数学 すうがく における冪 べき 乗 じょう (べきじょう、べき乗 じょう 、英 えい : 仏 ふつ : 独 どく : exponentiation)または冪 べき 演算 えんざん (べきえんざん)は、底 そこ (てい、英 えい : base ) および冪 べき 指数 しすう (べきしすう、英 えい : exponent ) と呼 よ ばれる二 ふた つの数 かず に対 たい して定 さだ まる数学 すうがく 的 てき 算法 さんぽう である。その結果 けっか は冪 べき (べき、英 えい : power ) と呼 よ ばれる。表現 ひょうげん の揺 ゆ れにより同 おな じ概念 がいねん は日本語 にほんご で「累乗 るいじょう 」とも表現 ひょうげん されており、初等 しょとう 教育 きょういく ではこちらの表現 ひょうげん のほうが多 おお くなっている(本文 ほんぶん 参照 さんしょう )。
底 そこ (英語 えいご 版 ばん ) b および冪 べき 指数 しすう e をもつ冪 べき は、底 そこ の右肩 みぎかた に冪 べき 指数 しすう を乗 の せて be のように書 か かれる。
b
n
=
b
×
⋯
×
b
⏟
n
個 こ
{\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n{\text{ 個 こ }}}}
であり、bn は b の n -乗 じょう や、n -次 つぎ の b -冪 べき などと呼 よ ばれる。
特定 とくてい の冪 べき 指数 しすう に対 たい して、固有 こゆう の名前 なまえ が付 つ けられている。例 たと えば、冪 べき 指数 しすう が 2 である冪 べき (2 乗 じょう ) b 2 は「b の平方 へいほう (square of b )」または「b -自乗 じじょう (b -squared)」と呼 よ ばれ、冪 べき 指数 しすう が 3 である冪 べき (3 乗 じょう ) b 3 は「b の立方 りっぽう (cube of b , b -cubed)」と呼 よ ばれる。それ以降 いこう は 4 乗 じょう 、5 乗 じょう 、… というように「n 乗 の 」というい方 いかた が一般 いっぱん 的 てき である。
冪 べき 指数 しすう が −1 である冪 べき b −1 は 1/b であり、「b の逆数 ぎゃくすう 」(または乗法 じょうほう 逆 ぎゃく 元 もと )と呼 よ ばれる。一般 いっぱん に冪 べき 指数 しすう が負 まけ の整数 せいすう n である冪 べき bn は、b n × b m = b n + m という性質 せいしつ を保 たも つように、底 そこ b が 0 でないとき b n := 1/b −n と定義 ていぎ される。
冪 べき 乗 じょう は、任意 にんい の実数 じっすう または複素数 ふくそすう を冪 べき 指数 しすう とするように定義 ていぎ を拡張 かくちょう することができる。底 そこ および冪 べき 指数 しすう が実数 じっすう である冪 べき において、底 そこ を固定 こてい して冪 べき 指数 しすう を変数 へんすう と見 み なせば指数 しすう 函数 かんすう であり、冪 べき 指数 しすう を固定 こてい して底 そこ を変数 へんすう と見 み なせば冪 べき 函数 かんすう である。整数 せいすう 乗 じょう の冪 べき に限 かぎ れば、行列 ぎょうれつ などを含 ふく めた多種 たしゅ 多様 たよう な代数 だいすう 的 てき 対象 たいしょう に対 たい してもそれを底 そこ とする冪 べき を定義 ていぎ することができる。冪 べき 指数 しすう まで同種 どうしゅ の対象 たいしょう に拡張 かくちょう すると、その上 うえ で定義 ていぎ された自然 しぜん 指数 しすう 函数 かんすう と自然 しぜん 対数 たいすう 函数 かんすう をもつ完備 かんび ノルム環 たまき (例 たと えば実数 じっすう 全体 ぜんたい R や複素数 ふくそすう 全体 ぜんたい C など)を想定 そうてい するのが自然 しぜん である。
歴史 れきし 上 じょう に冪 べき が現 あらわ れたのは非常 ひじょう に古 ふる く、B.C.16世紀 せいき ごろに作成 さくせい された粘土 ねんど 板 ばん には平方 へいほう 数 すう 表 ひょう 、平方根 へいほうこん 表 ひょう 、立方根 りっぽうこん 表 ひょう や三 さん 平方 へいほう の定理 ていり について書 か かれており、エジプト、インド、ギリシアなどでも冪 べき の概念 がいねん は明示 めいじ されている。一方 いっぽう で、指数 しすう 法則 ほうそく に言明 げんめい する文献 ぶんけん は見当 みあ たらず「指数 しすう 概念 がいねん 」には未 いま だ到達 とうたつ していないと考 かんが えるべきであるが、冪 べき を意味 いみ する英単語 えいたんご "power" はギリシアの数学 すうがく 者 しゃ エウクレイデス (ユークリッド)が直線 ちょくせん の平方 へいほう を表 あらわ すのに用 もち いた語 かたり に起源 きげん がある[ 2] 。また、「原論 げんろん 」において指数 しすう 法則 ほうそく a m × a n = a m +n に相当 そうとう する命題 めいだい に言及 げんきゅう しているが、この時代 じだい には算式 さんしき は発明 はつめい されておらず、すべて言葉 ことば で表現 ひょうげん していた。
アルキメデス は 10 の冪 べき を扱 あつか うために必要 ひつよう となる指数 しすう 法則 ほうそく 10a • 10b = 10a + b を発見 はっけん し、証明 しょうめい した(『砂粒 さりゅう を数 かぞ えるもの 』を参照 さんしょう )。9世紀 せいき に、ペルシアの数学 すうがく 者 しゃ アル゠フワーリズミ は平方 へいほう を mal , 立方 りっぽう を kab で表 あらわ した。これを後 のち に中世 ちゅうせい イスラム の数学 すうがく 者 しゃ がそれぞれ m , k で表 あらわ す記法 きほう として用 もち いていることが、15世紀 せいき ごろのアル゠カラサディ (英語 えいご 版 ばん ) の仕事 しごと に見 み ることができる[ 3] 。
16世紀 せいき 後半 こうはん 、ヨスト・ビュルギ は冪 べき 指数 しすう をローマ数字 すうじ を用 もち いて表 あらわ した[ 4] 。
17世紀 せいき 初頭 しょとう 、今日 きょう 用 もち いられる現代 げんだい 的 てき な冪 べき 記法 きほう の最初 さいしょ の形 かたち は、ルネ・デカルト が著書 ちょしょ La Géométrie の一 いち 巻 かん において導入 どうにゅう した[ 5] 。
アイザック・ニュートン など一部 いちぶ の数学 すうがく 者 しゃ は冪 べき 指数 しすう は 2 乗 じょう よりも大 おお きな冪 べき に対 たい してだけ用 もち い、平方 へいほう は反復 はんぷく 積 せき として書 か き表 あらわ した。例 たと えば、多項式 たこうしき を ax + bxx + cx 3 + d のように書 か いた。
15世紀 せいき にニコラ・ショケ (英語 えいご 版 ばん ) は冪 べき 記法 きほう の一種 いっしゅ を用 もち い、それは後 ご の16世紀 せいき にハインリヒ・シュライベル (英語 えいご 版 ばん ) およびミハエル・スティーフェル (英語 えいご 版 ばん ) が用 もち いている。
16世紀 せいき にロバート・レコード は、square(二 に 次 じ ), cube(三 さん 次 じ ), zenzizenzic(四 よん 次 じ ), sursolid(五 ご 次 じ ), zenzicube(六 ろく 次 じ ), second sursolid(七 なな 次 じ ), zenzizenzizenzic(八 はち 次 じ (英語 えいご 版 ばん ) )の語 かたり を用 もち いた[ 6] 。4 乗 じょう については biquadrate(複 ふく 二 に 次 じ )の語 かたり も用 もち いられた。
歴史 れきし 的 てき には "involution" が冪 べき の同義語 どうぎご として用 もち いられていた[ 7] が現在 げんざい では稀 まれ であり、別 べつ の意味 いみ (対 たい 合 ごう )で用 もち いられているので混同 こんどう すべきではない。
冪 べき の肩 かた に書 か かれる数 かず のことを冪 べき 指数 しすう と呼 よ ぶ[ 8] が、冪 べき 指数 しすう を意味 いみ する用語 ようご として、英語 えいご ではしばしば exponent と index が同義 どうぎ 語 ご として用 もち いられる。この用語 ようご 選定 せんてい は18世紀 せいき 、19世紀 せいき を通 つう じて極 きわ めて曖昧 あいまい で個人 こじん の嗜好 しこう に委 ゆだ ねられていた。しかし、ガウス は、その著書 ちょしょ Disquisitiones Arithmeticae において通常 つうじょう の冪 べき 指数 しすう と数 かず 論 ろん 的 てき な指数 しすう を峻別 しゅんべつ する必要 ひつよう 性 せい から exponens は通常 つうじょう の冪 べき 指数 しすう 、index は数 かず 論 ろん 的 てき な指数 しすう を表 あらわ すものとして明確 めいかく に区別 くべつ し使 つか い分 わ けて解説 かいせつ に使用 しよう しており、この使 つか い分 わ けはディリクレ、デデキント、ヒルベルトを通 つう じて数 すう 論 ろん の世界 せかい での標準 ひょうじゅん となった。
