Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Trougao ili trokut je poligon koji ima tri stranice i tri ugla. Jedan je od osnovnih oblika u geometriji. Trougao sa uglovima u tačkama A, B i C se označava kao . Zbir svih unutrašnjih uglova u trouglu iznosi 180°.
Pravougli trougao ima jedan unutrašni ugao od 90 stepeni (pravi ugao). Stranica koja se nalazi nasuprot pravog ugla se naziva hipotenuza, i to je najduža stranica u pravouglom trouglu. Druge dvije stranice se zovu katete.
Jednakostranični trougao je trougao u kojem sve tri stranice imaju istu dužinu. Jednakostranični trougao također ima tri potpuno ista ugla od po 60 stepeni.
Jednakokraki trougao je trougao u kojem su dvije stranice iste dužine, dok je treća stranica kraća ili duža od druge dvije. Iste stranice jednakokrakog trougla nazivaju se kraci a preostala stranica je osnovica. Jednakokraki trougao ima također dva identična unutrašnja ugla.
Površina trougla P se računa tako što se osnovica (baza) b pomnoži sa visinom (visina trougla je okomita udaljenost između osnovice i suprotnog vrha) h i rezultat se podijeli sa dva.
P = (b·h)/2,
Površinu P možemo računati i po Heronovoj formuli (Heronov obrazac): gdje je poluobim trougla;
Neka su date koordinate vrhova trougla , , površina trougla je
Zbir uglova u trouglu je 180 stepeni (ili πradiana).
.
Treba istaći da ova jednakost važi samo u Euklidskoj geometriji, a ne u drugim tipovima geometrije, kao što je sferna geometrija i hiperbolična geometrija, gdje je ova suma veća ili manja od 180 °;
Zbir spoljašnjih uglova iznosi .
.
Zbir unutrašnjeg i odgovarajućeg spoljašnjeg ugla trougla je ispružen ugao
Spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru dva njemu nesusjedna unutrašnja ugla.
Zbir dužina dvije stranice trougla veći je od dužine treće stranice, a razlika manja.
Pitagorina teorema važi za bilo koji pravougli trougao sa hipotenuzom c i katetama a i b i glasi:
U svim trouglima važi sinusna teorema koja kaže da su stranice jednog trougla proporcionalne sinusima suprotnih uglova:
Dva trougla su slična ako su dvije stranice trougla proporcionalne dvjema stranicama drugog trougla i uglovi koje zaklapaju parovi odgovarajućih proporcionalnih stranica su jednaki.
; :
Dva trougla su slična ako su sve odgovarajuće stranice dva trougla proporcionalne tada su ta dva trougla slična
; <
Ako se stranice dva slična trougla odnose kao : tada se i njihovi obimi nalaze u istom odnosu :, a površine se odnose kao :.
Ako je dužina hipotenuze onda primjena sličnosti na pravougli trougao imamo
Posmatrajmo ravan kao kompleksnu kompleksnu ravan u kojoj je svakoj tački dodjeljen neki kompleksan broj. Tako tačke umjesto velikim slovima,označavamo malim: a, b, c, d, . . . , kao kompleksne brojeve.
Trouglovi i su slični i jednako orijentisani ako i samo ako je
Dokaz
onda i samo onda ako je
i
Ove dvije jednakosti ekvivalentne su sa
Ovaj uslov je ekvivalentan sa uslovom
Lako je provjeriti da za trouglove , , i ovaj uslov nije zadovoljen mada su oni oćigledno slični. Ovi trouglovi, međutim, nisu istih orijentacija. Za trouglove suprotnih orijentacija važi slijedeći stav.
Ako su tjemena trougla određena su kompleksnim brojevima respektivno, tada su slijedeća tvrđenja ekvivalentna:
je jednakostraničan trougao
gdje je
(z_1+ \epsilon z_2+ \epsilon^2 z_3)(z_1+ \epsilon^2 z_2+ \epsilon z_3)=0 za
Ako su tjemena pozitivno orjentisanog trougla sljedeća tvrđenja su ekvivalentna