冪べき乗じょう

数学すうがくにおける冪べき乗じょう（べきじょう、べき乗じょう、英えい: 仏ふつ: 独どく: exponentiation）または冪べき演算えんざん（べきえんざん）は、底そこ (てい、英えい: base) および冪べき指数しすう (べきしすう、英えい: exponent) と呼よばれる二ふたつの数かずに対たいして定さだまる数学すうがく的てき算法さんぽうである。その結果けっかは冪べき (べき、英えい: power) と呼よばれる。表現ひょうげんの揺ゆれにより同おなじ概念がいねんは日本語にほんごで「累乗るいじょう」とも表現ひょうげんされており、初等しょとう教育きょういくではこちらの表現ひょうげんのほうが多おおくなっている（本文ほんぶん参照さんしょう）。

概要がいよう

底そこ b および冪べき指数しすう e をもつ冪べきは、底そこの右肩みぎかたに冪べき指数しすうを乗のせて b^e のように書かかれる。

${\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n{\text{$個こ}}}}

であり、bⁿ は b の n-乗じょうや、n-次つぎの b-冪べきなどと呼よばれる。

特定とくていの冪べき指数しすうに対たいして、固有こゆうの名前なまえが付つけられている。例たとえば、冪べき指数しすうが 2 である冪べき（2 乗じょう） b² は「b の平方へいほう (square of b)」または「b-自乗じじょう (b-squared)」と呼よばれ、冪べき指数しすうが 3 である冪べき（3 乗じょう） b³ は「b の立方りっぽう (cube of b, b-cubed)」と呼よばれる。それ以降いこうは 4 乗じょう、5 乗じょう、… というように「n 乗の」というい方いかたが一般いっぱん的てきである。

冪べき指数しすうが −1 である冪べき b⁻¹ は 1/b であり、「b の逆数ぎゃくすう」（または乗法じょうほう逆ぎゃく元もと）と呼よばれる。一般いっぱんに冪べき指数しすうが負まけの整数せいすう n である冪べき bⁿ は、bⁿ × b^m = b^{n + m} という性質せいしつを保たもつように、底そこ b が 0 でないとき bⁿ := 1/b⁻ⁿ と定義ていぎされる。

冪べき乗じょうは、任意にんいの実数じっすうまたは複素数ふくそすうを冪べき指数しすうとするように定義ていぎを拡張かくちょうすることができる。底そこおよび冪べき指数しすうが実数じっすうである冪べきにおいて、底そこを固定こていして冪べき指数しすうを変数へんすうと見みなせば指数しすう函数かんすうであり、冪べき指数しすうを固定こていして底そこを変数へんすうと見みなせば冪べき函数かんすうである。整数せいすう乗じょうの冪べきに限かぎれば、行列ぎょうれつなどを含ふくめた多種たしゅ多様たような代数だいすう的てき対象たいしょうに対たいしてもそれを底そことする冪べきを定義ていぎすることができる。冪べき指数しすうまで同種どうしゅの対象たいしょうに拡張かくちょうすると、その上うえで定義ていぎされた自然しぜん指数しすう函数かんすうと自然しぜん対数たいすう函数かんすうをもつ完備かんびノルム環たまき（例たとえば実数じっすう全体ぜんたい R や複素数ふくそすう全体ぜんたい C など）を想定そうていするのが自然しぜんである。

歴史れきし

歴史れきし上じょうに冪べきが現あらわれたのは非常ひじょうに古ふるく、B.C.16世紀せいきごろに作成さくせいされた粘土ねんど板ばんには平方へいほう数すう表ひょう、平方根へいほうこん表ひょう、立方根りっぽうこん表ひょうや三さん平方へいほうの定理ていりについて書かかれており、エジプト、インド、ギリシアなどでも冪べきの概念がいねんは明示めいじされている。一方いっぽうで、指数しすう法則ほうそくに言明げんめいする文献ぶんけんは見当みあたらず「指数しすう概念がいねん」には未いまだ到達とうたつしていないと考かんがえるべきであるが、冪べきを意味いみする英単語えいたんご "power" はギリシアの数学すうがく者しゃエウクレイデス（ユークリッド）が直線ちょくせんの平方へいほうを表あらわすのに用もちいた語かたりに起源きげんがある。また、「原論げんろん」において指数しすう法則ほうそく a^m × aⁿ = a^m+n に相当そうとうする命題めいだいに言及げんきゅうしているが、この時代じだいには算式さんしきは発明はつめいされておらず、すべて言葉ことばで表現ひょうげんしていた。

記法きほう

アルキメデスは 10 の冪べきを扱あつかうために必要ひつようとなる指数しすう法則ほうそく 10^a • 10^b = 10^{a + b} を発見はっけんし、証明しょうめいした（『砂粒さりゅうを数かぞえるもの』を参照さんしょう）。9世紀せいきに、ペルシアの数学すうがく者しゃアル゠フワーリズミは平方へいほうを mal, 立方りっぽうを kab で表あらわした。これを後のちに中世ちゅうせいイスラムの数学すうがく者しゃがそれぞれ m, k で表あらわす記法きほうとして用もちいていることが、15世紀せいきごろのアル゠カラサディの仕事しごとに見みることができる。

16世紀せいき後半こうはん、ヨスト・ビュルギは冪べき指数しすうをローマ数字すうじを用もちいて表あらわした。

17世紀せいき初頭しょとう、今日きょう用もちいられる現代げんだい的てきな冪べき記法きほうの最初さいしょの形かたちは、ルネ・デカルトが著書ちょしょ La Géométrie の一いち巻かんにおいて導入どうにゅうした。

アイザック・ニュートンなど一部いちぶの数学すうがく者しゃは冪べき指数しすうは 2 乗じょうよりも大おおきな冪べきに対たいしてだけ用もちい、平方へいほうは反復はんぷく積せきとして書かき表あらわした。例たとえば、多項式たこうしきを ax + bxx + cx³ + d のように書かいた。

用語ようご

15世紀せいきにニコラ・ショケは冪べき記法きほうの一種いっしゅを用もちい、それは後ごの16世紀せいきにハインリヒ・シュライベルおよびミハエル・スティーフェルが用もちいている。

16世紀せいきにロバート・レコードは、square（二に次じ）, cube（三さん次じ）, zenzizenzic（四よん次じ）, sursolid（五ご次じ）, zenzicube（六ろく次じ）, second sursolid（七なな次じ）, zenzizenzizenzic（八はち次じ）の語かたりを用もちいた。4 乗じょうについては biquadrate（複ふく二に次じ）の語かたりも用もちいられた。

歴史れきし的てきには "involution" が冪べきの同義語どうぎごとして用もちいられていたが現在げんざいでは稀まれであり、別べつの意味いみ（対たい合ごう）で用もちいられているので混同こんどうすべきではない。

冪べき指数しすう

冪べきの肩かたに書かかれる数かずのことを冪べき指数しすうと呼よぶが、冪べき指数しすうを意味いみする用語ようごとして、英語えいごではしばしば exponent と index が同義どうぎ語ごとして用もちいられる。この用語ようご選定せんていは18世紀せいき、19世紀せいきを通つうじて極きわめて曖昧あいまいで個人こじんの嗜好しこうに委ゆだねられていた。しかし、ガウスは、その著書ちょしょ Disquisitiones Arithmeticae において通常つうじょうの冪べき指数しすうと数かず論ろん的てきな指数しすうを峻別しゅんべつする必要ひつよう性せいから exponens は通常つうじょうの冪べき指数しすう、index は数かず論ろん的てきな指数しすうを表あらわすものとして明確めいかくに区別くべつし使つかい分わけて解説かいせつに使用しようしており、この使つかい分わけはディリクレ、デデキント、ヒルベルトを通つうじて数すう論ろんの世界せかいでの標準ひょうじゅんとなった。