もとをたどれば、1544年 ねん にミハエル・スティーフェルがラテン語 らてんご : "exponens" を造語 ぞうご し[ 10] 、対 たい して1586年 ねん にラザルス・シェーナーが数学 すうがく 者 しゃ ペトルス・ラムスの書籍 しょせき への補注 ほちゅう としてラテン語 らてんご : "index" を(スティーフェルが exponens と呼 よ んだものと同 おな じものを指 さ す意味 いみ で)用 もち いたのがそれぞれの語源 ごげん と考 かんが えられる。exponent と index はこれらの英語 えいご 翻訳 ほんやく であり、例 たと えば index はサミュエル・ジーク (英語 えいご 版 ばん ) が1696年 ねん に導入 どうにゅう した[ 2] 。
exponent と index の微妙 びみょう な使 つか い分 わ けと併用 へいよう の時代 じだい はここから始 はじ まり、その併用 へいよう のされ方 かた は国 くに と時代 じだい だけでなく個人 こじん によっても異 こと なった。イギリスは当初 とうしょ index が優勢 ゆうせい であり、これは聖 せい バーソロミューの大 だい 虐殺 ぎゃくさつ で殉死 じゅんし したラムスの著作 ちょさく がプロテスタント諸国 しょこく で非常 ひじょう に人気 にんき を集 あつ めたからだとの指摘 してき がある。
『冪 べき 』の字義 じぎ は「覆 おお う、覆 おお うもの」であって、『冖 』と同音 どうおん 同義 どうぎ である。江戸 えど 時代 じだい の和算 わさん 家 いえ は「冪 べき 」の略字 りゃくじ として「巾 はば 」を用 もち いていた[ 14] 。
第 だい 二 に 次 じ 世界 せかい 大戦 たいせん 後 ご の漢字 かんじ 制限 せいげん 政策 せいさく のもと、これらの字 じ は常用漢字 じょうようかんじ ・当用漢字 とうようかんじ に含 ふく まれず、1950年代 ねんだい 以降 いこう の学習 がくしゅう 参考 さんこう 書 しょ などの出版 しゅっぱん 物 ぶつ では仮名 かめい 書 が きで「べき乗 じょう 」または「累乗 るいじょう 」への書 か き換 か えが進 すす められ、結果 けっか として初等 しょとう 数学 すうがく の教科書 きょうかしょ ではもっぱら「累乗 るいじょう 」が用 もち いられた。
「冪 べき 集合 しゅうごう 」、「冪 べき 級数 きゅうすう 」などの高等 こうとう 学校 がっこう 以下 いか で扱 あつか われない多 おお くの概念 がいねん に対 たい しては、「冪 べき 」の部分 ぶぶん が置 お き換 か えられることはなく、例 たと えば「べき乗 じょう 集合 しゅうごう 」や「累乗 るいじょう 集合 しゅうごう 」などといった表現 ひょうげん はあまり生 しょう じていない。
実数 じっすう (または積 せき
×
{\displaystyle \times }
の定義 ていぎ された群 ぐん 、より一般 いっぱん には半 はん 群 ぐん )において、元 もと x と自然 しぜん 数 すう n に対 たい して
x n を
x
n
=
x
×
⋯
×
x
⏟
n
個 こ
{\displaystyle x^{n}=\underbrace {x\times \cdots \times x} _{n\ {\text{個 こ }}}}
で定義 ていぎ する(厳密 げんみつ には再帰 さいき 的 てき に定義 ていぎ する)。
上 うえ 付 つ き の n が書 か けない場合 ばあい には、 x ^n という表記 ひょうき を用 もち いることが多 おお い。
この操作 そうさ を「x の n 乗 じょう を取 と る」などといい、特 とく に n を固定 こてい して x を入力 にゅうりょく とする関数 かんすう (特 とく に実数 じっすう x の函数 かんすう )と見 み るときは、冪 べき 関数 かんすう という。
x の 2乗 じょう 、3乗 じょう は特 とく に、それぞれ x の平方 へいほう (へいほう、 英 えい : square )、立方 りっぽう (りっぽう、 英 えい : cube ) と呼 よ ばれ、2乗 じょう を特 とく に自乗 じじょう という場合 ばあい もある。
冪 べき x n において、x を底 そこ (てい、英 えい : base 、 基数 きすう )と呼 よ び、n を冪 べき 数 すう 、冪 べき 指数 しすう または単 たん に指数 しすう (しすう、 英 えい : exponent ) と呼 よ ぶ[ 注釈 ちゅうしゃく 1] 。必 かなら ずしも冪 べき 指数 しすう とは限 かぎ らない添字 そえじ n をその基準 きじゅん となる文字 もじ x の右肩 みぎかた に乗 の せる添字 そえじ 記法 きほう を指数 しすう 表記 ひょうき ・冪 べき 記法 きほう などとよぶ場合 ばあい もある。
厳密 げんみつ には、x の n 乗 の 冪 べき は
x 1 = x ,
x n +1 = x n × x (n ≥ 1)
によって再帰 さいき 的 てき に定義 ていぎ される。
帰納的 きのうてき 定義 ていぎ を見 み れば下 した のように拡張 かくちょう するのが自然 しぜん である。
有理数 ゆうりすう の範囲 はんい で2の冪 べき を例 れい に取 と ると:
ただし、底 そこ が 0 の場合 ばあい は「0 で割 わ れない」などの理由 りゆう から定義 ていぎ しないか、または 00 については 1 と定義 ていぎ するのが一般 いっぱん 的 てき である。
自然 しぜん 数 すう m に対 たい し、x の m 乗 の 根 ね すなわち m 乗 じょう して x になるような数 かず y がただ一 ひと つあるならば、その y を x 1/m とし、自然 しぜん 数 すう または整数 せいすう n に対 たい し
x n /m = (x 1/m )n
と定 さだ めることによって、x を底 そこ とする冪 べき 乗 じょう の指数 しすう を有理数 ゆうりすう の範囲 はんい まで拡張 かくちょう することができる。
このとき、指数 しすう 法則 ほうそく と呼 よ ばれる下 した の関係 かんけい 式 しき が成 な り立 た つ。
x r +s = x r × x s
x r ×s = (x r )s
ここで、r と s は、冪 べき が定義 ていぎ できる範囲 はんい の有理数 ゆうりすう である。つまり、x が逆 ぎゃく 元 もと をもたないなら自然 しぜん 数 すう 、逆 ぎゃく 元 もと はもつが冪 べき 根 ね をもたないなら整数 せいすう 、m 乗 の 根 ね をもつが逆 ぎゃく 元 もと をもたないならば m を分母 ぶんぼ とする正 せい の有理数 ゆうりすう 、逆 ぎゃく 元 もと も m 乗 の 根 ね ももつならば m を分母 ぶんぼ とする有理数 ゆうりすう である。
x が正 せい の実数 じっすう ならば、上 うえ で制限 せいげん されていた指数 しすう への条件 じょうけん は外 はず れる。
正数 せいすう ならば任意 にんい の自然 しぜん 数 すう m に対 たい する正 せい の m 乗 の 根 ね
x
m
{\displaystyle {\sqrt[{m}]{x}}}
がただ一 ひと つ存在 そんざい するので、正 せい の有理数 ゆうりすう
n
m
{\displaystyle {\frac {n}{m}}}
に対 たい し
x
n
m
=
(
x
m
)
n
=
x
n
m
{\displaystyle x^{\frac {n}{m}}={\bigl (}{\sqrt[{m}]{x}}{\bigr )}^{n}={\sqrt[{m}]{x^{n}}}}
と定 さだ めることができる。さらに、x が 0 でなければ逆 ぎゃく 元 もと が存在 そんざい するので、指数 しすう は有理数 ゆうりすう 全体 ぜんたい まで拡張 かくちょう される。
x (>0) の冪 べき は、その指数 しすう に関 かん して極限 きょくげん を取 と ることによって実数 じっすう 上 じょう の関数 かんすう に拡張 かくちょう され、連続 れんぞく 関数 かんすう になる。連続 れんぞく な拡張 かくちょう は一意 いちい であり、これを x を底 そこ とする指数 しすう 関数 かんすう と呼 よ ぶ。
複素数 ふくそすう z に対 たい して、函数 かんすう exp を級数 きゅうすう
exp
(
z
)
:=
∑
n
=
0
∞
z
n
n
!
