加法かほう

3 個このりんごに 2 個このりんごを加くわえるとりんごは合あわせて 5 個こになる。3+2=5

加法かほう（かほう、英えい: addition, summation）とは、数かずを合あわせることを意味いみする二に項こう演算えんざんあるいは多項たこう演算えんざんで、四則しそく演算えんざんのひとつ。足たし算ざん（たしざん）、加算かさん（かさん）、あるいは寄よせ算さん（よせざん）とも呼よばれる。また、加法かほうの演算えんざん結果けっかを和わ（わ、sum）という。記号きごうは「+」。

自然しぜん数すうの加法かほうは、しばしば物ものの個数こすうを加くわえ合あわせることに喩たとえられる。また数すう概念がいねんの拡張かくちょうにしたがい、別べつの意味いみを持もつ加法かほうも考かんがえられる。たとえば実数じっすうの加法かほうは、もはや自然しぜん数すうの加法かほうのように物ものの個数こすうを喩たとえに出だすことは出来できないが、曲線きょくせんの長ながさなど別べつの対象たいしょう物ぶつを見出みだせられる。

減法げんぽうとは互たがいに逆ぎゃくの関係かんけいにあり、また例たとえば、負まけの数かずの加法かほうとして減法げんぽうが捉とらえられるなど、加法かほうと減法げんぽうの関連かんれんは深ふかい。これは代数だいすう学がくにおいて加法かほう群ぐんの概念がいねんとして抽象ちゅうしょう化かされる。

無限むげん個この数かずを加くわえること（総和そうわ法ほう）については総和そうわ、級数きゅうすう、極限きょくげん、εいぷしろん–δでるた 論法ろんぽうなど参照さんしょう。

記法きほう

それぞれの項こうが分わかっていて全すべてを書かき表あらわせられるとき、それらの和わは記号きごう "+" を使つかい表あらわす。例たとえば中置ちゅうち記法きほうの場合ばあい、1, 2 の和わは

2 + 1

と記しるされる。これは 3 に等ひとしい。このことは等式とうしきとして

2 + 1 = 3

と表あらわされる。

3 項こう以上いじょうの足たし算ざんについても、例たとえば次つぎのように書かける。

7 + 3 + 1

これは、7 + 3 の結果けっかと 1 の間あいだの加法かほうを表あらわす。

(7 + 3) + 1

また、全すべての項こうを書かき表あらわせられない時とき、暗あんに何なんらかの規則きそく性せいがある場合ばあいには間あいだを記号きごう "…" で省略しょうりゃくして表あらわすことがある。例たとえば1~10までの自然しぜん数すうの和わは、

1 + 2 + … + 10 = 55

のように書かき表あらわす。ただしこのような場合ばあいは、記号きごう ∑ を用もちいて書かき表あらわすほうが規則きそく性せいを陽ひに表あらわすことができて便利べんりであり紛まぎれがない（総和そうわの項こう参照さんしょう）。

$\sum _{n=1}^{10}n=1+2+\dots +10=55.$

注意ちゅういすべき点てんとして、2 つの数かずに対たいする加法かほうを L + R と表あらわしたときに左ひだりの項こう L と右みぎの項こう R が「元もとの数かず」と「加くわえる数かず」のいずれであるかは加法かほうの定義ていぎに含ふくまれない。

性質せいしつ

数かずの加法かほうのみに注目ちゅうもくしてその性質せいしつを挙あげると以下いかのようなものがある。

• 対称たいしょう性せい（交換こうかん法則ほうそく）: n + m = m + n

  有限ゆうげん個この数かずを足たすときは、順番じゅんばんを入いれ替かえて計算けいさんしても和わは変かわらない（ただし、無限むげん個この数かずを足たす場合ばあいは答こたえが変かわってしまう場合ばあいがあるため、順番じゅんばんを変かえてはならない）。

  例れい

  1 + 3 + 9 = 1 + 9 + 3 = 13

• 推移すいい性せい（結合けつごう法則ほうそく）: (n + m) + k = n + (m + k) = n + m + k

  有限ゆうげん個この数かずを足たすためには、どこから加くわえていっても結果けっかは同おなじである。

これらは抽象ちゅうしょう代数だいすう学がくにおいては "加法かほう" と呼よぶべきものの満みたすべき公理こうり的てきな性質せいしつと見みなされる。他ほかにも

• 単位たんい元もとの存在そんざい : ある数かずに0を加くわえても数かずは変かわらない。

n + 0 = n

• 逆ぎゃく元もとの存在そんざい : ある数かずと、絶対ぜったい値ちが同おなじで符号ふごうの異ことなる数かずとの和わは0である。

(−n) + n = 0

などが加法かほうに関かんする性質せいしつとして挙あげられる。

素朴そぼくな定義ていぎ

2つの量りょうがあり、その2つの量りょうを「合あわせた量りょう」を求もとめる時ときの演算えんざんを加法かほうと定義ていぎすれば多おおくの場合ばあいに適用てきようできる。単たんに「数かずが大おおきくなる演算えんざんが加法かほう」とすれば、正せいの数かずでしかその定義ていぎは成なりたないが、「合あわせた量りょう」で定義ていぎすると、負まけの数かずでも分数ぶんすうや小数しょうすうでも定義ていぎできる。