もとをたどれば、1544年ねんにミハエル・スティーフェルがラテン語らてんご: "exponens" を造語ぞうごし、対たいして1586年ねんにラザルス・シェーナーが数学すうがく者しゃペトルス・ラムスの書籍しょせきへの補注ほちゅうとしてラテン語らてんご: "index" を（スティーフェルが exponens と呼よんだものと同おなじものを指さす意味いみで）用もちいたのがそれぞれの語源ごげんと考かんがえられる。exponent と index はこれらの英語えいご翻訳ほんやくであり、例たとえば index はサミュエル・ジークが1696年ねんに導入どうにゅうした。

exponent と index の微妙びみょうな使つかい分わけと併用へいようの時代じだいはここから始はじまり、その併用へいようのされ方かたは国くにと時代じだいだけでなく個人こじんによっても異ことなった。イギリスは当初とうしょ index が優勢ゆうせいであり、これは聖せいバーソロミューの大だい虐殺ぎゃくさつで殉死じゅんししたラムスの著作ちょさくがプロテスタント諸国しょこくで非常ひじょうに人気にんきを集あつめたからだとの指摘してきがある。

日本語にほんご「冪べき」

『冪べき』の字義じぎは「覆おおう、覆おおうもの」であって、『冖』と同音どうおん同義どうぎである。江戸えど時代じだいの和算わさん家いえは「冪べき」の略字りゃくじとして「巾はば」を用もちいていた。

第だい二に次じ世界せかい大戦たいせん後ごの漢字かんじ制限せいげん政策せいさくのもと、これらの字じは常用漢字じょうようかんじ・当用漢字とうようかんじに含ふくまれず、1950年代ねんだい以降いこうの学習がくしゅう参考さんこう書しょなどの出版しゅっぱん物ぶつでは仮名かめい書がきで「べき乗じょう」または「累乗るいじょう」への書かき換かえが進すすめられ、結果けっかとして初等しょとう数学すうがくの教科書きょうかしょではもっぱら「累乗るいじょう」が用もちいられた。

「冪べき集合しゅうごう」、「冪べき級数きゅうすう」などの高等こうとう学校がっこう以下いかで扱あつかわれない多おおくの概念がいねんに対たいしては、「冪べき」の部分ぶぶんが置おき換かえられることはなく、例たとえば「べき乗じょう集合しゅうごう」や「累乗るいじょう集合しゅうごう」などといった表現ひょうげんはあまり生しょうじていない。

定義ていぎ

自然しぜん数すう乗じょう冪べき

実数じっすう（または積せき $\times$ の定義ていぎされた群ぐん、より一般いっぱんには半はん群ぐん）において、元もと x と自然しぜん数すう n に対たいして xⁿ を

${\displaystyle x^{n}=\underbrace {x\times \cdots \times x} _{n\ {\text{$個こ}}}}

で定義ていぎする（厳密げんみつには再帰さいき的てきに定義ていぎする）。 上うえ付つきの n が書かけない場合ばあいには、 x^n という表記ひょうきを用もちいることが多おおい。

この操作そうさを「x の n 乗じょうを取とる」などといい、特とくに n を固定こていして x を入力にゅうりょくとする関数かんすう（特とくに実数じっすう x の函数かんすう）と見みるときは、冪べき関数かんすうという。 x の 2乗じょう、3乗じょうは特とくに、それぞれ x の平方へいほう (へいほう、 英えい: square)、立方りっぽう (りっぽう、 英えい: cube) と呼よばれ、2乗じょうを特とくに自乗じじょうという場合ばあいもある。

冪べき xⁿ において、x を底そこ（てい、英えい: base、 基数きすう）と呼よび、n を冪べき数すう、冪べき指数しすうまたは単たんに指数しすう（しすう、 英えい: exponent) と呼よぶ。必かならずしも冪べき指数しすうとは限かぎらない添字そえじ n をその基準きじゅんとなる文字もじ x の右肩みぎかたに乗のせる添字そえじ記法きほうを指数しすう表記ひょうき・冪べき記法きほうなどとよぶ場合ばあいもある。

厳密げんみつには、x の n 乗の冪べきは

1. x¹ = x,
2. xⁿ⁺¹ = xⁿ × x   (n ≥ 1)

によって再帰さいき的てきに定義ていぎされる。

負まけの整数せいすう乗じょう冪べき

帰納的きのうてき定義ていぎを見みれば下したのように拡張かくちょうするのが自然しぜんである。

有理数ゆうりすうの範囲はんいで2の冪べきを例れいに取とると：

• 2⁴ = 16
• 2³ = 8
• 2² = 4
• 2¹ = 2
• 2⁰ = 1
• 2⁻¹ = 1/2
• 2⁻² = 1/4
• 2⁻³ = 1/8
• 2⁻⁴ = 1/16

ただし、底そこが 0 の場合ばあいは「0 で割われない」などの理由りゆうから定義ていぎしないか、または 0⁰ については 1 と定義ていぎするのが一般いっぱん的てきである。

詳細しょうさいは「0の0乗じょう」を参照さんしょう

有理ゆうり数すう乗じょう冪べき

詳細しょうさいは「冪べき根ね」を参照さんしょう

自然しぜん数すう m に対たいし、x の m 乗の根ねすなわち m 乗じょうして x になるような数かず y がただ一ひとつあるならば、その y を x^1/m とし、自然しぜん数すうまたは整数せいすう n に対たいし

x^n/m = (x^1/m)ⁿ

と定さだめることによって、x を底そことする冪べき乗じょうの指数しすうを有理数ゆうりすうの範囲はんいまで拡張かくちょうすることができる。 このとき、指数しすう法則ほうそくと呼よばれる下したの関係かんけい式しきが成なり立たつ。

• x^r+s = x^r × x^s
• x^r×s = (x^r)^s

ここで、r と s は、冪べきが定義ていぎできる範囲はんいの有理数ゆうりすうである。つまり、x が逆ぎゃく元もとをもたないなら自然しぜん数すう、逆ぎゃく元もとはもつが冪べき根ねをもたないなら整数せいすう、m 乗の根ねをもつが逆ぎゃく元もとをもたないならば m を分母ぶんぼとする正せいの有理数ゆうりすう、逆ぎゃく元もとも m 乗の根ねももつならば m を分母ぶんぼとする有理数ゆうりすうである。

実じつ数すう乗じょう冪べき

詳細しょうさいは「指数しすう関数かんすう」を参照さんしょう

x が正せいの実数じっすうならば、上うえで制限せいげんされていた指数しすうへの条件じょうけんは外はずれる。 正数せいすうならば任意にんいの自然しぜん数すう m に対たいする正せいの m 乗の根ね ${\sqrt[{m}]{x}}$ がただ一ひとつ存在そんざいするので、正せいの有理数ゆうりすう ${\frac {n}{m}}$ に対たいし

$x^{\frac {n}{m}}={\bigl (}{\sqrt[{m}]{x}}{\bigr )}^{n}={\sqrt[{m}]{x^{n}}}$

と定さだめることができる。さらに、x が 0 でなければ逆ぎゃく元もとが存在そんざいするので、指数しすうは有理数ゆうりすう全体ぜんたいまで拡張かくちょうされる。

x (>0) の冪べきは、その指数しすうに関かんして極限きょくげんを取とることによって実数じっすう上じょうの関数かんすうに拡張かくちょうされ、連続れんぞく関数かんすうになる。連続れんぞくな拡張かくちょうは一意いちいであり、これを x を底そことする指数しすう関数かんすうと呼よぶ。

