পয়সনের অনুপাত

পয়সনের অনুপাত বা পোয়াসোঁর অনুপাত (ইংরাজী: Poisson’s ratio) হল যেকোনো পদাৰ্থের পাৰ্শ্বীয় বিকৃতি ও দৈৰ্ঘ্য বিকৃতির মাঝের অনুপাত। একে গ্ৰীক অক্ষর $\nu$ (নিউ) দ্বারা সূচিত করা হয়। ১৮২৭ সালে সাইমন ডেনিস পয়সন নামক একজন ফরাসি পদাৰ্থবিজ্ঞানী তথা গণিতজ্ঞ একটি গবেষণাপত্রে পয়সনের অনুপাতের বিষয়ে বিশদ তথ্য দেন। সেহেতু উক্ত অনুপাতটি তার নামেই নামকরণ করা হয়েছে। সাধারণত পয়সনের অনুপাতের মান -১ এবং ০.৫-র ভিতর হয়। উল্লেখযোগ্য যে, পয়সনের অনুপাতের মান পদাৰ্থভেদে আলাদা আলাদা হয়। উদাহরণস্বরূপ, রবারের পয়সনের অনুপাতের মান ০.৪৯৯, কৰ্কের পয়সনের অনুপাতের মান প্ৰায় শূন্য, কপারের পয়সনের অনুপাতের মান ০.৩৩ ইত্যাদি। যেহেতু এটি পাৰ্শ্বীয় বিকৃতি এবং দৈৰ্ঘ্য বিকৃতির অনুপাত, তাই এটি একটি এককবিহীন বিশুদ্ধ সংখ্যা।

পয়সনের অনুপাতের বৈজ্ঞানিক চিত্র

ব্যাখ্যা

ধরা হল, যদি কোনো একটা গোটা রবারের চোঙের ওপর বল প্ৰয়োগ করা হয়, তবে গোটা চোঙের দৈৰ্ঘ্য বৃদ্ধি হওয়ার সঙ্গে এর ব্যাস বা প্ৰস্থচ্ছেদ হ্ৰাস হবে। যদি চোঙের প্ৰারম্ভিক দৈৰ্ঘ্য অৰ্থাৎ বল প্ৰয়োগ করার পূৰ্বে এর দৈৰ্ঘ্য L হয়, বল প্ৰয়োগের পর এর দৈৰ্ঘ্য হবে L + ΔでるたL যেখানে ΔでるたL হল দৈৰ্ঘ্যের বৃদ্ধির মান। এই ΔでるたL এবং L-এর মাঝের অনুপাতকে বলা হয় দৈৰ্ঘ্য বিকৃতি। আবার যদি চোঙের প্ৰারম্ভিক ব্যাস বা প্ৰস্থচ্ছেদ অৰ্থাৎ বল প্ৰয়োগ করার পূৰ্বে এর ব্যাস D হয়, বল প্ৰয়োগের পর এর ব্যাস হবে D-ΔでるたD যেখানে ΔでるたD হল ব্যাস পরিবর্তনের মান অৰ্থাৎ বল প্ৰয়োগের পর হ্ৰাস হওয়া চোঙের ব্যাসের মান। এই ΔでるたD এবং D-র মাঝের অনুপাতকে বলা হয় পাৰ্শ্বীয় বিকৃতি।

যেহেতু গোটা রবারের চোঙটির ওপর বল প্ৰয়োগ করা হয়, তাই চোঙটির দৈৰ্ঘ্য বিকৃতি ঘটার সাথে এর পাৰ্শ্বীয় বিকৃতিও ঘটে। এই পাৰ্শ্বীয় বিকৃতি ও দৈৰ্ঘ্য বিকৃতির অনুপাতকে পয়সনের অনুপাত বলা হয়।

গাণিতিকভাবে, পয়সনের অনুপাতকে নিচে দেয়া ধরনে লেখা যায়

$\nu ={\frac {\Delta D/D}{\Delta L/L}}$

তথ্যসূত্র

রূপান্তর সূত্র
সমজাতীয় সমদৈশিক রৈখিক স্থিতিস্থাপক পদার্থগুলোর স্থিতিস্থাপক বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যা এর মধ্যে যে কোনও দুটি মডিউল দ্বারা স্বতন্ত্রভাবে নির্ধারিত হয়। ত্রিমাত্রিক উপাদান (ছকের প্রথম অংশ) এবং দ্বিমাত্রিক উপাদান (ছকের দ্বিতীয় অংশ) উভয়ের জন্যই দেওয়া এই সূত্রগুলো অনুসারে স্থিতিস্থাপক মডিউলের অন্য যে কোনোটি গণনা করা যেতে পারে।
ত্রিমাত্রিক সূত্র	$K=\,$	$E=\,$	$\lambda =\,$	$G=\,$	$\nu =\,$	$M=\,$	টীকা
$(K,\,E)$			${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$	${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$
$(K,\,\lambda )$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$		${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	$3K-2\lambda \,$
$(K,\,G)$		${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$
$(K,\,\nu )$		$3K(1-2\nu )\,$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$
$(K,\,M)$		${\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}$	${\tfrac {3K-M}{2}}$	${\tfrac {3(M-K)}{4}}$	${\tfrac {3K-M}{3K+M}}$
$(E,\,\lambda )$	${\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}$			${\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}$	${\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}$	${\tfrac {E-\lambda +R}{2}}$	$R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}$
$(E,\,G)$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$
$(E,\,\nu )$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$		${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$
$(E,\,M)$	${\tfrac {3M-E+S}{6}}$		${\tfrac {M-E+S}{4}}$	${\tfrac {3M+E-S}{8}}$	${\tfrac {E-M+S}{4M}}$		$S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}$ এখানে দুটি বৈধ সমাধান রয়েছে। যোগ চিহ্ন বাড়লে $\nu \geq 0$. বিয়োগ চিহ্ন বাড়লে $\nu \leq 0$.
$(\lambda ,\,G)$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$			${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	$\lambda +2G\,$
$(\lambda ,\,\nu )$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	ব্যবহার করা যাবে না যখন $\nu =0\Leftrightarrow \lambda =0$
$(\lambda ,\,M)$	${\tfrac {M+2\lambda }{3}}$	${\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}$		${\tfrac {M-\lambda }{2}}$	${\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}$
$(G,\,\nu )$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	$2G(1+\nu )\,$	${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$			${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$
$(G,\,M)$	$M-{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$	$M-2G\,$		${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$(\nu ,\,M)$	${\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}$	${\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}$	${\tfrac {M\nu }{1-\nu }}$	${\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}$
দ্বিমাত্রিক সূত্র	$K_{\mathrm {2D} }=\,$	$E_{\mathrm {2D} }=\,$	$\lambda _{\mathrm {2D} }=\,$	$G_{\mathrm {2D} }=\,$	$\nu _{\mathrm {2D} }=\,$	$M_{\mathrm {2D} }=\,$	টীকা
$(K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })$			${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$		$K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$	$2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$		$2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	ব্যবহার করা যাবে না যখন $\nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0$
$(G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	$2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })$	$M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}$	$M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,$		${\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}$