Sabiranje
Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). |
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/Addition01.svg/120px-Addition01.svg.png)
Sabiranje je osnovna aritmetička operacija, kojom saznajemo informaciju kad dvije ili više veličina (brojeva) skupimo zajedno, koliko ih ukupno ima. Sabirati možemo jabuke, kruške, lubenice, ovce u snu (sve su to cijeli brojevi), no i tekućine utočene i istočene iz spremnika, težine razne hrane i neprehrambenih artikala (decimalni brojevi).
Matematički sabiranje je predstavljamo znakom plus +, npr. :. Brojeve koje sabiremo nazivamo pribrojnici.
Sabiranje je komutativno, što znači da je : , tj. možemo slobodno zamijeniti mjesta pribrojnika, a rezultat sabiranja se neće promijeniti.
Sabiranje je i asocijativno, jer vrijedi :
Kod sabiranja članova nekog niza koristi se veliko grčko slovo sigma:
što znači da sabiramo prvih n članova niza, od x1 do xn. Zbir članova Broj je apstraktni pojam koji koristimo za opis količina, bez brojeva ne bi bilo matematike.
Notacija i terminologija
[uredi | uredi izvor]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f7/PlusCM128.svg/100px-PlusCM128.svg.png)
Sabiranje se zapisuje korištenjem znakom plus "+" koji se stavlja između dva člana koji se sabiru, to jest, u infiksnoj notaciji. Rezultat se izražava sa znakom jednakosti. Na primjer,
- (verbalno, "jedan plus jedan jednako je dva")
- (verbalno, "dva plus dva jednako je četiri")
- (pogledajte "asocijativnost" ispod)
- (pogledajte "množenje" ispod)
Osobine
[uredi | uredi izvor]Komutativnost
[uredi | uredi izvor]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/AdditionComm01.svg/113px-AdditionComm01.svg.png)
Sabiranje je komutativno, što znači da članovi, koji se sabiru, mogu, međusobno, zamijeniti mjesta, a da rezultat ostane nepromijenjen. Simbolički, ako su a i b dva broja, tada vrijedi
Asocijativnost
[uredi | uredi izvor]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d1/AdditionAsc.svg/100px-AdditionAsc.svg.png)
Još jedna osobina sabiranja je asocijativnost, koju dobijamo kada pokušamo definisati uzastopno sabiranje više članova sume. Da li bi izraz
trebao biti definisan kao
- ili :
Činjenica da je sabiranje asocijativno govori nam da je odabir definicije nebitan. Za bilo koja tri broja a, b i c, važi da je
Na primjer
- .
Nisu svi operatori asocijativni, tako da u izrazima sa ostalim operatorima, kao što je dijeljenje, važno je naznačiti redoslijed operacija.
Neutralni elemenat
[uredi | uredi izvor]Postoji jedan realan broj koji ako se sabere sa bilo kojim realnim brojem daje taj isti realan broj, tj. njegovo dodavanje na neki broj ne utiče na taj broj; taj realni broj se naziva neutral, i kod sabiranja realnih brojeva se obično predstavlja simbolom i zove „nula“:
Inverzni elemenat
[uredi | uredi izvor]Za svaki uzeti realni broj, postoji njemu suprotan, označen sa znakom minus, koji kad se sabere sa tim brojem daje nulu; takav „suprotni“ broj nekog broja naziva se njegovim inverznim elementom:
Uopćeno govoreći, sabiranje ne mora zadovoljavati sve navedene osobine za sve skupove nad kojim je definirano.
Naprimjer
- sabiranje nad skupom cijelih brojeva ne zadovoljava uslove 3. i 4., sabiranje nad skupom ordinala ne zadovoljava uslove 1. i 4., itd.
Tablica sabiranja
[uredi | uredi izvor]+ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
Napomene
[uredi | uredi izvor]- ^ From Enderton (p.138): "...select two sets K and L with card K = 2 and card L = 3. Sets of fingers are handy; sets of apples are preferred by textbooks."
Reference
[uredi | uredi izvor]- Historija
- Bunt, Jones, and Bedient (1976). The historical roots of elementary mathematics. Prentice-Hall. ISBN 0-13-389015-5.CS1 održavanje: više imena: authors list (link)
- Ferreirós, José (1999). Labyrinth of thought: A history of set theory and its role in modern mathematics. Birkhäuser. ISBN 0-8176-5749-5.
- Kaplan, Robert (2000). The nothing that is: A natural history of zero. Oxford UP. ISBN 0-19-512842-7.
- Karpinski, Louis (1925). The history of arithmetic. Rand McNally. LCC QA21.K3. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
- Schwartzman, Steven (1994). The words of mathematics: An etymological dictionary of mathematical terms used in English. MAA. ISBN 0-88385-511-9.
- Williams, Michael (1985). A history of computing technology. Prentice-Hall. ISBN 0-13-389917-9.
- Elementarna matematika
- Davison, Landau, McCracken, and Thompson (1999). Mathematics: Explorations & Applications (TE izd.). Prentice Hall. ISBN 0-13-435817-1.CS1 održavanje: više imena: authors list (link)
- F. Sparks and C. Rees (1979). A survey of basic mathematics. McGraw-Hill. ISBN 0-07-059902-5.