複素ふくそ数すう乗じょう冪べき

詳細しょうさいは「複素ふくそ指数しすう函数かんすう」および「複素ふくそ対数たいすう函数かんすう」を参照さんしょう

複素数ふくそすう z に対たいして、函数かんすう exp を級数きゅうすう

$\exp(z):=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {z^{n}}{n!}}$

で定義ていぎする。この級数きゅうすうは任意にんいの複素数ふくそすう z に対たいして収束しゅうそくする。特とくに exp(1) ≕ e は自然しぜん対数たいすうの底そこに等ひとしく、任意にんいの実数じっすう x に対たいして exp(x) = e^x（右辺うへんは実数じっすう e の実数じっすう x 乗じょうの意い）である（したがって任意にんいの複素数ふくそすうに対たいして e^z ≔ exp(z) とも書かかれる）。z ≔ x + iy （x, y は実数じっすう）と表あらわすと、

$\exp(x+iy)=e^{x}(\cos y+i\sin y)=\exp(x)\operatorname {cis} (y)$

が成なり立たつ（cis は純じゅん虚きょ指数しすう函数かんすう）。特とくに e^iy = cos(y) + i⋅sin(y) はオイラーの公式こうしきと呼よばれる関係かんけい式しきである。

さらに、この関数かんすうの「逆ぎゃく関数かんすう」を log と書かけば、一般いっぱんの複素数ふくそすう w ≠ 0 に対たいして

$w^{z}:=e^{z\log w}$

と定義ていぎされる。log が多た価あたい関数かんすうなので、一般いっぱんには値ねが 1 つには定さだまらない。ただし、w = e の場合ばあいには、上うえの冪べき級数きゅうすうで定義ていぎしたほうの意味いみで用もちいるのが普通ふつうである。

性質せいしつ

• 冪べき演算えんざんは可か換かわでない（たとえば 2³ = 8 , 3² = 9 , 8≠9.）。また結合けつごう的てきでない（たとえば (2³)² = 64 , 512 = 2⁽³²⁾ , 64≠512.）。
• 括弧かっこを用もちいずに a^bc と書かいたときには、これはふつう a^(bc) を意味いみする。すなわち冪べき演算えんざんは右みぎ結合けつごう的てきである（これは優先ゆうせん順位じゅんい（precedence, 演算えんざん子この優先ゆうせん順位じゅんい）ではなく、演算えんざん子この結合けつごう性せい（associativity, en:Operator associativity）のことである）。

指数しすう法則ほうそく

以下いかの一覧いちらん表ひょうにおいて多重たじゅう定義ていぎの虞おそれを除のぞくため、底そこは非ひ零れい実数じっすうであるような冪べきのみを考かんがえる。ただし、正せいの冪べきのみを考かんがえるならば、底そこが 0 でも各かく法則ほうそくは成なり立たつ。また以下いかの一覧いちらんにおいて、有理数ゆうりすうについて分母ぶんぼが奇数きすうあるいは偶数ぐうすうであるというときは、常つねにその有理数ゆうりすうの既すんで約分やくぶん数表示すうひょうじにおける分母ぶんぼのことを言いっているものとする。

指数しすう法則ほうそく

規則きそく	条件じょうけん
$a^{0}=1$	a ≠ 0 は任意にんい
$a^{-r}={\frac {1}{a^{r}}}$	a > 0 ならば r は任意にんいの実数じっすう a < 0 ならば r は分母ぶんぼが奇数きすうの任意にんいの有理数ゆうりすう
$a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}$	a > 0 ならば n は任意にんいの自然しぜん数すうで m は任意にんいの整数せいすう a < 0 ならば n は任意にんいの奇数きすうで m は任意にんいの整数せいすう
$a^{r+s}=a^{r}\cdot a^{s}$	a > 0 ならば r, s は任意にんいの実数じっすう a < 0 ならば r, s は分母ぶんぼが奇数きすうの任意にんいの有理数ゆうりすう
$a^{r-s}={\frac {a^{r}}{a^{s}}}$	a > 0 ならば r, s は任意にんいの実数じっすう a < 0 ならば r, s は分母ぶんぼが奇数きすうの任意にんいの有理数ゆうりすう
$(a\cdot b)^{r}=a^{r}\cdot b^{r}$	a  • b ≠ 0 ならば r は任意にんいの自然しぜん数すう、あるいは任意にんいの整数せいすう a > 0, b > 0 ならば r は任意にんいの実数じっすう a, b の少すくなくとも一方いっぽうが負まけならば r は分母ぶんぼが奇数きすうの任意にんいの有理数ゆうりすう
$\left({\frac {a}{b}}\right)^{r}={\frac {a^{r}}{b^{r}}}$	整数せいすう r に対たいして、[r ≥ 0 かつ b ≠ 0] または [r ≤ 0 かつ a ≠ 0] のとき a > 0, b > 0 ならば r は任意にんいの実数じっすう a, b の少すくなくとも一方いっぽうが負まけならば r は分母ぶんぼが奇数きすうの任意にんいの有理数ゆうりすう
$(a^{r})^{s}=a^{r\cdot s}$	a ≠ 0 ならば r, s は任意にんいの整数せいすう a > 0 ならば r, s は任意にんいの実数じっすう a < 0 ならば r, s は分母ぶんぼが奇数きすうの任意にんいの有理数ゆうりすう
$(a^{r})^{s}=-a^{r\cdot s}$	a < 0 かつ有理数ゆうりすう r, s に対たいして、r および r  • s は分母ぶんぼが奇数きすう、かつ r  • s の分子ぶんしが奇数きすうのとき

(a^r)^s = ±a^{r • s} に関かんして

• 冪べき指数しすう r, s の少すくなくとも一方いっぽうが無理むり数すうであるとき、あるいはこれらの双方そうほうが有理数ゆうりすうだが r または r  • s の少すくなくとも一方いっぽうの分母ぶんぼが偶数ぐうすうとなるときには、a < 0 に対たいする (a^r)^s または a^{r • s} は定義ていぎされない。それ以外いがいのとき、この両者りょうしゃは定義ていぎされて符号ふごうの違ちがいを除のぞいて一致いっちする。特とくに両者りょうしゃは a > 0 ならば任意にんいの実数じっすう r, s に対たいして一致いっちし、また a ≠ 0 ならば任意にんいの整数せいすう r, s に対たいして一致いっちする。
• a < 0 かつ r, s が整数せいすうでない有理数ゆうりすうであるときには可能かのう性せいは二に通とおり考かんがえられ、どちらになるかは r の分子ぶんしと s の分母ぶんぼの素因数そいんすう分解ぶんかいが関係かんけいする。式しき (a^r)^s = ±a^{r • s} の右辺うへんの符号ふごうは何いずれが正ただしいのかを知しるには a = −1 のときを見みれば十分じゅうぶんである（与あたえられた r, s に対たいして a = −1 のとき正まさしくなる方ほうの符号ふごうをとれば、任意にんいの a < 0 についても成なり立たつ）。
• a < 0 に対たいして (a^r)^s = −a^{r • s} が適用てきようされるならば、a ≠ 0 に対たいして (a^r)^s = |a|^{r • s} が成なり立たつ（冪べき指数しすうが正せいならば a = 0 のときも成なり立たつ）。