{\displaystyle \exp(z):=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {z^{n}}{n!}}}
で定義 ていぎ する。この級数 きゅうすう は任意 にんい の複素数 ふくそすう z に対 たい して収束 しゅうそく する。特 とく に exp(1) ≕ e は自然 しぜん 対数 たいすう の底 そこ に等 ひと しく、任意 にんい の実数 じっすう x に対 たい して exp(x ) = ex (右辺 うへん は実数 じっすう e の実数 じっすう x 乗 じょう の意 い )である(したがって任意 にんい の複素数 ふくそすう に対 たい して ez ≔ exp(z ) とも書 か かれる[ 注釈 ちゅうしゃく 2] )。z ≔ x + iy (x, y は実数 じっすう )と表 あらわ すと、
exp
(
x
+
i
y
)
=
e
x
(
cos
y
+
i
sin
y
)
=
exp
(
x
)
cis
(
y
)
{\displaystyle \exp(x+iy)=e^{x}(\cos y+i\sin y)=\exp(x)\operatorname {cis} (y)}
が成 な り立 た つ(cis は純 じゅん 虚 きょ 指数 しすう 函数 かんすう )。特 とく に eiy = cos(y ) + i ⋅sin(y ) はオイラーの公式 こうしき と呼 よ ばれる関係 かんけい 式 しき である。
さらに、この関数 かんすう の「逆 ぎゃく 関数 かんすう 」を log と書 か けば、一般 いっぱん の複素数 ふくそすう w ≠ 0 に対 たい して
w
z
:=
e
z
log
w
{\displaystyle w^{z}:=e^{z\log w}}
と定義 ていぎ される。log が多 た 価 あたい 関数 かんすう なので、一般 いっぱん には値 ね が 1 つには定 さだ まらない。ただし、w = e の場合 ばあい には、上 うえ の冪 べき 級数 きゅうすう で定義 ていぎ したほうの意味 いみ で用 もち いるのが普通 ふつう である。
冪 べき 演算 えんざん は可 か 換 かわ でない(たとえば 23 = 8 , 32 = 9 , 8≠9. )。また結合 けつごう 的 てき でない(たとえば (23 )2 = 64 , 512 = 2(32 ) , 64≠512. )。
括弧 かっこ を用 もち いずに abc と書 か いたときには、これはふつう a (b c ) を意味 いみ する。すなわち冪 べき 演算 えんざん は右 みぎ 結合 けつごう 的 てき である(これは優先 ゆうせん 順位 じゅんい (precedence, 演算 えんざん 子 こ の優先 ゆうせん 順位 じゅんい )ではなく 、演算 えんざん 子 こ の結合 けつごう 性 せい (associativity, en:Operator associativity )のことである)。
以下 いか の一覧 いちらん 表 ひょう において多重 たじゅう 定義 ていぎ の虞 おそれ を除 のぞ くため、底 そこ は非 ひ 零 れい 実数 じっすう であるような冪 べき のみを考 かんが える。ただし、正 せい の冪 べき のみを考 かんが えるならば、底 そこ が 0 でも各 かく 法則 ほうそく は成 な り立 た つ。また以下 いか の一覧 いちらん において、有理数 ゆうりすう について分母 ぶんぼ が奇数 きすう あるいは偶数 ぐうすう であるというときは、常 つね にその有理数 ゆうりすう の既 すんで 約分 やくぶん 数表示 すうひょうじ における分母 ぶんぼ のことを言 い っているものとする。
指数 しすう 法則 ほうそく
規則 きそく
条件 じょうけん
a
0
=
1
{\displaystyle a^{0}=1}
a ≠ 0 は任意 にんい
a
−
r
=
1
a
r
{\displaystyle a^{-r}={\frac {1}{a^{r}}}}
a > 0 ならば r は任意 にんい の実数 じっすう
a < 0 ならば r は分母 ぶんぼ が奇数 きすう の任意 にんい の有理数 ゆうりすう
a
m
n
=
a
m
n
=
(
a
n
)
m
{\displaystyle a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}}
a > 0 ならば n は任意 にんい の自然 しぜん 数 すう で m は任意 にんい の整数 せいすう
a < 0 ならば n は任意 にんい の奇数 きすう で m は任意 にんい の整数 せいすう
a
r
+
s
=
a
r
⋅
a
s
{\displaystyle a^{r+s}=a^{r}\cdot a^{s}}
a > 0 ならば r, s は任意 にんい の実数 じっすう
a < 0 ならば r, s は分母 ぶんぼ が奇数 きすう の任意 にんい の有理数 ゆうりすう
a
r
−
s
=
a
r
a
s
{\displaystyle a^{r-s}={\frac {a^{r}}{a^{s}}}}
a > 0 ならば r, s は任意 にんい の実数 じっすう
a < 0 ならば r, s は分母 ぶんぼ が奇数 きすう の任意 にんい の有理数 ゆうりすう
(
a
⋅
b
)
r
=
a
r
⋅
b
r
{\displaystyle (a\cdot b)^{r}=a^{r}\cdot b^{r}}
a • b ≠ 0 ならば r は任意 にんい の自然 しぜん 数 すう 、あるいは任意 にんい の整数 せいすう
a > 0, b > 0 ならば r は任意 にんい の実数 じっすう
a, b の少 すく なくとも一方 いっぽう が負 まけ ならば r は分母 ぶんぼ が奇数 きすう の任意 にんい の有理数 ゆうりすう
(
a
b
)
r
=
a
r
b
r
{\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{r}={\frac {a^{r}}{b^{r}}}}
整数 せいすう r に対 たい して、[r ≥ 0 かつ b ≠ 0 ] または [r ≤ 0 かつ a ≠ 0 ] のとき
a > 0, b > 0 ならば r は任意 にんい の実数 じっすう
a, b の少 すく なくとも一方 いっぽう が負 まけ ならば r は分母 ぶんぼ が奇数 きすう の任意 にんい の有理数 ゆうりすう
(
a
r
)
s
=
a
r
⋅
s
{\displaystyle (a^{r})^{s}=a^{r\cdot s}}
a ≠ 0 ならば r, s は任意 にんい の整数 せいすう
a > 0 ならば r, s は任意 にんい の実数 じっすう
a < 0 ならば r, s は分母 ぶんぼ が奇数 きすう の任意 にんい の有理数 ゆうりすう
(
a
r
)
s
=
−
a
r
⋅
s
{\displaystyle (a^{r})^{s}=-a^{r\cdot s}}
a < 0 かつ有理数 ゆうりすう r, s に対 たい して、r および r • s は分母 ぶんぼ が奇数 きすう 、かつ r • s の分子 ぶんし が奇数 きすう のとき
(a r )s = ±a r • s に関 かん して
冪 べき 指数 しすう r, s の少 すく なくとも一方 いっぽう が無理 むり 数 すう であるとき、あるいはこれらの双方 そうほう が有理数 ゆうりすう だが r または r • s の少 すく なくとも一方 いっぽう の分母 ぶんぼ が偶数 ぐうすう となるときには、a < 0 に対 たい する (a r )s または ar • s は定義 ていぎ されない。それ以外 いがい のとき、この両者 りょうしゃ は定義 ていぎ されて符号 ふごう の違 ちが いを除 のぞ いて一致 いっち する。特 とく に両者 りょうしゃ は a > 0 ならば任意 にんい の実数 じっすう r, s に対 たい して一致 いっち し、また a ≠ 0 ならば任意 にんい の整数 せいすう r, s に対 たい して一致 いっち する。
a < 0 かつ r, s が整数 せいすう でない有理数 ゆうりすう であるときには可能 かのう 性 せい は二 に 通 とお り考 かんが えられ、どちらになるかは r の分子 ぶんし と s の分母 ぶんぼ の素因数 そいんすう 分解 ぶんかい が関係 かんけい する。式 しき (a r )s = ±a r • s の右辺 うへん の符号 ふごう は何 いず れが正 ただ しいのかを知 し るには a = −1 のときを見 み れば十分 じゅうぶん である(与 あた えられた r, s に対 たい して a = −1 のとき正 まさ しくなる方 ほう の符号 ふごう をとれば、任意 にんい の a < 0 についても成 な り立 た つ)。
a < 0 に対 たい して (a r )s = −a r • s が適用 てきよう されるならば、a ≠ 0 に対 たい して (a r )s = |a |r • s が成 な り立 た つ(冪 べき 指数 しすう が正 せい ならば a = 0 のときも成 な り立 た つ)。
例 たと えば、((−1)2 )1 ⁄2 = 1 および (−1)2 • 1 ⁄2 = −1 であるから、a < 0 に対 たい して √ a 2 = (a 2 )1 ⁄2 = −a 2 • 1 ⁄2 = −a , したがって任意 にんい の実数 じっすう a に対 たい して √ a 2 = |a | が成 な り立 た つ。
指数 しすう ・対数 たいすう 法則 ほうそく の不成立 ふせいりつ [ 編集 へんしゅう ]
