מוט נלחץ מתקצר אבל הרוחב שלו גדל
מקדם פואסון או יחס פואסון של חומר הוא גודל פיזיקלי חסר ממד המודד את עמידות החומר לעיוות, שערכו נע בדרך כלל בין 0.25 לבין 0.5. מסומן באות היוונית נוּ.
לפלדות הערך של מקדם פואסון הוא בסביבות 0.3. מקדם פואסון כמו גם מודול האלסטיות של החומר משתנים עם שינוי הטמפרטורה של החומר.
מקדם פואסון מציג את המעוות הרוחבי כתוצאה מהמעוות האורכי. זאת לעומת מודול האלסטיות שהוא ביטוי לקפיציות של החומר. כאשר מבצעים מבחן מתיחה או מבחן לחיצה של דגם החומר, הדגם מתארך או מתקצר בהתאם למתיחה או הלחיצה. בחתך הרוחב של הדגם מתרחש מעוות בכיוון הפוך ובשיעור שבין 25% עד 50% מהמעוות האורכי. היחס בין המעוות האורכי לבין המעוות הרוחבי הוא יחס פואסון או מקדם פואסון.
ν にゅー
=
−
ε いぷしろん
y
ε いぷしろん
x
{\displaystyle \ \nu =-{\frac {\varepsilon _{y}}{\varepsilon _{x}}}}
כאשר:
ν にゅー
{\displaystyle \ \nu }
- הוא יחס פואסון או מקדם פואסון
ε いぷしろん
x
{\displaystyle \varepsilon _{x}}
- הוא העיבור הצירי
ε いぷしろん
y
{\displaystyle \varepsilon _{y}}
- הוא העיבור הרוחבי
במוט המועמס למתיחה או ללחיצה, המעוות הוא ההתארכות היחסית:
ε いぷしろん
=
Δ でるた
L
L
{\displaystyle {\varepsilon }={\frac {\Delta L}{L}}}
L - אורך המוט
Δ でるた
L
{\displaystyle {\Delta L}}
- השינוי באורך
מצב מאמצים מרחבי ומצב מעוותים מרחבי [ עריכת קוד מקור | עריכה ]
מאמץ מתיחה בכיוון x גורם למתיחת המוט בכיוון x, ולהתכווצות המוט בכיוונים הניצבים y,z בשעור המתקבל מהמכפלה של המאמץ בכיוון x במקדם פואסון. כך גם בכוונים y,z. חוק הוק המוכלל למצב מאמצים תלת-ממדי, מתקבל משלוש מתיחות חד-ציריות לכל אחד מהכיוונים ושימוש בעקרון הסופרפוזיציה :
ϵ
x
=
σ しぐま
x
E
−
ν にゅー
σ しぐま
y
E
−
ν にゅー
σ しぐま
z
E
=
1
E
[
σ しぐま
x
−
ν にゅー
(
σ しぐま
y
+
σ しぐま
z
)
]
{\displaystyle \epsilon _{x}={\frac {\sigma _{x}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{y}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{z}}{E}}={\frac {1}{E}}[\sigma _{x}-\nu (\sigma _{y}+\sigma _{z})]}
ϵ
y
=
σ しぐま
y
E
−
ν にゅー
σ しぐま
x
E
−
ν にゅー
σ しぐま
z
E
=
1
E
[
σ しぐま
y
−
ν にゅー
(
σ しぐま
x
+
σ しぐま
z
)
]
{\displaystyle \epsilon _{y}={\frac {\sigma _{y}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{x}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{z}}{E}}={\frac {1}{E}}[\sigma _{y}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{z})]}
ϵ
z
=
σ しぐま
z
E
−
ν にゅー
σ しぐま
x
E
−
ν にゅー
σ しぐま
y
E
=
1
E
[
σ しぐま
z
−
ν にゅー
(
σ しぐま
x
+
σ しぐま
y
)
]
{\displaystyle \epsilon _{z}={\frac {\sigma _{z}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{x}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{y}}{E}}={\frac {1}{E}}[\sigma _{z}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{y})]}
כאשר:
ε いぷしろん
x
,
ε いぷしろん
y
,
ε いぷしろん
z
{\displaystyle \varepsilon \ _{x},\varepsilon \ _{y},\varepsilon \ _{z}}
הם מעוותים בכוונים המסומנים x,y,z
E
{\displaystyle \ E}
הוא מודול האלסטיות של החומר
σ しぐま
x
,
σ しぐま
y
,
σ しぐま
z
{\displaystyle \sigma \ _{x},\sigma \ _{y},\sigma \ _{z}}
הם מאמצים בכוונים המסומנים x,y,z
ν にゅー