例たとえば、((−1)²)^1⁄2 = 1 および (−1)^{2 • 1⁄2} = −1 であるから、a < 0 に対たいして √a² = (a²)^1⁄2 = −a^{2 • 1⁄2} = −a, したがって任意にんいの実数じっすう a に対たいして √a² = |a| が成なり立たつ。

指数しすう・対数たいすう法則ほうそくの不成立ふせいりつ

正せいの実数じっすうに対たいする冪べきおよび対数たいすうに関かんする等式とうしきのいくつかは、複素数ふくそすう冪べきや複素ふくそ対数たいすうがどのように一価いっか函数かんすうとして定義ていぎされようとも、複素数ふくそすうに対たいしては成なりたないことが起おこる。

1. 等式とうしき log(b^x) = x⋅log(b) は b が正せいの実数じっすうで x が実数じっすうのときにはいつでも成なり立たつ。しかし、複素ふくそ対数たいすうの主しゅ枝えだに対たいして

   $i\pi =\log(-1)=\log \left[(-i)^{2}\right]\neq 2\log(-i)=2\left(-{\frac {i\pi }{2}}\right)=-i\pi$

   は反例はんれいになる。複素ふくそ対数たいすうのどの枝えだを用もちいたかに関かかわらず、この等式とうしきには同様どうようの反例はんれいが存在そんざいする。（この結果けっかのみを使つかうものとすれば）

   $\log(w^{z})\equiv z\cdot \log(w){\pmod {2\pi i}}$

   であるとまでしか言いえない。

   この等式とうしきは log を多た価あたい函数かんすうと考かんがえるときでさえ成なりたない。log(w^z) の取とり得える値ねは z⋅log(w) の取とり得える値ねを部分ぶぶん集合しゅうごうとして含ふくむ。log(w) の主おも値ちを Log(w) とし、m, n を任意にんいの整数せいすうとすると、両辺りょうへんの取とり得える値ねは

   $\{\log(w^{z})\}=\{z\cdot \operatorname {Log} (w)+z\cdot 2\pi in+2\pi im\}$

   $\{z\cdot \log w\}=\{z\cdot \operatorname {Log} (w)+z\cdot 2\pi in\}$

   である。
2. 等式とうしき (bc)^x = b^x⋅c^x および (b/c)^x = b^x/c^x は x が実数じっすうでさらに b と c が正せいの実数じっすうならば成なり立たつ。しかし主しゅ枝えだを用もちいた計算けいさんで

   $1=((-1)(-1))^{\frac {1}{2}}\neq (-1)^{\frac {1}{2}}(-1)^{\frac {1}{2}}=-1$

   および

   $i=(-1)^{\frac {1}{2}}=\left({\frac {1}{-1}}\right)^{\frac {1}{2}}\neq {\frac {1^{\frac {1}{2}}}{(-1)^{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{i}}=-i$

   が反例はんれいとして示しめされる。 他方たほう、x が整数せいすうのときには任意にんいの非ひ零れい複素数ふくそすうに対たいして成なり立たつ。 複素数ふくそすう冪べきを多た価あたい函数かんすうとして考かんがえれば、((−1)(−1))^1/2 の取とり得える値ねは {1, −1} で、等式とうしきは成なり立たつが {1} = {((−1)(−1))^1/2} と言いうことは間違まちがっている。
3. 等式とうしき (e^x)^y = e^xy は x と y が実数じっすうであるときには成なり立たつが、任意にんいの複素数ふくそすうに対たいして正ただしいと仮定かていすると、Clausen et al. (1827)の発見はっけんした

   任意にんいの整数せいすう n に対たいして、

   1. $e^{1+2\pi in}=e^{1}e^{2\pi in}=e\cdot 1=e$
   2. $(e^{1+2\pi in})^{1+2\pi in}=e$
   3. $e^{1+4\pi in-4\pi ^{2}n^{2}}=e$
   4. $e^{1}e^{4\pi in}e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=e$
   5. $e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=1$

   を得えるが、これは n が 0 でないとき誤あやまりである。

   という不ふ合理ごうりが生しょうじる。この推論すいろんにはいくつも問題もんだいがある:

   • 主おもな誤あやまりは、二に行ぎょう目めから三さん行ぎょう目めに行いくときに冪べきの順番じゅんばんを変かえることで選えらばれる主おも値ちが変かわることである。
   • 多た価あたい函数かんすうの視点してんから見みると、最初さいしょの誤あやまりは更さらに早はやく起おきている。一行いっこう目めで暗あんに e は実数じっすうとしているにも拘かかわらず、e^{1+2πぱいin} の結果けっかは複素数ふくそすうであり、e + 0i と書かいたほうがよい。二に行ぎょう目めを実数じっすうではなくこの複素数ふくそすうで置おき換かえることで、そこでの冪べきが取とれる値ねを複数ふくすう持もつようになる。二に行ぎょう目めから三さん行ぎょう目めで指数しすうの順番じゅんばんを変かえたことも、取とりうる値ねの数かずに影響えいきょうを及およぼす。(e^z)^w ≠ e^zw だが、整数せいすう n にわたって多た価あたいな意味いみで (e^z)^w = e^{(z+2πぱいin)w} としたほうがよい。

一般いっぱん化か

モノイドにおける冪べき

冪べき演算えんざんは任意にんいのモノイドにおいて定義ていぎできる。モノイドは単位たんい元もとを持もつ半はん群ぐん、すなわち適当てきとうな集合しゅうごう X を台だいとして合成ごうせいあるいは乗法じょうほうと呼よばれる二に項こう演算えんざんが定義ていぎされる代数だいすう系けいであって、その乗法じょうほうが結合けつごう法則ほうそくを満足まんぞくし、かつ乗法じょうほう単位たんい元もと 1_X を持もつものを言いう。モノイドにおける自然しぜん数すう冪べきは

• $x^{0}:=1_{X}\quad (\forall x\in X),$
• $x^{n+1}:=x^{n}\times x\quad (x\in X,\,n\in \mathbb {Z} _{\geq 0})$

として帰納的きのうてきに定義ていぎすることができる（先さきの式しきの右辺うへん（の 1）は X の単位たんい元もと、後ごの式しきの左辺さへんの 1 は自然しぜん数すうの 1 で、当然とうぜんだがこれらは互たがいに別べつのものである）。特とくに先さきの式しき（零れい乗じょうすること）は「単位たんい元もとを持もつ」ことによって初はじめて意味いみを成なす規約きやくであることに注意ちゅういすべきである（空そら積せきも参照さんしょうのこと）。

モノイドの例れいには群ぐんや環たまき（の乗法じょうほうモノイド）のような数学すうがく的てきに重要じゅうような多おおくの構造こうぞうが含ふくまれ、またより特定とくていの例れいとして行列ぎょうれつ環たまきや体からだの場合ばあいについて後述こうじゅつする。

行列ぎょうれつおよび線型せんけい作用素さようその冪べき

正方まさかた行列ぎょうれつ A に対たいして A 自身じしんの n 個この積せきを行列ぎょうれつの冪べきと呼よぶ。また A⁰ は単位たんい行列ぎょうれつに等ひとしいものと定義ていぎされ、さらに A が可逆かぎゃくならば A⁻ⁿ ≔ (A⁻¹)ⁿ と定義ていぎする。