また加くわえる順番じゅんばんは結果けっかには関係かんけいなく、加くわえる順番じゅんばんを自由じゆうに変かえたとしても、得えられる結果けっかは常つねに等ひとしくなる。このことは 2 つのコップに水みずが入はいっていたとして、どちらの水みずをどちら側がわへ注そそいでも水みずの量りょうは変かわらないことなどから類推るいすいできる。

加法かほうの逆ぎゃくの操作そうさとして減法げんぽうを考かんがえたときに、減法げんぽうの結果けっかとして正せいの数かずから負まけの数かずが得えられることがある。減法げんぽうによって新あたらしい数かずを作つくったとき、

a − b = c

ここで得えられた数かず c は減法げんぽうの性質せいしつから、次つぎのような関係かんけいが成なり立たつ。

c + b = a

つまり、初はじめに a − b という引ひき算ざんによって得えられた新あたらしい数かず c は、b に加くわえた結果けっかが a に等ひとしくなる性質せいしつを持もつ。 具体ぐたい的てきに 2 から 5 を引ひいた数かずを c としたとき、5 に c を足たした数かずは 2 になる。2 は 5 より小ちいさいので、これは加法かほうの結果けっかがより小ちいさな数かずを与あたえることを示しめしている。

上うえの式しきで a を 0 としたとき、c は b との和わが 0 となる数かずである。この c を (−b) と書かくことにする。(−b) の足たし算ざんは b の引ひき算ざんと同おなじ結果けっかを常つねに与あたえる。したがって、正せいの数かずの減法げんぽうは負まけの数かずの加法かほうで置おき換かえられる。

a − b = a + (−b)

さらに、スカラー量りょうだけでなく、ベクトル、行列ぎょうれつにも加法かほうが定義ていぎされるようになるが、いずれも交換こうかん法則ほうそく、結合けつごう法則ほうそくを満みたすものである。

ペアノによる定義ていぎ

「ペアノの公理こうり」も参照さんしょう

ジュゼッペ・ペアノは自然しぜん数すう同士どうしの加法かほうを以下いかのように形式けいしき的てきに定義ていぎした。

$a,b\in \mathbb {N} ;a+(b+1)=(a+b)+1$

ただし、 a + 1 は a の後者こうしゃとして定義ていぎされている。後者こうしゃ関数かんすう S を用もちいて表現ひょうげんすると以下いかのように書かける。

$a\in \mathbb {N} ;a+1=S(a)$

$a,b\in \mathbb {N} ;a+S(b)=S(a+b)$

正負せいふの数かずの計算けいさん方法ほうほう

2 数すう a, b の符号ふごうと絶対ぜったい値ちに注目ちゅうもくすると、和わ (a + b) は次つぎのように計算けいさんできる。

2 数すう a, b の和わ (a + b) の計算けいさん結果けっか

符号ふごう	|a| > |b|	|a| < |b|	|a| = |b|
a ≥ 0, b ≥ 0	|a| + |b|
a < 0, b < 0	−(|a| + |b|)
a ≥ 0, b < 0	|a| − |b|	−(|b| − |a|)	0
a < 0, b ≥ 0	−(|a| − |b|)	|b| − |a|	0

2 数すうの符号ふごうが同おなじ場合ばあい

• a, b が共ともに正せいの数かずのとき
  • a の絶対ぜったい値ち |a| と b の絶対ぜったい値ち |b| を足たし、正せいの符号ふごうを付つける。
• a, b が共ともに負まけの数かずのとき
  • a の絶対ぜったい値ち |a| と b の絶対ぜったい値ち |b| を足たし、負まけの符号ふごうを付つける。

2 数すうの符号ふごうが異ことなる場合ばあい

• a の絶対ぜったい値ち |a| が b の絶対ぜったい値ち |b| より大おおきい場合ばあい
  • a が正せいの数かずのとき
  • b が負まけの数かずのとき
    • a の絶対ぜったい値ち |a| から b の絶対ぜったい値ち |b| を引ひき、正せいの符号ふごうを付つける。
  • a が負まけの数かずのとき
  • b が正せいの数かずのとき
    • a の絶対ぜったい値ち |a| から b の絶対ぜったい値ち |b| を引ひき、負まけの符号ふごうを付つける。
• a の絶対ぜったい値ち |a| が b の絶対ぜったい値ち |b| より小ちいさい場合ばあい
  • b が負まけの数かずのとき
  • a が正せいの数かずのとき
    • b の絶対ぜったい値ち |b| から a の絶対ぜったい値ち |a| を引ひき、負まけの符号ふごうを付つける。
  • b が正せいの数かずのとき
  • a が負まけの数かずのとき
    • b の絶対ぜったい値ち |b| から a の絶対ぜったい値ち |a| を引ひき、正せいの符号ふごうを付つける。
• a, b の絶対ぜったい値ちが等ひとしい場合ばあい
  • 和わは 0 である。

関連かんれん項目こうもく

• 総和そうわ
• 正せいの数かずと負まけの数かず
• 空そら和わ
• 単位たんい元もと
• 逆ぎゃく元もと
• 交換こうかん法則ほうそく
• 結合けつごう法則ほうそく
• アーベル群ぐん
• マグマ