{\displaystyle \ \nu }
הוא מקדם פואסון או יחס פואסון של החומר
הקשר בין מודול האלסטיות לבין מודול הגזירה נתון על ידי הביטוי הכולל בתוכו את מקדם פואסון
G
=
E
2
(
1
+
ν にゅー
)
{\displaystyle \ G={\frac {E}{2(1+\nu )}}}
E
{\displaystyle \ E}
- מודול האלסטיות
G
{\displaystyle \ G}
- מודול הגזירה
ν にゅー
{\displaystyle \ \nu }
- מקדם פואסון
שינוי הנפח היחסי כתוצאה ממתיחת החלק הוא ביטוי התלוי בשינוי האורך היחסי ובמקדם פואסון. כאשר המעוותים קטנים, מתקיים:
Δ でるた
V
V
=
(
1
−
2
ν にゅー
)
Δ でるた
L
L
{\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=(1-2\nu ){\frac {\Delta L}{L}}}
כאשר:
V
{\displaystyle \ V}
- הוא נפח החומר
Δ でるた
V
{\displaystyle \ \Delta V}
- הוא השינוי בנפח החלק
L
{\displaystyle \ L}
- הוא האורך הראשוני של החלק לפני המעוות
Δ でるた
L
{\displaystyle \ \Delta L}
- הוא השינוי באורך החלק כתוצאה מהמעוות
Δ でるた
L
=
L
o
l
d
−
L
n
e
w
{\displaystyle \ \Delta L=L_{old}-L_{new}}
שינוי רוחב או קוטר המוט במתיחה
כאשר מוט בעובי או בקוטר d ובאורך L נתון למתיחה כך שהאורך שלו משתנה בשעור Δ でるた L אזי הרוחב או הקוטר של המוט ישתנה בערך השלילי הנתון על ידי הביטוי המקורב להלן, ביטוי הנותן תוצאות טובות כאשר המעוותים ושינויי האורך והרוחב קטנים. המשמעות של הסימן השלילי היא שכאשר המוט מתארך, הרוחב או הקוטר שלו קטנים.
Δ でるた
d
=
−
d
⋅
ν にゅー
Δ でるた
L
L
{\displaystyle \Delta d=-d\cdot \nu {{\Delta L} \over L}}
הביטוי המדויק המתאים למעוותים גדולים הוא:
Δ でるた
d
=
−
d
⋅
(
1
−
(
1
+
Δ でるた
L
L
)
−
ν にゅー
)
{\displaystyle \Delta d=-d\cdot \left(1-{\left(1+{{\Delta L} \over L}\right)}^{-\nu }\right)}
כאשר:
d
{\displaystyle \ d}
- הוא הקוטר או העובי הראשוני של החומר
Δ でるた
d
{\displaystyle \ \Delta d}
- הוא השינוי בקוטר החומר או השינוי בעובי
ν にゅー
{\displaystyle \ \nu }
- הוא יחס פואסון או מקדם פואסון
L
{\displaystyle \ L}
- הוא האורך הראשוני של החלק לפני המתיחה או הלחיצה
Δ でるた
L
{\displaystyle \ \Delta L}
- הוא השינוי באורך
בחומרים שאינם אחידים בכל הכוונים כמו למשל קורת עץ לה תכונות שונות לאורך הסיבים ובניצב לסיבים למקדם פואסון יהיה ערך מספרי שונה בכל כוון. נשמר היחס בין מקדם פואסון לבין מודול האלסטיות:
ν にゅー
y
x
E
y
=
ν にゅー
x
y
E
x
ν にゅー
z
x
E
z
=
ν にゅー
x
z
E
x
ν にゅー
y
z
E
y
=
ν にゅー
z
y
E
z
{\displaystyle {\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}\qquad {\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}={\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}\qquad {\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}\qquad }
כאשר:
E
i
{\displaystyle \ E_{i}}
- הוא מודול האלסטיות בכיוון i
ν にゅー
j
k
{\displaystyle \ \nu _{jk}}
- הוא מקדם פואסון במישור jk
נתבונן בקבוע הראשון של לאמה . עבור הערכים
ν にゅー
=
−
1
,
ν にゅー
=
0.5
{\displaystyle \ \nu =-1,\nu =0.5}
נקבל:
λ らむだ
=
E
ν にゅー
(
1
+
ν にゅー
)
(
1
−
2
ν にゅー
)
⟶
∞
{\displaystyle \lambda ={\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}\longrightarrow \infty }
הערכים שמקדם פואסון
ν にゅー
{\displaystyle \ \nu }
יכול לקבל הם
−
1
<
ν にゅー
<
0.5
{\displaystyle \ -1<\nu <0.5}
.