行列ぎょうれつの冪べきは離散りさん力学りきがく系けいの文脈ぶんみゃくでしばしば現あらわれる。そこでは行列ぎょうれつ A は適当てきとうな系けいの状態じょうたいベクトル x を次つぎの状態じょうたい Ax へ遷移せんいさせることを表あらわす。これは例たとえばマルコフ連鎖れんさの標準ひょうじゅん的てきな解釈かいしゃくである。これにより、A²x は二に段階だんかい後ごの系けいの状態じょうたいであり、以下いか同様どうように Aⁿx は n 段階だんかい後ごの系けいの状態じょうたいと理解りかいされる。つまり行列ぎょうれつの冪べき Aⁿ は現在げんざいと n 段階だんかい後ごの状態じょうたいの間あいだの遷移せんい行列ぎょうれつであって、行列ぎょうれつの冪べきを計算けいさんすることはこの力学りきがく系けいの発展はってんを解とくことに等ひとしい。便宜上べんぎじょう、多おおくの場合ばあいにおいて行列ぎょうれつの冪べきは固有値こゆうちと固有こゆうベクトルを用もちいて計算けいさんすることができる。

行列ぎょうれつを離はなれてより一般いっぱんの線型せんけい作用素さようそにも冪べき演算えんざんは定さだめられる。例たとえば微分びぶん積分せきぶん学がくにおける微分びぶん演算えんざん d / dx は函数かんすう f に作用さようして別べつの函数かんすう df / dx = f' を与あたえる線型せんけい作用素さようそであり、この作用素さようその n-乗じょうは n-階かい微分びぶん

${\Bigl (}{\frac {d}{dx}}{\Big )}^{\!n}f(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=f^{(n)}(x)$

である。これは線型せんけい作用素さようその離散りさん的てきな冪べきの例れいであるが、作用素さようその連続れんぞく的てきな冪べきが定義ていぎできたほうがよい場面ばめんが多おおく存在そんざいする。C₀-半はん群ぐんの数学すうがく的てき理論りろんはこのような事情じじょうを出発しゅっぱつ点てんとしている。離散りさん冪べき指数しすうに対たいする行列ぎょうれつの冪べきの計算けいさんが離散りさん力学りきがく系けいを解とくことであったのと同様どうように、連続れんぞく冪べき指数しすうに対たいする作用素さようその冪べきの計算けいさんは連続れんぞく力学りきがく系けいを解とくことに等ひとしい。そういった例れいとして熱ねつ方程式ほうていしき、シュレーディンガー方程式ほうていしき、波動はどう方程式ほうていしきあるいはもっとほかの時間じかん発展はってんを含ふくむ偏へん微分びぶん方程式ほうていしきを挙あげることができる。このような冪べき演算えんざんの特別とくべつの場合ばあいとして、微分びぶん演算えんざんの非ひ整数せいすう乗じょうは分数ぶんすう階かい微分びぶんと呼よばれ、分数ぶんすう階かい積分せきぶんとともに、分数ぶんすう階かい微分びぶん積分せきぶん学がくの基本きほん演算えんざんの一ひとつとなっている。

有限ゆうげん体たいにおける冪べき

「冪べき剰余じょうよ」も参照さんしょう

体からだは、四則しそく演算えんざんが矛盾むじゅんなく定義ていぎされそれらの馴染なじみ深ふかい性質せいしつが満足まんぞくされるような代数だいすう的てき構造こうぞうである。例たとえば実数じっすう全体ぜんたいは体からだを成なす。複素数ふくそすうの全体ぜんたい、有理数ゆうりすうの全体ぜんたいなどもそうである。これら馴染なじみ深ふかい例れいが全すべて無限むげん集合しゅうごうであるのと異ことなり、有限ゆうげん個この元もとしか持もたない体からだも存在そんざいする。そのもっとも簡単かんたんな例れいが二に元げん体たい F₂ = {0,1} で、加法かほうは 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 0 + 0 = 1 + 1 = 0 および乗法じょうほうは 0  • 0 = 1  • 0 = 0  • 1 = 0, 1  • 1 = 1 で与あたえられる。

有限ゆうげん体たいにおける冪べき演算えんざんは公開こうかい鍵かぎ暗号あんごうに応用おうようを持もつ。例たとえばディフィー・ヘルマン鍵かぎ交換こうかんは、有限ゆうげん体たいにおける冪べきは計算けいさん量的りょうてきにコストが掛かからないのに対たいし、冪べきの逆ぎゃくである離散りさん対数たいすうは計算けいさん量的りょうてきにコストが掛かかるという事実じじつを用もちいている。

任意にんいの有限ゆうげん体たい F は、素数そすう p がただ一ひとつ存在そんざいして、任意にんいの x ∈ F に対たいして px = 0 が成なり立たつ（x を p 個こ加くわえれば零れいになる）という性質せいしつを持もつ。例たとえば二に元げん体たい F₂ では p = 2 である。この素数そすう p はその体からだの標しるべ数すうと呼よばれる。F を標しるべ数すう p の体からだとして F の各かく元もとを p-乗じょうする写像しゃぞう f(x) = x^p を考かんがえる。これは F のフロベニュース自己じこ準じゅん同型どうけいと呼よばれる。新入生しんにゅうせいの夢ゆめ（幼稚ようちな二に項こう定理ていり）とも呼よばれる等式とうしき (x + y)^p = x^p + y^p がこの体からだにおいては成なり立たつため、フロベニュース自己じこ準じゅん同型どうけいが実際じっさいに体からだの自己じこ準じゅん同型どうけいを与あたえるものであることが確認かくにんできる。フロベニュース自己じこ準じゅん同型どうけいは F の素もと体たい上じょうのガロワ群ぐんの生成せいせい元もとであるため数かず論ろんにおいて重要じゅうようである。

抽象ちゅうしょう代数だいすう学がくにおける冪べき

冪べき指数しすうが整数せいすうであるような冪べき演算えんざんは抽象ちゅうしょう代だい数学すうがくにおける極きわめて一般いっぱんの構造こうぞうに対たいして定義ていぎすることができる。

集合しゅうごう X は乗法じょうほう的てきに書かかれた冪べき結合けつごう的てき二に項こう演算えんざんを持もつもの:

$(x^{i}x^{j})x^{k}=x^{i}(x^{j}x^{k})\quad (\forall x\in X)$

とするとき、任意にんいの x ∈ X と任意にんいの自然しぜん数すう n に対たいして冪べき xⁿ は、x の n 個このコピーの積せきを表あらわすものとして

${\begin{aligned}x^{1}&=x\\x^{n}&=x^{n-1}x\quad (n>1)\end{aligned}}$

のように帰納的きのうてきに定義ていぎされる。これは以下いかのような性質せいしつ

${\begin{aligned}x^{m+n}&=x^{m}x^{n}\\(x^{m})^{n}&=x^{mn}\end{aligned}}$

を満足まんぞくする。さらに、考かんがえている演算えんざんが両側りょうがわ単位たんい元もと 1 を持もつ:

$\exists !1{\text{ s.t. }}x1=1x=x\quad (\forall x\in X)$

ならば x⁰ は任意にんいの x に対たいして 1 に等ひとしいものと定義ていぎする。

さらにまた演算えんざんが両側りょうがわ逆ぎゃく元もとを持もち、なおかつ結合けつごう的てき

${\begin{aligned}xx^{-1}&=x^{-1}x=1,\\(xy)z&=x(yz)\end{aligned}}$

ならばマグマ X は群ぐんを成なす。このとき x の逆ぎゃく元もとを x⁻¹ と書かけば、冪べき演算えんざんに関かんする通常つうじょうの規則きそく

${\begin{aligned}x^{-n}&=\left(x^{-1}\right)^{n}\\x^{m-n}&=x^{m}x^{-n}\end{aligned}}$