正 せい の実数 じっすう に対 たい する冪 べき および対数 たいすう に関 かん する等式 とうしき のいくつかは、複素数 ふくそすう 冪 べき や複素 ふくそ 対数 たいすう がどのように一価 いっか 函数 かんすう として定義 ていぎ されようとも、複素数 ふくそすう に対 たい しては成 な りたないことが起 お こる。
等式 とうしき log(bx ) = x ⋅log(b ) は b が正 せい の実数 じっすう で x が実数 じっすう のときにはいつでも成 な り立 た つ。しかし、複素 ふくそ 対数 たいすう の主 しゅ 枝 えだ (英語 えいご 版 ばん ) に対 たい して
i
π ぱい
=
log
(
−
1
)
=
log
[
(
−
i
)
2
]
≠
2
log
(
−
i
)
=
2
(
−
i
π ぱい
2
)
=
−
i
π ぱい
{\displaystyle i\pi =\log(-1)=\log \left[(-i)^{2}\right]\neq 2\log(-i)=2\left(-{\frac {i\pi }{2}}\right)=-i\pi }
は反例 はんれい になる。複素 ふくそ 対数 たいすう のどの枝 えだ を用 もち いたかに関 かか わらず、この等式 とうしき には同様 どうよう の反例 はんれい が存在 そんざい する。(この結果 けっか のみを使 つか うものとすれば)
log
(
w
z
)
≡
z
⋅
log
(
w
)
(
mod
2
π ぱい
i
)
{\displaystyle \log(w^{z})\equiv z\cdot \log(w){\pmod {2\pi i}}}
であるとまでしか言 い えない。
この等式 とうしき は log を多 た 価 あたい 函数 かんすう と考 かんが えるときでさえ成 な りたない。log(wz ) の取 と り得 え る値 ね は z ⋅log(w ) の取 と り得 え る値 ね を部分 ぶぶん 集合 しゅうごう として含 ふく む。log(w ) の主 おも 値 ち を Log(w ) とし、m, n を任意 にんい の整数 せいすう とすると、両辺 りょうへん の取 と り得 え る値 ね は
{
log
(
w
z
)
}
=
{
z
⋅
Log
(
w
)
+
z
⋅
2
π ぱい
i
n
+
2
π ぱい
i
m
}
{\displaystyle \{\log(w^{z})\}=\{z\cdot \operatorname {Log} (w)+z\cdot 2\pi in+2\pi im\}}
{
z
⋅
log
w
}
=
{
z
⋅
Log
(
w
)
+
z
⋅
2
π ぱい
i
n
}
{\displaystyle \{z\cdot \log w\}=\{z\cdot \operatorname {Log} (w)+z\cdot 2\pi in\}}
である。等式 とうしき (bc )x = bx ⋅cx および (b /c )x = bx /cx は x が実数 じっすう でさらに b と c が正 せい の実数 じっすう ならば成 な り立 た つ。しかし主 しゅ 枝 えだ を用 もち いた計算 けいさん で
1
=
(
(
−
1
)
(
−
1
)
)
1
2
≠
(
−
1
)
1
2
(
−
1
)
1
2
=
−
1
{\displaystyle 1=((-1)(-1))^{\frac {1}{2}}\neq (-1)^{\frac {1}{2}}(-1)^{\frac {1}{2}}=-1}
および
i
=
(
−
1
)
1
2
=
(
1
−
1
)
1
2
≠
1
1
2
(
−
1
)
1
2
=
1
i
=
−
i
{\displaystyle i=(-1)^{\frac {1}{2}}=\left({\frac {1}{-1}}\right)^{\frac {1}{2}}\neq {\frac {1^{\frac {1}{2}}}{(-1)^{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{i}}=-i}
が反例 はんれい として示 しめ される。
他方 たほう 、x が整数 せいすう のときには任意 にんい の非 ひ 零 れい 複素数 ふくそすう に対 たい して成 な り立 た つ。
複素数 ふくそすう 冪 べき を多 た 価 あたい 函数 かんすう として考 かんが えれば、((−1)(−1))1/2 の取 と り得 え る値 ね は {1, −1} で、等式 とうしき は成 な り立 た つが {1} = {((−1)(−1))1/2 } と言 い うことは間違 まちが っている。等式 とうしき (ex )y = exy は x と y が実数 じっすう であるときには成 な り立 た つが、任意 にんい の複素数 ふくそすう に対 たい して正 ただ しいと仮定 かてい すると、Clausen et al. (1827) [ 15] の発見 はっけん した任意 にんい の
整数 せいすう n に
対 たい して、
e
1
+
2
π ぱい
i
n
=
e
1
e
2
π ぱい
i
n
=
e
⋅
1
=
e
{\displaystyle e^{1+2\pi in}=e^{1}e^{2\pi in}=e\cdot 1=e}
(
e
1
+
2
π ぱい
i
n
)
1
+
2
π ぱい
i
n
=
e
{\displaystyle (e^{1+2\pi in})^{1+2\pi in}=e}
e
1
+
4
π ぱい
i
n
−
4
π ぱい
2
n
2
=
e
{\displaystyle e^{1+4\pi in-4\pi ^{2}n^{2}}=e}
e
1
e
4
π ぱい
i
n
e
−
4
π ぱい
2
n
2
=
e
{\displaystyle e^{1}e^{4\pi in}e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=e}
e
−
4
π ぱい
2
n
2
=
1
{\displaystyle e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=1}
を
得 え るが、これは
n が
0 でないとき
誤 あやま りである。
という不 ふ 合理 ごうり が生 しょう じる。この推論 すいろん にはいくつも問題 もんだい がある:
主 おも な誤 あやま りは、二 に 行 ぎょう 目 め から三 さん 行 ぎょう 目 め に行 い くときに冪 べき の順番 じゅんばん を変 か えることで選 えら ばれる主 おも 値 ち が変 か わることである。
多 た 価 あたい 函数 かんすう の視点 してん から見 み ると、最初 さいしょ の誤 あやま りは更 さら に早 はや く起 お きている。一行 いっこう 目 め で暗 あん に e は実数 じっすう としているにも拘 かかわ らず、e 1+2π ぱい in の結果 けっか は複素数 ふくそすう であり、e + 0i と書 か いたほうがよい。二 に 行 ぎょう 目 め を実数 じっすう ではなくこの複素数 ふくそすう で置 お き換 か えることで、そこでの冪 べき が取 と れる値 ね を複数 ふくすう 持 も つようになる。二 に 行 ぎょう 目 め から三 さん 行 ぎょう 目 め で指数 しすう の順番 じゅんばん を変 か えたことも、取 と りうる値 ね の数 かず に影響 えいきょう を及 およ ぼす。(ez )w ≠ ezw だが、整数 せいすう n にわたって多 た 価 あたい な意味 いみ で (ez )w = e (z +2π ぱい in )w としたほうがよい。
冪 べき 演算 えんざん は任意 にんい のモノイド において定義 ていぎ できる[ 16] 。モノイドは単位 たんい 元 もと を持 も つ半 はん 群 ぐん 、すなわち適当 てきとう な集合 しゅうごう X を台 だい として合成 ごうせい あるいは乗法 じょうほう と呼 よ ばれる二 に 項 こう 演算 えんざん が定義 ていぎ される代数 だいすう 系 けい であって、その乗法 じょうほう が結合 けつごう 法則 ほうそく を満足 まんぞく し、かつ乗法 じょうほう 単位 たんい 元 もと 1X を持 も つものを言 い う。モノイドにおける自然 しぜん 数 すう 冪 べき は
x
0
:=
1
X
(
∀
x
∈
X
)
,
{\displaystyle x^{0}:=1_{X}\quad (\forall x\in X),}
x
n
+
1
:=
x
n
×
x
(
x
∈
X
,
n
∈
Z
≥
0
)
{\displaystyle x^{n+1}:=x^{n}\times x\quad (x\in X,\,n\in \mathbb {Z} _{\geq 0})}
として帰納的 きのうてき に定義 ていぎ することができる(先 さき の式 しき の右辺 うへん (の 1)は X の単位 たんい 元 もと 、後 ご の式 しき の左辺 さへん の 1 は自然 しぜん 数 すう の 1 で、当然 とうぜん だがこれらは互 たが いに別 べつ のものである)。特 とく に先 さき の式 しき (零 れい 乗 じょう すること)は「単位 たんい 元 もと を持 も つ」ことによって初 はじ めて意味 いみ を成 な す規約 きやく であることに注意 ちゅうい すべきである(空 そら 積 せき も参照 さんしょう のこと)。
