обратен ред на I и II квадрант: 270°÷360° = –180°÷0°. Но посоката ±180° остава нееднозначна и при сумирането ѝ с променливи с различни знаци се получават различни резултати за средноаритметичното, които определят с различна грешка вярната средна посока, ако е избрано +180° или –180°. Например, за извадката (20°, ±180°, –140°=220°):
- (20°+180°–140°):3=20° /при +180°/; (20°–180°–140°):3=–100°=260° /при –180°/;
(20°+180°+220°):3=140° /при положителни градуси/.
Действителната средна посока, определена с геометрично сумиране, е 113,33°. Най-близък до нея е резултатът, получен при използване само на положителни градуси.
При преобладаващи променливи в I и IV квадрант спрямо II и III по-точен резултат дава използването на положителни и отрицателни градуси.
Пример: за група от 11 променливи , (=1÷11)
(20°, 40°, 60°, 80°, 280°=–80°, 300°=–60°, 320°=–40°, 340°=–20°, 100°, 200°=–160°, ±180°)
се получава:
Очевидно е, че от първите осем стойности средната посока е =0° поради симетрията. От останалите три е =(100+200+180):3=160°.
Това е еквивалентно на група от 11 елемента, от които 8 са 0° и 3 са 160°. За балансирана извадка с по 3 елемента от двата вида
= (0+160):2=80°. Така се получава нова група от 11 елемента: 6 от 80° и останалите от предишната 5 от 0°. За балансирана извадка с по 5 елемента от двата вида = (0+80):2=40°. Това трансформира групата от 11 елемента до 10 нови елемента от 40° и останалия 1 от 0°, на които средноаритметичното е (10х40+0):11=36,36°. Това е действителната средна посока за първоначалната група, намерена посредством поетапна трансформация на елементите ѝ само чрез усредняването им с използване на средноаритметичните им стойности. Очевидно е, че най-малко се различава от нея първата еднократно усреднена стойност, използваща положителни и отрицателни градуси и величина +180°.
Средната посока на симетричните спрямо центъра не може да бъде определена точно и еднозначно като средноаритметична, а в някои случаи дори и като медиана и остава неопределена:
- на 0° и 180° може да е ±90°;
- на 0°(360°), 120° и 240° не е средноаритметичната 120°(240°);
- на 0°(360°), 90°, 180° и 360° не е средноаритметичната 157,5°(222,5°) и др.
Вижте също[редактиране | редактиране на кода]
Източници[редактиране | редактиране на кода]
- ↑ Cantrell, David W., «Pythagorean Means» Архив на оригинала от 2011-05-22 в Wayback Machine. from MathWorld
- ↑ Medhi, Jyotiprasad. Statistical Methods: An Introductory Text. New Age International, 1992. ISBN 9788122404197. с. 53–58.