はすべて満足まんぞくされる。また（例たとえばアーベル群ぐんのように）乗法じょうほう演算えんざんが可か換かわならば

$(xy)^{n}=x^{n}y^{n}$

も満足まんぞくされる。（アーベル群ぐんが通常つうじょうそうであるように）二に項こう演算えんざんを加法かほう的てきに書かくならば、「冪べき演算えんざんは累乗るいじょう（反復はんぷく乗法じょうほう）である」という主張しゅちょうは「乗法じょうほうは累加るいか（反復はんぷく加法かほう）である」という主張しゅちょうに引ひき写うつされ、各かく指数しすう法則ほうそくは対応たいおうする乗法じょうほう法則ほうそくに引ひき写うつされる。

一ひとつの集合しゅうごう上じょうに複数ふくすうの冪べき結合けつごう的てきに項こう演算えんざんが定義ていぎされるときには、各かく演算えんざんに関かんして反復はんぷくによる冪べき演算えんざんを考かんがえることができるから、どれに関かんする冪べきかを明示めいじするために上うえ付つき添字そえじに反復はんぷくしたい演算えんざんを表あらわす記号きごうを併置へいちする方法ほうほうがよく用もちいられる。つまり演算えんざん ∗ および # が定義ていぎされるとき、x^∗n と書かけば x ∗ ⋯ ∗ x を意味いみし、x^#n と書かけば x # ⋯ # x を意味いみするという具合ぐあいである。

上うえ付つき添字そえじ記法きほうは、特とくに群論ぐんろんにおいて、共軛きょうやく変換へんかんを表あらわすのにも用もちいられる（即すなわち、g, h を適当てきとうな群ぐんの元もととして g^h = h⁻¹gh）。この共軛きょうやく変換へんかんは指数しすう法則ほうそくと同様どうようの性質せいしつを一部いちぶ満足まんぞくするけれども、これはいかなる意味いみにおいても反復はんぷく乗法じょうほうとしての冪べき演算えんざんの例れいではない。カンドルはこれら共軛きょうやく変換へんかんの性質せいしつが中心ちゅうしん的てきな役割やくわりを果はたす代数だいすう的てき構造こうぞうである。

集合しゅうごうの冪べき

デカルト冪べき

詳細しょうさいは「デカルト積つもる」を参照さんしょう

自然しぜん数すう n と任意にんいの集合しゅうごう A に対たいして、式しき Aⁿ はしばしば A の元もとからなる順序じゅんじょ n-組くみ全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうを表あらわすのに用もちいられる。これは Aⁿ は集合しゅうごう {0, 1, 2, …, n−1} から集合しゅうごう A への写像しゃぞう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうであると言いっても同おなじことである（n-組ぐみ (a₀, a₁, a₂, …, a_n−1) は i を a_i へ送おくる写像しゃぞうを表あらわす）。

無限むげん基数きすう κかっぱ と集合しゅうごう A に対たいしても、記号きごう A^κかっぱ は濃度のうど κかっぱ の集合しゅうごうから A への写像しゃぞう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうを表あらわすのに用もちいられる。基数きすうの冪べきとの区別くべつのために ^κかっぱA と書かくこともある。

反復はんぷく直和なおかず

詳細しょうさいは「直和なおかず」を参照さんしょう

一般いっぱん化かされた冪べきは、複数ふくすうの集合しゅうごう上じょうで定義ていぎされる演算えんざんや追加ついかの構造こうぞうを持もつ集合しゅうごうに対たいしても定義ていぎすることができる。例たとえば、線型せんけい代数だいすう学がくにおいて勝手かってな添字そえじ集合しゅうごう上じょうでのベクトル空間くうかんの直和なおかずを考かんがえることができる。つまり V_i をベクトル空間くうかんとして

$\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }V_{i}$

を考かんがえるとき、任意にんいの i について V_i = V とすれば得えられる直和なおかずを冪べき記法きほうを用もちいて V^⊕N あるいは直和なおかずの意味いみであることが明あきらかならば単たんに V^N のように書かくことができる。ここで再ふたたび集合しゅうごう N を基数きすう n で取とり替かえれば Vⁿ を得える（濃度のうど n を持もつ特定とくていの標準ひょうじゅん的てきな集合しゅうごうを選えらぶことなしに、これは同型どうけいを除のぞいてのみ定義ていぎされる）。V として実数じっすう体たい R を（それ自身じしんの上うえのベクトル空間くうかんと見みて）とれば、n を適当てきとうな自然しぜん数すうとして線型せんけい代数だいすう学がくでもっともよく調しらべられる実じつベクトル空間くうかん Rⁿ を得える。

配置はいち集合しゅうごう

冪べき演算えんざんの底そこを集合しゅうごうとするとき、何なにも断ことわりがなければ冪べき演算えんざんはデカルト積つもるである。複数ふくすうの集合しゅうごうのデカルト積つもるは n-組ぐみを与あたえ、n-組ぐみは適当てきとうな濃度のうどを持もつ集合しゅうごう上じょうで定義ていぎされた写像しゃぞうとして表あらわすことができるのだから、この場合ばあい冪べき S^N は単たんに N から S への写像しゃぞう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう

$S^{N}\equiv \{f\colon N\to S\}$

である。この定義ていぎは |S^N| = |S|^|N| が満みたされるという意味いみで基数きすうの冪べきと整合せいごうする。ただし |X| は X の濃度のうどを表あらわす。"2" を集合しゅうごう {0, 1} として定義ていぎすれば |2^X| = 2^|X| が得えられる。ここに 2^X は X の冪べき集合しゅうごうであり、普通ふつうは 𝒫(X) などで表あらわされる。

圏けん論ろんにおける冪べき対象たいしょう

詳細しょうさいは「デカルト閉圏」を参照さんしょう

デカルト閉圏において、任意にんいの対象たいしょうに対たいして別べつの任意にんいの対象たいしょうを冪べき指数しすうとする冪べき演算えんざんを冪べき対象たいしょうによって与あたえることができる。集合しゅうごうの圏けんにおける冪べき対象たいしょうは配置はいち集合しゅうごうであるから、これはその一般いっぱん化かになっている。考かんがえている圏けんに始はじめ対象たいしょう 0 が存在そんざいするならば、冪べき対象たいしょう 0⁰ は任意にんいの終おわり対象たいしょう 1 に同型どうけいである。

順序じゅんじょ数すう・基数きすうの冪べき

詳細しょうさいは「基数きすうの冪べき」および「順序じゅんじょ数すうの冪べき」を参照さんしょう

集合しゅうごう論ろんでは基数きすうや順序じゅんじょ数すうの冪べき演算えんざんも定義ていぎされる。

基数きすう κかっぱ, λらむだ に対たいして冪べき κかっぱ^λらむだ は基数きすう λらむだ の任意にんいの集合しゅうごうから基数きすう κかっぱ の任意にんいの集合しゅうごうへの写像しゃぞう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうの基数きすうを表あらわす。κかっぱ, λらむだ がともに有限ゆうげんならばこれは通常つうじょうの算術さんじゅつ的てきな（つまり自然しぜん数すうの）冪べき演算えんざんと一致いっちする（たとえば、二元にげん集合しゅうごうから元もとを取とって得えられる三みつ組ぐみ全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうの基数きすうは 8 = 2³ で与あたえられる）。基数きすうの算術さんじゅつにおいて κかっぱ⁰ は常つねに（特とくに κかっぱ が無限むげん基数きすうや 0 であるときでさえ）1 である。