באופן מעשי
0
<
ν にゅー
<
0.5
{\displaystyle \ 0<\nu <0.5}
. אבל ישנם פולימרים בעלי מקדם פואסון שלילי (מצב בו החומר מתרחב במתיחה). חומרים כאלו נקראים Auxetic materials, ומבנים בעלי התכונה הזאת נקראים Chiral Structures. מקדם פואסון גדול מ-0.5 אינו אפשרי עבור חומרים איזוטרופים .
ערכים של מקדם פואסון לחומרים שונים [ עריכת קוד מקור | עריכה ]
חומר
מקדם פואסון
אלומיניום
0,33
בטון
0,20
יצקת ברזל
0,21-0,26
זכוכית
0,24
חרסית
0,30-0,45
נחושת
0,33
שעם
0,00
מגנזיום
0,35
פלב"ם
0,30-0,31
גומי
0,50
פלדה
0,27-0,30
טיטניום
0,34
חול
0,20-0,45
הקשר בין מודולי האלסטיות בחומרים אחידים בעלי תכונות זהות בכל הכוונים
מודול יאנג (
E
{\displaystyle \ E}
) | מודול הגזירה (
μ みゅー
{\displaystyle \ \mu }
) | מקדם פואסון (
ν にゅー
{\displaystyle \ \nu }
) | הקבוע הראשון של לאמה (
λ らむだ
{\displaystyle \ \lambda }
) | מודול הנפח (
K
{\displaystyle \ K}
)
כל אחד מקבועי האלסטיות יכול להיות מוגדר באמצעות אחד מזוגות הקבועים האחרים.
(
λ らむだ
,
μ みゅー
)
{\displaystyle (\lambda ,\,\mu )}
(
E
,
μ みゅー
)
{\displaystyle (E,\,\mu )}
(
K
,
λ らむだ
)
{\displaystyle (K,\,\lambda )}
(
K
,
μ みゅー
)
{\displaystyle (K,\,\mu )}
(
λ らむだ
,
ν にゅー
)
{\displaystyle (\lambda ,\,\nu )}
(
μ みゅー
,
ν にゅー
)
{\displaystyle (\mu ,\,\nu )}
(
E
,
ν にゅー
)
{\displaystyle (E,\,\nu )}
(
K
,
ν にゅー
)
{\displaystyle (K,\,\nu )}
(
K
,
E
)
{\displaystyle (K,\,E)}
=
K
{\displaystyle =K\,}
מודול הנפח
λ らむだ
+
2
μ みゅー
3
{\displaystyle \lambda +{\frac {2\mu }{3}}}
E
μ みゅー
3
(
3
μ みゅー
−
E
)
{\displaystyle {\frac {E\mu }{3(3\mu -E)}}}
/
/
λ らむだ
1
+
ν にゅー
3
ν にゅー
{\displaystyle \lambda {\frac {1+\nu }{3\nu }}}
2
μ みゅー
(
1
+
ν にゅー
)
3
(
1
−
2
ν にゅー
)
{\displaystyle {\frac {2\mu (1+\nu )}{3(1-2\nu )}}}
E
3
(
1
−
2
ν にゅー
)
{\displaystyle {\frac {E}{3(1-2\nu )}}}
/
/
=
E
{\displaystyle =E\,}
מודול יאנג
μ みゅー
3
λ らむだ
+
2
μ みゅー
λ らむだ
+
μ みゅー
{\displaystyle \mu {\frac {3\lambda +2\mu }{\lambda +\mu }}}
/
9
K
K
−
λ らむだ
3
K
−
λ らむだ
{\displaystyle 9K{\frac {K-\lambda }{3K-\lambda }}}
9
K
μ みゅー
3
K
+
μ みゅー
{\displaystyle {\frac {9K\mu }{3K+\mu }}}
λ らむだ
(
1
+
ν にゅー
)
(
1