モノイドの例 れい には群 ぐん や環 たまき (の乗法 じょうほう モノイド)のような数学 すうがく 的 てき に重要 じゅうよう な多 おお くの構造 こうぞう が含 ふく まれ、またより特定 とくてい の例 れい として行列 ぎょうれつ 環 たまき や体 からだ の場合 ばあい について後述 こうじゅつ する。
行列 ぎょうれつ および線型 せんけい 作用素 さようそ の冪 べき [ 編集 へんしゅう ]
正方 まさかた 行列 ぎょうれつ A に対 たい して A 自身 じしん の n 個 こ の積 せき を行列 ぎょうれつ の冪 べき と呼 よ ぶ。また A 0 は単位 たんい 行列 ぎょうれつ に等 ひと しいものと定義 ていぎ され[ 17] 、さらに A が可逆 かぎゃく ならば A −n ≔ (A −1 )n と定義 ていぎ する。
行列 ぎょうれつ の冪 べき は離散 りさん 力学 りきがく 系 けい (英語 えいご 版 ばん ) の文脈 ぶんみゃく でしばしば現 あらわ れる。そこでは行列 ぎょうれつ A は適当 てきとう な系 けい の状態 じょうたい ベクトル x を次 つぎ の状態 じょうたい Ax へ遷移 せんい させることを表 あらわ す[ 18] 。これは例 たと えばマルコフ連鎖 れんさ の標準 ひょうじゅん 的 てき な解釈 かいしゃく である。これにより、A 2 x は二 に 段階 だんかい 後 ご の系 けい の状態 じょうたい であり、以下 いか 同様 どうよう に An x は n 段階 だんかい 後 ご の系 けい の状態 じょうたい と理解 りかい される。つまり行列 ぎょうれつ の冪 べき An は現在 げんざい と n 段階 だんかい 後 ご の状態 じょうたい の間 あいだ の遷移 せんい 行列 ぎょうれつ であって、行列 ぎょうれつ の冪 べき を計算 けいさん することはこの力学 りきがく 系 けい の発展 はってん を解 と くことに等 ひと しい。便宜上 べんぎじょう 、多 おお くの場合 ばあい において行列 ぎょうれつ の冪 べき は固有値 こゆうち と固有 こゆう ベクトルを用 もち いて計算 けいさん することができる。
行列 ぎょうれつ を離 はな れてより一般 いっぱん の線型 せんけい 作用素 さようそ にも冪 べき 演算 えんざん は定 さだ められる。例 たと えば微分 びぶん 積分 せきぶん 学 がく における微分 びぶん 演算 えんざん d / dx は函数 かんすう f に作用 さよう して別 べつ の函数 かんすう df / dx = f' を与 あた える線型 せんけい 作用素 さようそ であり、この作用素 さようそ の n -乗 じょう は n -階 かい 微分 びぶん
(
d
d
x
)
n
f
(
x
)
=
d
n
d
x
n
f
(
x
)
=
f
(
n
)
(
x
)
{\displaystyle {\Bigl (}{\frac {d}{dx}}{\Big )}^{\!n}f(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=f^{(n)}(x)}
である。これは線型 せんけい 作用素 さようそ の離散 りさん 的 てき な冪 べき の例 れい であるが、作用素 さようそ の連続 れんぞく 的 てき な冪 べき が定義 ていぎ できたほうがよい場面 ばめん が多 おお く存在 そんざい する。C 0 -半 はん 群 ぐん の数学 すうがく 的 てき 理論 りろん はこのような事情 じじょう を出発 しゅっぱつ 点 てん としている[ 19] 。離散 りさん 冪 べき 指数 しすう に対 たい する行列 ぎょうれつ の冪 べき の計算 けいさん が離散 りさん 力学 りきがく 系 けい を解 と くことであったのと同様 どうよう に、連続 れんぞく 冪 べき 指数 しすう に対 たい する作用素 さようそ の冪 べき の計算 けいさん は連続 れんぞく 力学 りきがく 系 けい を解 と くことに等 ひと しい。そういった例 れい として熱 ねつ 方程式 ほうていしき 、シュレーディンガー方程式 ほうていしき 、波動 はどう 方程式 ほうていしき あるいはもっとほかの時間 じかん 発展 はってん を含 ふく む偏 へん 微分 びぶん 方程式 ほうていしき を挙 あ げることができる。このような冪 べき 演算 えんざん の特別 とくべつ の場合 ばあい として、微分 びぶん 演算 えんざん の非 ひ 整数 せいすう 乗 じょう は分数 ぶんすう 階 かい 微分 びぶん と呼 よ ばれ、分数 ぶんすう 階 かい 積分 せきぶん とともに、分数 ぶんすう 階 かい 微分 びぶん 積分 せきぶん 学 がく の基本 きほん 演算 えんざん の一 ひと つとなっている。
体 からだ は、四則 しそく 演算 えんざん が矛盾 むじゅん なく定義 ていぎ されそれらの馴染 なじ み深 ふか い性質 せいしつ が満足 まんぞく されるような代数 だいすう 的 てき 構造 こうぞう である。例 たと えば実数 じっすう 全体 ぜんたい は体 からだ を成 な す。複素数 ふくそすう の全体 ぜんたい 、有理数 ゆうりすう の全体 ぜんたい などもそうである。これら馴染 なじ み深 ふか い例 れい が全 すべ て無限 むげん 集合 しゅうごう であるのと異 こと なり、有限 ゆうげん 個 こ の元 もと しか持 も たない体 からだ も存在 そんざい する。そのもっとも簡単 かんたん な例 れい が二 に 元 げん 体 たい F 2 = {0,1} で、加法 かほう は 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 0 + 0 = 1 + 1 = 0 および乗法 じょうほう は 0 • 0 = 1 • 0 = 0 • 1 = 0, 1 • 1 = 1 で与 あた えられる。
有限 ゆうげん 体 たい における冪 べき 演算 えんざん は公開 こうかい 鍵 かぎ 暗号 あんごう に応用 おうよう を持 も つ。例 たと えばディフィー・ヘルマン鍵 かぎ 交換 こうかん は、有限 ゆうげん 体 たい における冪 べき は計算 けいさん 量的 りょうてき にコストが掛 か からないのに対 たい し、冪 べき の逆 ぎゃく である離散 りさん 対数 たいすう は計算 けいさん 量的 りょうてき にコストが掛 か かるという事実 じじつ を用 もち いている。
任意 にんい の有限 ゆうげん 体 たい F は、素数 そすう p がただ一 ひと つ存在 そんざい して、任意 にんい の x ∈ F に対 たい して px = 0 が成 な り立 た つ(x を p 個 こ 加 くわ えれば零 れい になる)という性質 せいしつ を持 も つ。例 たと えば二 に 元 げん 体 たい F 2 では p = 2 である。この素数 そすう p はその体 からだ の標 しるべ 数 すう と呼 よ ばれる。F を標 しるべ 数 すう p の体 からだ として F の各 かく 元 もと を p -乗 じょう する写像 しゃぞう f (x ) = x p を考 かんが える。これは F のフロベニュース自己 じこ 準 じゅん 同型 どうけい と呼 よ ばれる。新入生 しんにゅうせい の夢 ゆめ (英語 えいご 版 ばん ) (幼稚 ようち な二 に 項 こう 定理 ていり )とも呼 よ ばれる等式 とうしき (x + y )p = x p + y p がこの体 からだ においては成 な り立 た つため、フロベニュース自己 じこ 準 じゅん 同型 どうけい が実際 じっさい に体 からだ の自己 じこ 準 じゅん 同型 どうけい を与 あた えるものであることが確認 かくにん できる。フロベニュース自己 じこ 準 じゅん 同型 どうけい は F の素 もと 体 たい 上 じょう のガロワ群 ぐん の生成 せいせい 元 もと であるため数 かず 論 ろん において重要 じゅうよう である。
冪 べき 指数 しすう が整数 せいすう であるような冪 べき 演算 えんざん は抽象 ちゅうしょう 代 だい 数学 すうがく における極 きわ めて一般 いっぱん の構造 こうぞう に対 たい して定義 ていぎ することができる。
集合 しゅうごう X は乗法 じょうほう 的 てき に書 か かれた冪 べき 結合 けつごう 的 てき (英語 えいご 版 ばん ) 二 に 項 こう 演算 えんざん を持 も つもの:
(
x
i
x
j
)
x
k
=
x
i
(
x
j
x
k
)
(
∀
x
∈
X
)
{\displaystyle (x^{i}x^{j})x^{k}=x^{i}(x^{j}x^{k})\quad (\forall x\in X)}
とするとき、任意 にんい の x ∈ X と任意 にんい の自然 しぜん 数 すう n に対 たい して冪 べき xn は、x の n 個 こ のコピーの積 せき を表 あらわ すものとして
x
1
=
x
x
n
=
x
n
−
1
x
(
n
>
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}x^{1}&=x\\x^{n}&=x^{n-1}x\quad (n>1)\end{aligned}}}
のように帰納的 きのうてき に定義 ていぎ される。これは以下 いか のような性質 せいしつ
x
m
+
n
=
x
m
x
n
(
x
m
)
n
=
x
m
n
{\displaystyle {\begin{aligned}x^{m+n}&=x^{m}x^{n}\\(x^{m})^{n}&=x^{mn}\end{aligned}}}
を満足 まんぞく する。さらに、考 かんが えている演算 えんざん が両側 りょうがわ 単位 たんい 元 もと 1 を持 も つ:
∃
!
1
s.t.