基数きすうの冪べきは順序じゅんじょ数すうの冪べきとは異ことなる。後者こうしゃは超ちょう限きり帰納きのう法ほうを含ふくむ過程かていの極限きょくげんとして定義ていぎされる。

反復はんぷく冪べき

詳細しょうさいは「テトレーション」を参照さんしょう

自然しぜん数すう冪べきが乗法じょうほうの反復はんぷくとして考かんがえられたことと同様どうように、冪べき演算えんざんを繰くり返かえす演算えんざんというものを定義ていぎすることもできる。それをまた反復はんぷくすれば別べつの演算えんざんが定義ていぎされ、同様どうように繰くり返かえしてハイパー演算えんざんの概念がいねんを得える。このようにして得えられるハイパー演算えんざんの列れつにおいて、次つぎの演算えんざんは前まえの演算えんざんに対たいして急速きゅうそくに増大ぞうだいする。

「アッカーマン函数かんすう」、「クヌースの矢印やじるし記法きほう」、および「巨きょ大数たいすう」も参照さんしょう

写像しゃぞうの冪べきの記法きほうに関かんする注意ちゅうい

合成ごうせい冪べき

「反復はんぷく合成ごうせい写像しゃぞう」も参照さんしょう

写像しゃぞうの冪べき乗じょうとなるべきものとして、写像しゃぞうを表あらわす符牒ふちょうの直後ちょくごに整数せいすうの上うえ付つき添字そえじを添そえたとき、それは（反復はんぷく乗法じょうほうではなくて）反復はんぷく合成ごうせい冪べきの意味いみで用もちいることがよく行おこなわれる。つまり例たとえば f³(x) は f(f(f(x))) の意味いみであり、また特とくに f⁻¹(x) は f の逆ぎゃく写像しゃぞうを意味いみするのが普通ふつうである。反復はんぷく合成ごうせい写像しゃぞうはフラクタルや力学りきがく系けいの研究けんきゅうにおいて興味きょうみを持もたれる。チャールズ・バベッジは写像しゃぞうの平方根へいほうこん f ^1/2(x) を求もとめる問題もんだいを研究けんきゅうした最初さいしょの人ひとであった。

値ねごとの冪べき

「点てんごとの積せき」も参照さんしょう

しかし歴史れきし的てき経緯けいいにより、三角さんかく函数かんすうの場合ばあいには、函数かんすうの略号りゃくごうに正せいの冪べき指数しすうを添そえたときは函数かんすうの値ねに対たいして冪べきを取とることを意味いみする一方いっぽうで、−1 を冪べき指数しすうとしたときは逆ぎゃく函数かんすうを意味いみするという特別とくべつな文法ぶんぽうが適用てきようされる。つまり、 sin² x は (sin x)² を括弧かっこを用もちいずに略記りゃっきする方法ほうほうに過すぎない一方いっぽう、sin⁻¹ x は逆ぎゃく正弦せいげん函数かんすう arcsin x を意味いみするのである。三角さんかく函数かんすうの逆数ぎゃくすう函数かんすうは（例たとえば 1/(sin x) = (sin x)⁻¹ = csc x のように）それぞれ固有こゆうの名前なまえと略号りゃくごうが与あたえられているから、三角さんかく函数かんすうの逆数ぎゃくすうの略記りゃっき法ほうは無用むようである。同様どうようの規約きやくは対数たいすう函数かんすうにも適用てきようされ、log² x はふつう (log x)² の意味いみであって log log x の意味いみでない。

上うえ付つき添字そえじ

「添字そえじ表記ひょうき法ほう」も参照さんしょう

添字そえじ付つけられた変数へんすうを考かんがえるとき、その変数へんすうの添字そえじを上うえ付つきにする場合ばあいがあり、それはあたかも冪べきであるかのような印象いんしょうを受うけるかもしれないが混同こんどうするべきではない。これは特とくにテンソル解析かいせきにおいてベクトル場じょうの座標ざひょう表示ひょうじなどで現あらわれる。あるいはまた数列すうれつの列れつのような、既すでにそれ自身じしん添字そえじ付つけられているような量りょうに対たいしてさらに添字そえじ付づけを行おこなう場合ばあいにもしばしば用もちいられる。

高階たかしな導しるべ函数かんすう

函数かんすう f の n-階かい導しるべ函数かんすうはふつう f⁽ⁿ⁾ と書かかれるように、冪べき記法きほうは冪べき指数しすうを括弧かっこで囲かこんで書かくこともある。

効率こうりつ的てきな演算えんざん法ほう

コンピュータ上じょうで指数しすうを自然しぜん数すうとする冪べき乗じょう（累乗るいじょう）を効率こうりつよく行おこなう演算えんざん方法ほうほうとしてバイナリ法ほう（二に進数しんすう法ほう; en:exponentiation by squaring) とも呼よばれる演算えんざん方法ほうほうを示しめす。

RSA暗号あんごうや確かく率りつ的てき素数そすう判定はんてい法ほうであるフェルマーテストなどでは、巨大きょだいな自然しぜん数すうを指数しすうとする累乗るいじょうを行おこなう。この方法ほうほうを使つかうと、指数しすうがいかに巨大きょだいであっても高々たかだかそのビット数かずの2倍ばいの回数かいすうの乗算じょうざんで算出さんしゅつすることが可能かのうになり、繰くり返かえし掛かけるよりも大幅おおはばに効率こうりつがよくなる。特とくにRSA暗号あんごうやフェルマーテストなどにおいて各かく演算えんざん後ごに必要ひつようとなる剰余じょうよ演算えんざん（一般いっぱんに最もっとも計算けいさん時間じかんがかかる）の回数かいすうを減へらす効果こうかがある。

一般いっぱんに、コンピュータにとって標準ひょうじゅん的てきな（32ビットコンピュータならば約やく4億おくまでの）自然しぜん数すうや浮動ふどう小数点しょうすうてん数すうを底そことする場合ばあいは下位かい桁けたから計算けいさんする方式ほうしきを、前述ぜんじゅつのような巨大きょだいな自然しぜん数すうを底そことする場合ばあいには上位じょうい桁けたから計算けいさんする方式ほうしきを用もちいると効率こうりつが良よい。

下位かい桁けたから計算けいさんする方式ほうしき

バイナリ法ほうでは、次つぎの性質せいしつを利用りようする。

$(a^{x})^{2}=a^{2x}$

例たとえば (a⁸)² = a¹⁶ である。したがって、a（すなわち a¹）から始はじめて2乗じょうを繰くり返かえすと次つぎ行ぎょうのとおりになる。

$a^{1}\to a^{2}\to a^{4}\to a^{8}\to a^{16}\to a^{32}\to \cdots$

これらの数かずのうち、適切てきせつなものを選えらんで掛かけ合あわせれば、任意にんいの累乗るいじょうを速はやく（すなわち少すくない乗算じょうざん回数かいすうで）計算けいさんすることができる。例たとえば a⁴³ は、指数しすう法則ほうそくによって、

$a^{43}=a^{32+8+2+1}=a^{32}\times a^{8}\times a^{2}\times a^{1}$

として計算けいさんすることができる。乗算じょうざん回数かいすうは 8 回かいで済すむので、a を 42 回かい繰くり返かえし掛かけ合あわせるのに比くらべて効率こうりつが良よい。（下図したずで「→」は乗算じょうざんを表あらわし、「⇒」は2乗じょうを表あらわす。）