−
2
ν にゅー
)
ν にゅー
{\displaystyle {\frac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}}
2
μ みゅー
(
1
+
ν にゅー
)
{\displaystyle 2\mu (1+\nu )\,}
/
3
K
(
1
−
2
ν にゅー
)
{\displaystyle 3K(1-2\nu )\,}
/
=
λ らむだ
{\displaystyle =\lambda \,}
הקבוע של לאמה
/
μ みゅー
E
−
2
μ みゅー
3
μ みゅー
−
E
{\displaystyle \mu {\frac {E-2\mu }{3\mu -E}}}
/
K
−
2
μ みゅー
3
{\displaystyle K-{\frac {2\mu }{3}}}
/
2
μ みゅー
ν にゅー
1
−
2
ν にゅー
{\displaystyle {\frac {2\mu \nu }{1-2\nu }}}
E
ν にゅー
(
1
+
ν にゅー
)
(
1
−
2
ν にゅー
)
{\displaystyle {\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}}
3
K
ν にゅー
1
+
ν にゅー
{\displaystyle {\frac {3K\nu }{1+\nu }}}
3
K
(
3
K
−
E
)
9
K
−
E
{\displaystyle {\frac {3K(3K-E)}{9K-E}}}
=
μ みゅー
{\displaystyle =\mu \,}
מודול הגזירה
/
/
3
K
−
λ らむだ
2
{\displaystyle 3{\frac {K-\lambda }{2}}}
/
λ らむだ
1
−
2
ν にゅー
2
ν にゅー
{\displaystyle \lambda {\frac {1-2\nu }{2\nu }}}
/
E
2
+
2
ν にゅー
{\displaystyle {\frac {E}{2+2\nu }}}
3
K
1
−
2
ν にゅー
2
+
2
ν にゅー
{\displaystyle 3K{\frac {1-2\nu }{2+2\nu }}}
3
K
E
9
K
−
E
{\displaystyle {\frac {3KE}{9K-E}}}
=
ν にゅー
{\displaystyle =\nu \,}
מקדם פואסון
λ らむだ
2
(
λ らむだ
+
μ みゅー
)
{\displaystyle {\frac {\lambda }{2(\lambda +\mu )}}}
E
2
μ みゅー
−
1
{\displaystyle {\frac {E}{2\mu }}-1}
λ らむだ
3
K
−
λ らむだ
{\displaystyle {\frac {\lambda }{3K-\lambda }}}
3
K
−
2
μ みゅー
2
(
3
K
+
μ みゅー
)
{\displaystyle {\frac {3K-2\mu }{2(3K+\mu )}}}
/
/
/
/
3
K
−
E
6
K
{\displaystyle {\frac {3K-E}{6K}}}
G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin. The Rock Physics Handbook . Cambridge University Press, 2003, ISBN 0882754203
Timoshenko S.P, Strength of Materials , 3rd edition, Krieger Publishing Company, 1976.
S.P. Timoshenkoo & J.N. Goodier Theory of Elasticity , 3rd edition, International Student Edition, McGraw-Hill 1970. 1991.
Sybil P. Parker Editor in Chieh. McGraw-Hill Encyclopedia of Engineering , McGraw Hill Book Company 1983, ISBN 0-0704-5486-8
Shames I.H., Cozzarelli F.A., Elastic and inelastic stress analysis , Prentice-Hall, 1991, ISBN 1560326867