x
1
=
1
x
=
x
(
∀
x
∈
X
)
{\displaystyle \exists !1{\text{ s.t. }}x1=1x=x\quad (\forall x\in X)}
ならば x 0 は任意 にんい の x に対 たい して 1 に等 ひと しいものと定義 ていぎ する。[要 よう 出典 しゅってん ]
さらにまた演算 えんざん が両側 りょうがわ 逆 ぎゃく 元 もと を持 も ち、なおかつ結合 けつごう 的 てき
x
x
−
1
=
x
−
1
x
=
1
,
(
x
y
)
z
=
x
(
y
z
)
{\displaystyle {\begin{aligned}xx^{-1}&=x^{-1}x=1,\\(xy)z&=x(yz)\end{aligned}}}
ならばマグマ X は群 ぐん を成 な す。このとき x の逆 ぎゃく 元 もと を x −1 と書 か けば、冪 べき 演算 えんざん に関 かん する通常 つうじょう の規則 きそく
x
−
n
=
(
x
−
1
)
n
x
m
−
n
=
x
m
x
−
n
{\displaystyle {\begin{aligned}x^{-n}&=\left(x^{-1}\right)^{n}\\x^{m-n}&=x^{m}x^{-n}\end{aligned}}}
はすべて満足 まんぞく される。また(例 たと えばアーベル群 ぐん のように)乗法 じょうほう 演算 えんざん が可 か 換 かわ ならば
(
x
y
)
n
=
x
n
y
n
{\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}}
も満足 まんぞく される。(アーベル群 ぐん が通常 つうじょう そうであるように)二 に 項 こう 演算 えんざん を加法 かほう 的 てき に書 か くならば、「冪 べき 演算 えんざん は累乗 るいじょう (反復 はんぷく 乗法 じょうほう )である」という主張 しゅちょう は「乗法 じょうほう は累加 るいか (反復 はんぷく 加法 かほう )である」という主張 しゅちょう に引 ひ き写 うつ され、各 かく 指数 しすう 法則 ほうそく は対応 たいおう する乗法 じょうほう 法則 ほうそく に引 ひ き写 うつ される。
一 ひと つの集合 しゅうごう 上 じょう に複数 ふくすう の冪 べき 結合 けつごう 的 てき に項 こう 演算 えんざん が定義 ていぎ されるときには、各 かく 演算 えんざん に関 かん して反復 はんぷく による冪 べき 演算 えんざん を考 かんが えることができるから、どれに関 かん する冪 べき かを明示 めいじ するために上 うえ 付 つ き添字 そえじ に反復 はんぷく したい演算 えんざん を表 あらわ す記号 きごう を併置 へいち する方法 ほうほう がよく用 もち いられる。つまり演算 えんざん ∗ および # が定義 ていぎ されるとき、x ∗n と書 か けば x ∗ ⋯ ∗ x を意味 いみ し、x #n と書 か けば x # ⋯ # x を意味 いみ するという具合 ぐあい である。
上 うえ 付 つ き添字 そえじ 記法 きほう は、特 とく に群論 ぐんろん において、共軛 きょうやく 変換 へんかん を表 あらわ すのにも用 もち いられる(即 すなわ ち、g, h を適当 てきとう な群 ぐん の元 もと として g h = h −1 gh )。この共軛 きょうやく 変換 へんかん は指数 しすう 法則 ほうそく と同様 どうよう の性質 せいしつ を一部 いちぶ 満足 まんぞく するけれども、これはいかなる意味 いみ においても反復 はんぷく 乗法 じょうほう としての冪 べき 演算 えんざん の例 れい ではない。カンドル はこれら共軛 きょうやく 変換 へんかん の性質 せいしつ が中心 ちゅうしん 的 てき な役割 やくわり を果 は たす代数 だいすう 的 てき 構造 こうぞう である。
自然 しぜん 数 すう n と任意 にんい の集合 しゅうごう A に対 たい して、式 しき An はしばしば A の元 もと からなる順序 じゅんじょ n -組 くみ 全体 ぜんたい の成 な す集合 しゅうごう を表 あらわ すのに用 もち いられる。これは An は集合 しゅうごう {0, 1, 2, …, n −1} から集合 しゅうごう A への写像 しゃぞう 全体 ぜんたい の成 な す集合 しゅうごう であると言 い っても同 おな じことである(n -組 ぐみ (a 0 , a 1 , a 2 , …, a n −1 ) は i を ai へ送 おく る写像 しゃぞう を表 あらわ す)。
無限 むげん 基数 きすう κ かっぱ と集合 しゅうごう A に対 たい しても、記号 きごう Aκ かっぱ は濃度 のうど κ かっぱ の集合 しゅうごう から A への写像 しゃぞう 全体 ぜんたい の成 な す集合 しゅうごう を表 あらわ すのに用 もち いられる。基数 きすう の冪 べき との区別 くべつ のために κ かっぱ A と書 か くこともある。
一般 いっぱん 化 か された冪 べき は、複数 ふくすう の集合 しゅうごう 上 じょう で定義 ていぎ される演算 えんざん や追加 ついか の構造 こうぞう を持 も つ集合 しゅうごう に対 たい しても定義 ていぎ することができる。例 たと えば、線型 せんけい 代数 だいすう 学 がく において勝手 かって な添字 そえじ 集合 しゅうごう 上 じょう でのベクトル空間 くうかん の直和 なおかず を考 かんが えることができる。つまり Vi をベクトル空間 くうかん として
⨁
i
∈
N
V
i
{\displaystyle \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }V_{i}}
を考 かんが えるとき、任意 にんい の i について V i = V とすれば得 え られる直和 なおかず を冪 べき 記法 きほう を用 もち いて V ⊕N あるいは直和 なおかず の意味 いみ であることが明 あき らかならば単 たん に V N のように書 か くことができる。ここで再 ふたた び集合 しゅうごう N を基数 きすう n で取 と り替 か えれば Vn を得 え る(濃度 のうど n を持 も つ特定 とくてい の標準 ひょうじゅん 的 てき な集合 しゅうごう を選 えら ぶことなしに、これは同型 どうけい を除 のぞ いて のみ定義 ていぎ される)。V として実数 じっすう 体 たい R を(それ自身 じしん の上 うえ のベクトル空間 くうかん と見 み て)とれば、n を適当 てきとう な自然 しぜん 数 すう として線型 せんけい 代数 だいすう 学 がく でもっともよく調 しら べられる実 じつ ベクトル空間 くうかん R n を得 え る。
冪 べき 演算 えんざん の底 そこ を集合 しゅうごう とするとき、何 なに も断 ことわ りがなければ冪 べき 演算 えんざん はデカルト積 つもる である。複数 ふくすう の集合 しゅうごう のデカルト積 つもる は n -組 ぐみ を与 あた え、n -組 ぐみ は適当 てきとう な濃度 のうど を持 も つ集合 しゅうごう 上 じょう で定義 ていぎ された写像 しゃぞう として表 あらわ すことができるのだから、この場合 ばあい 冪 べき SN は単 たん に N から S への写像 しゃぞう 全体 ぜんたい の成 な す集合 しゅうごう
S
N
≡
{
f
:
N
→
S
}
{\displaystyle S^{N}\equiv \{f\colon N\to S\}}
である。この定義 ていぎ は |S N | = |S ||N | が満 み たされるという意味 いみ で基数 きすう の冪 べき と整合 せいごう する。ただし |X| は X の濃度 のうど を表 あらわ す。"2 " を集合 しゅうごう {0, 1} として定義 ていぎ すれば |2X | = 2|X | が得 え られる。ここに 2X は X の冪 べき 集合 しゅうごう であり、普通 ふつう は 𝒫(X ) などで表 あらわ される。
デカルト閉圏 において、任意 にんい の対象 たいしょう に対 たい して別 べつ の任意 にんい の対象 たいしょう を冪 べき 指数 しすう とする冪 べき 演算 えんざん を冪 べき 対象 たいしょう によって与 あた えることができる。集合 しゅうごう の圏 けん における冪 べき 対象 たいしょう は配置 はいち 集合 しゅうごう であるから、これはその一般 いっぱん 化 か になっている。考 かんが えている圏 けん に始 はじめ 対象 たいしょう 0 が存在 そんざい するならば、冪 べき 対象 たいしょう 00 は任意 にんい の終 おわり 対象 たいしょう 1 に同型 どうけい である。
集合 しゅうごう 論 ろん では基数 きすう や順序 じゅんじょ 数 すう の冪 べき 演算 えんざん も定義 ていぎ される。
基数 きすう κ かっぱ , λ らむだ に対 たい して冪 べき κ かっぱ λ らむだ は基数 きすう λ らむだ の任意 にんい の集合 しゅうごう から基数 きすう κ かっぱ の任意 にんい の集合 しゅうごう への写像 しゃぞう 全体 ぜんたい の成 な す集合 しゅうごう の基数 きすう を表 あらわ す[ 20] 。κ かっぱ , λ らむだ がともに有限 ゆうげん ならばこれは通常 つうじょう の算術 さんじゅつ 的 てき な(つまり自然 しぜん 数 すう の)冪 べき 演算 えんざん と一致 いっち する(たとえば、二元 にげん 集合 しゅうごう から元 もと を取 と って得 え られる三 み つ組 ぐみ 全体 ぜんたい の成 な す集合 しゅうごう の基数 きすう は 8 = 23 で与 あた えられる)。基数 きすう の算術 さんじゅつ において κ かっぱ 0 は常 つね に(特 とく に κ かっぱ が無限 むげん 基数 きすう や 0 であるときでさえ)1 である。
基数 きすう の冪 べき は順序 じゅんじょ 数 すう の冪 べき とは異 こと なる。後者 こうしゃ は超 ちょう 限 きり 帰納 きのう 法 ほう を含 ふく む過程 かてい の極限 きょくげん として定義 ていぎ される。
自然 しぜん 数 すう 冪 べき が乗法 じょうほう の反復 はんぷく として考 かんが えられたことと同様 どうよう に、冪 べき 演算 えんざん を繰 く り返 かえ す演算 えんざん というものを定義 ていぎ することもできる。それをまた反復 はんぷく すれば別 べつ の演算 えんざん が定義 ていぎ され、同様 どうよう に繰 く り返 かえ してハイパー演算 えんざん の概念 がいねん を得 え る。このようにして得 え られるハイパー演算 えんざん の列 れつ において、次 つぎ の演算 えんざん は前 まえ の演算 えんざん に対 たい して急速 きゅうそく に増大 ぞうだい する。
写像 しゃぞう の冪 べき の記法 きほう に関 かん する注意 ちゅうい [ 編集 へんしゅう ]
写像 しゃぞう の冪 べき 乗 じょう となるべきものとして、写像 しゃぞう を表 あらわ す符牒 ふちょう の直後 ちょくご に整数 せいすう の上 うえ 付 つ き添字 そえじ を添 そ えたとき、それは(反復 はんぷく 乗法 じょうほう ではなくて)反復 はんぷく 合成 ごうせい 冪 べき の意味 いみ で用 もち いることがよく行 おこな われる。つまり例 たと えば f 3 (x ) は f (f (f (x ))) の意味 いみ であり、また特 とく に f −1 (x ) は f の逆 ぎゃく 写像 しゃぞう を意味 いみ するのが普通 ふつう である。反復 はんぷく 合成 ごうせい 写像 しゃぞう はフラクタル や力学 りきがく 系 けい の研究 けんきゅう において興味 きょうみ を持 も たれる。チャールズ・バベッジ は写像 しゃぞう の平方根 へいほうこん f 1/2 (x ) を求 もと める問題 もんだい を研究 けんきゅう した最初 さいしょ の人 ひと であった。