- Obrazovanje
- Begle, Edward (1975). The mathematics of the elementary school. McGraw-Hill. ISBN 0-07-004325-6.
- California State Board of Education mathematics content standards Arhivirano 28. 12. 2005. na Wayback Machine Adopted December 1997, accessed December 2005.
- D. Devine, J. Olson, and M. Olson (1991). Elementary mathematics for teachers (2e izd.). Wiley. ISBN 0-471-85947-8.CS1 održavanje: više imena: authors list (link)
- National Research Council (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. National Academy Press. ISBN 0-309-06995-5. Arhivirano s originala, 8. 6. 2007. Pristupljeno 4. 3. 2009. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
- Van de Walle, John (2004). Elementary and middle school mathematics: Teaching developmentally (5e izd.). Pearson. ISBN 0-205-38689-X.
- Spoznajna nauka
- Baroody and Tiilikainen (2003). "Two perspectives on addition development". The development of arithmetic concepts and skills. str. 75. ISBN 0-8058-3155-X. Upotreblja se zastarjeli parametar
|booktitle=
(pomoć) - Fosnot and Dolk (2001). Young mathematicians at work: Constructing number sense, addition, and subtraction. Heinemann. ISBN 0-325-00353-X.
- Weaver, J. Fred (1982). "Interpretations of number operations and symbolic representations of addition and subtraction". Addition and subtraction: A cognitive perspective. str. 60. ISBN 0-89859-171-6. Upotreblja se zastarjeli parametar
|booktitle=
(pomoć) - Wynn, Karen (1998). "Numerical competence in infants". The development of mathematical skills. str. 3. ISBN 0-86377-816-X. Upotreblja se zastarjeli parametar
|booktitle=
(pomoć)
- Matematička ekspozicija
- Bogomolny, Alexander (1996). "Addition". Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (cut-the-knot.org). Pristupljeno 3. 2. 2006. Nepoznati parametar
|dateformat=
zanemaren (pomoć) - Dunham, William (1994). The mathematical universe. Wiley. ISBN 0-471-53656-3.
- Johnson, Paul (1975). From sticks and stones: Personal adventures in mathematics. Science Research Associates. ISBN 0-574-19115-1.
- Linderholm, Carl (1971). Mathematics made difficult. Wolfe. ISBN 0-7234-0415-1.
- Smith, Frank (2002). The glass wall: Why mathematics can seem difficult. Teachers College Press. ISBN 0-8077-4242-2.
- Smith, Karl (1980). The nature of modern mathematics (3e izd.). Wadsworth. ISBN 0-8185-0352-1.
- Napredna matematika
- Bergman, George (2005). An invitation to general algebra and universal constructions (2.3e izd.). General Printing. ISBN 0-9655211-4-1.
- Burrill, Claude (1967). Foundations of real numbers. McGraw-Hill. LCC QA248.B95.
- D. Dummit and R. Foote (1999). Abstract algebra (2e izd.). Wiley. ISBN 0-471-36857-1.
- Enderton, Herbert (1977). Elements of set theory. Academic Press. ISBN 0-12-238440-7.
- Lee, John (2003). Introduction to smooth manifolds. Springer. ISBN 0-387-95448-1.
- Martin, John (2003). Introduction to languages and the theory of computation (3e izd.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-232200-4.
- Rudin, Walter (1976). Principles of mathematical analysis (3e izd.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.
- Stewart, James (1999). Calculus: Early transcendentals (4e izd.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-36298-2.
- Matematičko istraživanje
- Akian, Bapat, and Gaubert (2005). "Min-plus methods in eigenvalue perturbation theory and generalised Lidskii-Vishik-Ljusternik theorem". INRIA reports.CS1 održavanje: više imena: authors list (link)
- J. Baez and J. Dolan (2001). "From Finite Sets to Feynman Diagrams". Mathematics Unlimited— 2001 and Beyond. str. 29. ISBN 3-540-66913-2. Upotreblja se zastarjeli parametar
|booktitle=
(pomoć) - Litvinov, Maslov, and Sobolevskii (1999). Idempotent mathematics and interval analysis. Reliable Computing Arhivirano 3. 2. 2013. na: Archive.today, Kluwer.
- Loday, Jean-Louis (2002). "Arithmetree". J. Of Algebra. 258: 275. doi:10.1016/S0021-8693(02)00510-0. Arhivirano s originala, 3. 5. 2015. Pristupljeno 4. 3. 2009.
- Mikhalkin, Grigory (2006). "Tropical Geometry and its applications". To appear at the Madrid ICM.
- Viro, Oleg (2000). Dequantization of real algebraic geometry on logarithmic paper. (HTML) Plenary talk at 3rd ECM, Barcelona.
- Računarstvo
- M. Flynn and S. Oberman (2001). Advanced computer arithmetic design. Wiley. ISBN 0-471-41209-0.
- P. Horowitz and W. Hill (2001). The art of electronics (2e izd.). Cambridge UP. ISBN 0-521-37095-7.
- Jackson, Albert (1960). Analog computation. McGraw-Hill. LCC QA76.4 J3.
- T. Truitt and A. Rogers (1960). Basics of analog computers. John F. Rider. LCC QA76.4 T7.