（十じゅう進しん表記ひょうき）：

a1

a2

a4

a8

a16

a32

2乗じょうの繰返くりかえし（二に進しん表記ひょうき）：

a1

⇒

a10

⇒

a100

⇒

a1000

⇒

a10000

⇒

a100000

↓

↓

↓

↓

累乗るいじょうの計算けいさん（二に進しん表記ひょうき）：

a1

→

a11

─

──

→

a1011

─

───

→

a101011

（十じゅう進しん表記ひょうき）：

a1

a3

a11

a43

コンピュータのアルゴリズムとして書かくとこうなる。

1. 指数しすうを n とし、2乗じょうしていく値ね p := a、結果けっか値ち v := 1 とする。
2. n が 0 なら、v を出力しゅつりょくして終了しゅうりょうする。
3. n の最下位さいかい桁けたが 1 なら、v := v * p とする。
4. n := [n/2] とし（端はし数すう切捨きりすて）、 p := p * p として、2. に戻もどる。

整数せいすうの内部ないぶ表現ひょうげんが二進法にしんほうであるコンピュータなら、4. では除算じょざんの代かわりにシフト演算えんざんを用もちいることができる。

この方式ほうしきは a が浮動ふどう小数点しょうすうてん数すうである場合ばあいや、最終さいしゅう結果けっかがレジスタに収おさまることがわかっている場合ばあいに効率こうりつが良よい。また乗算じょうざんにモンゴメリ乗算じょうざんなどを用もちいて冪べき剰余じょうよを計算けいさんする場合ばあいも、この方式ほうしきで充分じゅうぶんな効率こうりつが得えられる。

上位じょうい桁けたから計算けいさんする方式ほうしき

上うえの方式ほうしきと同様どうように、次つぎの性質せいしつを使つかう。

$a^{2x}=(a^{x})^{2}$

これに性質せいしつ $a^{x+1}=a^{x}\cdot a$ を組くみ合あわせると、次つぎの関係かんけいが成なり立たつ。

$a^{2x+1}=(a^{x})^{2}\cdot a$

指数しすうが偶数ぐうすうか奇数きすうかによってこれら二ふたつの式しきを使つかい分わけ、指数しすうを順次じゅんじ約やく1/2にしていくことができる。例たとえば $a^{43}$ は、

$a^{43}=a^{21\cdot 2+1}=(a^{21})^{2}\cdot a$

である。そして $a^{21}$ も同様どうように、

$a^{21}=a^{10\cdot 2+1}=(a^{10})^{2}\cdot a$

である。$a^{10}$ はこうなる。

$a^{10}=a^{5\cdot 2}=(a^{5})^{2}$

以下いか同様どうように、こうなる。

$a^{5}=a^{2\cdot 2+1}=(a^{2})^{2}\cdot a$

$a^{2}=a^{1\cdot 2}=(a^{1})^{2}$

$a^{1}=a$

これを逆順ぎゃくじゅんにたどり、

$a^{43}=(((((a)^{2})^{2}\cdot a)^{2})^{2}\cdot a)^{2}\cdot a$

として算出さんしゅつできる。（下図したずで「→」は乗算じょうざんを表あらわし、「⇒」は2乗じょうを表あらわす。）

a

a

a

↓

↓

↓

二に進しん表記ひょうき：

a1

⇒

a10

⇒

a100

→

a101

⇒

a1010

⇒

a10100

→

a10101

⇒

a101010

→

a101011

十じゅう進しん表記ひょうき：

a1

a2

a4

a5

a10

a20

a21

a42

a43

2乗じょうした後のちに a を乗算じょうざんするか否ひかは、指数しすう n を二に進しん表記ひょうきしたときの各かくビットが1であるか否ひかと一致いっちする。

コンピュータのアルゴリズムとして書かくとこうなる。

指数しすう n の二に進しん表記ひょうきを n とし、n の最下位さいかい桁けたを n[0]、最さい上位じょうい桁けたを n[m]、最下位さいかいから数かぞえて k 桁けた目めを n[k] と表記ひょうきする。

1. 結果けっか値ち v := 1 とし、
2. k := m とする（最さい上位じょうい）。
3. v := v * v
4. n[k] が 1 ならば v := v * a とする。
5. k := k − 1
6. k ≧ 0 なら 3. に戻もどる。

この方式ほうしきでは、4. における乗数じょうすうが常つねに a なので、下位かい桁けたから計算けいさんする方式ほうしきに比くらべて乗数じょうすうの桁数けたすうが小ちいさくなり、計算けいさん時間じかんがかからない。これは特とくに、レジスタに入はいりきらないような巨大きょだいな自然しぜん数すうを扱あつかう場合ばあいに顕著けんちょとなる。ただし（RSA暗号あんごうのように）冪べき乗じょうの剰余じょうよを計算けいさんする場合ばあいであって法ほうの大おおきさが a と同どう程度ていどならば、この効果こうかはない。

また 4. における乗数じょうすうが常つねに a なので、あらかじめ a が定数ていすう（2 や 10 など、またはディフィー・ヘルマン鍵かぎ共有きょうゆうの生成せいせい元もと g など）であることがわかっている場合ばあいには、4. の乗算じょうざんを最適さいてき化かをすることができる。

巨大きょだいな自然しぜん数すうの汎用はんよう的てきな冪べき算さんルーチン（a が小ちいさい可能かのう性せいが高たかい）や、a が小ちいさかったり定数ていすうであることがわかっている場合ばあい、冪べき乗じょうの剰余じょうよを計算けいさんする場合ばあいであってモンゴメリー演算えんざんを用もちいず別途べっと剰余じょうよを計算けいさんする場合ばあい、数かずを保持ほじするコストが高たかい場合ばあいなど、指数しすうを二に進しん表記ひょうきするコスト以上いじょうの効率こうりつが得えられる場合ばあいに選択せんたくされる。

参考さんこう文献ぶんけん

• 鈴木すずき真治しんじ「「指数しすう」はなぜ指数しすうと云いうのか? : その概念がいねんと用語ようごの歴史れきし的てき変遷へんせんを巡めぐって」『津田塾大学つだじゅくだいがく数学すうがく・計算けいさん機き科学かがく研究所けんきゅうじょ報ほう』、第だい24回かい数学すうがく史しシンポジウム(2013)第だい35巻かん、津田塾大学つだじゅくだいがく数学すうがく・計算けいさん機き科学かがく研究所けんきゅうじょ、315-397頁ぺーじ、2013年ねん。https://ci.nii.ac.jp/naid/40020080419。 PDFファイル (PDF)

関連かんれん文献ぶんけん

• 高木たかぎ貞治さだはる、1904、「第だい十じゅう一いち章しょう　冪べき及對數すう」、『新式しんしき算術さんじゅつ講義こうぎ』

関連かんれん項目こうもく

• 冪べき函数かんすう
• 指数しすう関数かんすう
• 対数たいすう関数かんすう
• 平方へいほう数すう
• 立方りっぽう数すう
• 2の冪べき
• 冪べき剰余じょうよ
• ゼロ除算じょざん
• 0の0乗じょう
• 冪べき乗じょう則そく

外部がいぶリンク

• ウィキソースには、新式しんしき算術さんじゅつ講義こうぎ/第だい十じゅう一いち章しょうの原文げんぶんがあります。
• Weisstein, Eric W. "Exponentiation". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• exponentiation in nLab
• exponentiation - PlanetMath.（英語えいご）