しかし歴史 れきし 的 てき 経緯 けいい により、三角 さんかく 函数 かんすう の場合 ばあい には、函数 かんすう の略号 りゃくごう に正 せい の冪 べき 指数 しすう を添 そ えたときは函数 かんすう の値 ね に対 たい して冪 べき を取 と ることを意味 いみ する一方 いっぽう で、−1 を冪 べき 指数 しすう としたときは逆 ぎゃく 函数 かんすう を意味 いみ するという特別 とくべつ な文法 ぶんぽう が適用 てきよう される。つまり、 sin2 x は (sin x )2 を括弧 かっこ を用 もち いずに略記 りゃっき する方法 ほうほう に過 す ぎない一方 いっぽう 、sin−1 x は逆 ぎゃく 正弦 せいげん 函数 かんすう arcsin x を意味 いみ するのである。三角 さんかく 函数 かんすう の逆数 ぎゃくすう 函数 かんすう は(例 たと えば 1/(sin x ) = (sin x )−1 = csc x のように)それぞれ固有 こゆう の名前 なまえ と略号 りゃくごう が与 あた えられているから、三角 さんかく 函数 かんすう の逆数 ぎゃくすう の略記 りゃっき 法 ほう は無用 むよう である。同様 どうよう の規約 きやく は対数 たいすう 函数 かんすう にも適用 てきよう され、log2 x はふつう (log x )2 の意味 いみ であって log log x の意味 いみ でない。
添字 そえじ 付 つ けられた変数 へんすう を考 かんが えるとき、その変数 へんすう の添字 そえじ を上 うえ 付 つ き にする場合 ばあい があり、それはあたかも冪 べき であるかのような印象 いんしょう を受 う けるかもしれないが混同 こんどう するべきではない。これは特 とく にテンソル解析 かいせき においてベクトル場 じょう の座標 ざひょう 表示 ひょうじ などで現 あらわ れる。あるいはまた数列 すうれつ の列 れつ のような、既 すで にそれ自身 じしん 添字 そえじ 付 つ けられているような量 りょう に対 たい してさらに添字 そえじ 付 づ けを行 おこな う場合 ばあい にもしばしば用 もち いられる。
函数 かんすう f の n -階 かい 導 しるべ 函数 かんすう はふつう f (n ) と書 か かれるように、冪 べき 記法 きほう は冪 べき 指数 しすう を括弧 かっこ で囲 かこ んで書 か くこともある。
コンピュータ上 じょう で指数 しすう を自然 しぜん 数 すう とする冪 べき 乗 じょう (累乗 るいじょう )を効率 こうりつ よく行 おこな う演算 えんざん 方法 ほうほう としてバイナリ法 ほう (二 に 進数 しんすう 法 ほう ; en:exponentiation by squaring ) とも呼 よ ばれる演算 えんざん 方法 ほうほう を示 しめ す。
RSA暗号 あんごう や確 かく 率 りつ 的 てき 素数 そすう 判定 はんてい 法 ほう であるフェルマーテスト などでは、巨大 きょだい な自然 しぜん 数 すう を指数 しすう とする累乗 るいじょう を行 おこな う。この方法 ほうほう を使 つか うと、指数 しすう がいかに巨大 きょだい であっても高々 たかだか そのビット 数 かず の2倍 ばい の回数 かいすう の乗算 じょうざん で算出 さんしゅつ することが可能 かのう になり、繰 く り返 かえ し掛 か けるよりも大幅 おおはば に効率 こうりつ がよくなる。特 とく にRSA暗号 あんごう やフェルマーテストなどにおいて各 かく 演算 えんざん 後 ご に必要 ひつよう となる剰余 じょうよ 演算 えんざん (一般 いっぱん に最 もっと も計算 けいさん 時間 じかん がかかる)の回数 かいすう を減 へ らす効果 こうか がある。
一般 いっぱん に、コンピュータにとって標準 ひょうじゅん 的 てき な(32ビット コンピュータならば約 やく 4億 おく までの)自然 しぜん 数 すう や浮動 ふどう 小数点 しょうすうてん 数 すう を底 そこ とする場合 ばあい は下位 かい 桁 けた から計算 けいさん する方式 ほうしき を、前述 ぜんじゅつ のような巨大 きょだい な自然 しぜん 数 すう を底 そこ とする場合 ばあい には上位 じょうい 桁 けた から計算 けいさん する方式 ほうしき を用 もち いると効率 こうりつ が良 よ い。
バイナリ法 ほう では、次 つぎ の性質 せいしつ を利用 りよう する。
(
a
x
)
2
=
a
2
x
{\displaystyle (a^{x})^{2}=a^{2x}}
例 たと えば (a 8 )2 = a 16 である。したがって、a (すなわち a 1 )から始 はじ めて2乗 じょう を繰 く り返 かえ すと次 つぎ 行 ぎょう のとおりになる。
a
1
→
a
2
→
a
4
→
a
8
→
a
16
→
a
32
→
⋯
{\displaystyle a^{1}\to a^{2}\to a^{4}\to a^{8}\to a^{16}\to a^{32}\to \cdots }
これらの数 かず のうち、適切 てきせつ なものを選 えら んで掛 か け合 あ わせれば、任意 にんい の累乗 るいじょう を速 はや く(すなわち少 すく ない乗算 じょうざん 回数 かいすう で)計算 けいさん することができる[ 21] 。例 たと えば a 43 は、指数 しすう 法則 ほうそく によって、
a
43
=
a
32
+
8
+
2
+
1
=
a
32
×
a
8
×
a
2
×
a
1
{\displaystyle a^{43}=a^{32+8+2+1}=a^{32}\times a^{8}\times a^{2}\times a^{1}}
として計算 けいさん することができる。乗算 じょうざん 回数 かいすう は 8 回 かい [ 注釈 ちゅうしゃく 3] で済 す むので、a を 42 回 かい 繰 く り返 かえ し掛 か け合 あ わせるのに比 くら べて効率 こうりつ が良 よ い。(下図 したず で「→」は乗算 じょうざん を表 あらわ し、「⇒」は2乗 じょう を表 あらわ す。)
(十 じゅう 進 しん 表記 ひょうき ):
a 1
a 2
a 4
a 8
a 16
a 32
2乗 じょう の繰返 くりかえ し(二 に 進 しん 表記 ひょうき ):
a 1
⇒
a 10
⇒
a 100
⇒
a 1000
⇒
a 10000
⇒
a 100000
↓
↓
↓
↓
累乗 るいじょう の計算 けいさん (二 に 進 しん 表記 ひょうき ):
a 1
→
a 11
─
──
→
a 1011
─
───
→
a 101011
(十 じゅう 進 しん 表記 ひょうき ):
a 1
a 3
a 11
a 43
コンピュータ のアルゴリズム として書 か くとこうなる。
指数 しすう を n とし、2乗 じょう していく値 ね p := a 、結果 けっか 値 ち v := 1 とする。
n が 0 なら、v を出力 しゅつりょく して終了 しゅうりょう する。
n の最下位 さいかい 桁 けた が 1 なら、v := v * p とする。
n := [n/2] とし(端 はし 数 すう 切捨 きりす て)、 p := p * p として、2. に戻 もど る。
整数 せいすう の内部 ないぶ 表現 ひょうげん が二進法 にしんほう であるコンピュータなら、4. では除算 じょざん の代 か わりにシフト演算 えんざん を用 もち いることができる。
この方式 ほうしき は a が浮動 ふどう 小数点 しょうすうてん 数 すう である場合 ばあい や、最終 さいしゅう 結果 けっか がレジスタに収 おさ まることがわかっている場合 ばあい に効率 こうりつ が良 よ い。また乗算 じょうざん にモンゴメリ乗算 じょうざん などを用 もち いて冪 べき 剰余 じょうよ を計算 けいさん する場合 ばあい も、この方式 ほうしき で充分 じゅうぶん な効率 こうりつ が得 え られる。
上 うえ の方式 ほうしき と同様 どうよう に、次 つぎ の性質 せいしつ を使 つか う。
a
2
x
=
(
a
x
)
2
{\displaystyle a^{2x}=(a^{x})^{2}}
これに性質 せいしつ
a
x
+
1
=
a
x
⋅
a
{\displaystyle a^{x+1}=a^{x}\cdot a}
を組 く み合 あ わせると、次 つぎ の関係 かんけい が成 な り立 た つ。
a
2
x
+
1
=
(
a
x
)
2
⋅
a
{\displaystyle a^{2x+1}=(a^{x})^{2}\cdot a}
指数 しすう が偶数 ぐうすう か奇数 きすう かによってこれら二 ふた つの式 しき を使 つか い分 わ け、指数 しすう を順次 じゅんじ 約 やく 1/2にしていくことができる。例 たと えば
a
43
{\displaystyle a^{43}}
は、
a
43
=
a
21
⋅
2
+
1
=
(
a
21
)
2
⋅
a
{\displaystyle a^{43}=a^{21\cdot 2+1}=(a^{21})^{2}\cdot a}
である。そして
a
21
{\displaystyle a^{21}}
も同様 どうよう に、
a
21
=
a
10
⋅
2
+
1
=
(
a
10
)
2
⋅
a
{\displaystyle a^{21}=a^{10\cdot 2+1}=(a^{10})^{2}\cdot a}
である。
a
10
{\displaystyle a^{10}}
はこうなる。
a
10
=
a
5
⋅
2
=
(
a
5
)
2
{\displaystyle a^{10}=a^{5\cdot 2}=(a^{5})^{2}}
以下 いか 同様 どうよう に、こうなる。
a
5
=
a
2
⋅
2
+
1
=
(
a
2
)
2
⋅
a
{\displaystyle a^{5}=a^{2\cdot 2+1}=(a^{2})^{2}\cdot a}
a
2
=
a
1
⋅
2
=
(
a
1
)
2
{\displaystyle a^{2}=a^{1\cdot 2}=(a^{1})^{2}}
a
1
=
a
{\displaystyle a^{1}=a}
これを逆順 ぎゃくじゅん にたどり、
a
43
=
(
(
(
(
(
a
)
2
)
2
⋅
a
)
2
)
2
⋅
a
)
2
⋅
a
{\displaystyle a^{43}=(((((a)^{2})^{2}\cdot a)^{2})^{2}\cdot a)^{2}\cdot a}
として算出 さんしゅつ できる[ 注釈 ちゅうしゃく 4] 。(下図 したず で「→」は乗算 じょうざん を表 あらわ し、「⇒」は2乗 じょう を表 あらわ す。)
a
a
a
↓
↓
↓
二 に 進 しん 表記 ひょうき :
a 1
⇒
a 10
⇒
a 100
→
a 101
⇒
a 1010
⇒
a 10100
→
a 10101
⇒
a 101010
→
a 101011
十 じゅう 進 しん 表記 ひょうき :
a 1
a 2
a 4
a 5
a 10
a 20
a 21
a 42
a 43
2乗 じょう した後 のち に a を乗算 じょうざん するか否 ひ かは、指数 しすう n を二 に 進 しん 表記 ひょうき したときの各 かく ビットが1であるか否 ひ かと一致 いっち する。
コンピュータのアルゴリズムとして書 か くとこうなる。
指数 しすう n の二 に 進 しん 表記 ひょうき を n とし、n の最下位 さいかい 桁 けた を n[0]、最 さい 上位 じょうい 桁 けた を n[m]、最下位 さいかい から数 かぞ えて k 桁 けた 目 め を n[k] と表記 ひょうき する。
結果 けっか 値 ち v := 1 とし、
k := m とする(最 さい 上位 じょうい )。
v := v * v
n[k] が 1 ならば v := v * a とする。
k := k − 1
k ≧ 0 なら 3. に戻 もど る。
この方式 ほうしき では、4. における乗数 じょうすう が常 つね に a なので、下位 かい 桁 けた から計算 けいさん する方式 ほうしき に比 くら べて乗数 じょうすう の桁数 けたすう が小 ちい さくなり、計算 けいさん 時間 じかん がかからない。これは特 とく に、レジスタに入 はい りきらないような巨大 きょだい な自然 しぜん 数 すう を扱 あつか う場合 ばあい に顕著 けんちょ となる。ただし(RSA暗号 あんごう のように)冪 べき 乗 じょう の剰余 じょうよ を計算 けいさん する場合 ばあい であって法 ほう の大 おお きさが a と同 どう 程度 ていど ならば、この効果 こうか はない。
また 4. における乗数 じょうすう が常 つね に a なので、あらかじめ a が定数 ていすう (2 や 10 など、またはディフィー・ヘルマン鍵 かぎ 共有 きょうゆう の生成 せいせい 元 もと g など)であることがわかっている場合 ばあい には、4. の乗算 じょうざん を最適 さいてき 化 か をすることができる。
巨大 きょだい な自然 しぜん 数 すう の汎用 はんよう 的 てき な冪 べき 算 さん ルーチン(a が小 ちい さい可能 かのう 性 せい が高 たか い)や、a が小 ちい さかったり定数 ていすう であることがわかっている場合 ばあい 、冪 べき 乗 じょう の剰余 じょうよ を計算 けいさん する場合 ばあい であってモンゴメリー演算 えんざん を用 もち いず別途 べっと 剰余 じょうよ を計算 けいさん する場合 ばあい 、数 かず を保持 ほじ するコストが高 たか い場合 ばあい など、指数 しすう を二 に 進 しん 表記 ひょうき するコスト以上 いじょう の効率 こうりつ が得 え られる場合 ばあい に選択 せんたく される。
^ 単 たん に「指数 しすう 」と呼 よ ぶ場合 ばあい 、"exponent" に限 かぎ らず、(数学 すうがく に限 かぎ っても)種々 しゅじゅ の index を意味 いみ する場合 ばあい も多 おお く、文脈 ぶんみゃく に注意 ちゅうい を要 よう する(たとえば部分 ぶぶん 群 ぐん の指数 しすう )。また、(必 かなら ずしも冪 べき 指数 しすう のことでない)"exponent" の訳 わけ として冪 べき 数 すう が用 もち いられることもある(たとえば群 ぐん の冪 べき 数 すう )。
^ このような実 じつ 函数 かんすう の複素 ふくそ 解析 かいせき 的 てき 延長 えんちょう は一意 いちい に定 さだ まる。
^ 乗算 じょうざん 回数 かいすう は、
a
32
=
{\displaystyle a^{32}=}
(
(
(
(
a
2
)
2
)
2
)
2
)
2
{\displaystyle ((((a^{2})^{2})^{2})^{2})^{2}}
を計算 けいさん するのに 5 回 かい 、
a
1
×
a
2
×
a
8
×
a
32
{\displaystyle a^{1}\times a^{2}\times a^{8}\times a^{32}}
に 3 回 かい の、合計 ごうけい 8 回 かい かかる。
^ この場合 ばあい の乗算 じょうざん 回数 かいすう も、下位 かい 桁 けた から計算 けいさん するのと同 おな じく合計 ごうけい 8 回 かい かかる。
^ a b O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , “Etymology of some common mathematical terms” , MacTutor History of Mathematics archive , University of St Andrews , https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miscellaneous/Mathematical_notation/ .
^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , “Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi” , MacTutor History of Mathematics archive , University of St Andrews , https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Qalasadi/ .
^ Cajori, Florian (2007). A History of Mathematical Notations, Vol I. Cosimo Classics. Pg 344. ISBN 1602066841
^ René Descartes, Discourse de la Méthode ... (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: La Géométrie , book one, page 299. From page 299: " ... Et aa, ou a2 , pour multiplier a par soy mesme; Et a3 , pour le multiplier encore une fois par a, & ainsi a l'infini ; ... " ( ... and aa , or a 2 , in order to multiply a by itself; and a 3 , in order to multiply it once more by a , and thus to infinity ; ... )
^ Quinion, Michael. “Zenzizenzizenzic - the eighth power of a number ”. World Wide Words. 2010年 ねん 3月 がつ 19日 にち 閲覧 えつらん 。
^ This definition of "involution" appears in the OED second edition, 1989, and Merriam-Webster online dictionary [1] . The most recent usage in this sense cited by the OED is from 1806.
^ 小学館 しょうがくかん デジタル大辞泉 だいじせん 「冪 べき 指数 しすう 」[2]
^ See:
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
Michael Stifel, Arithmetica integra (Nuremberg ("Norimberga"), (Germany): Johannes Petreius, 1544), Liber III (Book 3), Caput III (Chapter 3): De Algorithmo numerorum Cossicorum. (On algorithms of algebra.), page 236. Stifel was trying to conveniently represent the terms of geometric progressions. He devised a cumbersome notation for doing that. On page 236, he presented the notation for the first eight terms of a geometric progression (using 1 as a base) and then he wrote: "Quemadmodum autem hic vides, quemlibet terminum progressionis cossicæ, suum habere exponentem in suo ordine (ut 1ze habet 1. 1ʓ habet 2 &c.) sic quilibet numerus cossicus, servat exponentem suæ denominationis implicite, qui ei serviat & utilis sit, potissimus in multiplicatione & divisione, ut paulo inferius dicam." (However, you see how each term of the progression has its exponent in its order (as 1ze has a 1, 1ʓ has a 2, etc.), so each number is implicitly subject to the exponent of its denomination, which [in turn] is subject to it and is useful mainly in multiplication and division, as I will mention just below.) [Note: Most of Stifel's cumbersome symbols were taken from Christoff Rudolff , who in turn took them from Leonardo Fibonacci's Liber Abaci (1202), where they served as shorthand symbols for the Latin words res /radix (x), census /zensus (x 2 ), and cubus (x 3 ).]
^ 王 おう 青 あお 翔 しょう 『「算木 さんぎ 」を超 こ えた男 おとこ 』東洋 とうよう 書店 しょてん 、東京 とうきょう 、1999年 ねん 。ISBN 4-88595-226-3 。
^ Steiner, J.; Clausen, T.; Abel, N. H. (January 1827). “Aufgaben und Lehrsatze, erstere aufzulosen, letztere zu beweisen [Problems and propositions, the former to solve, the later to prove]” . Journal für die reine und angewandte Mathematik (Berlin : Walter de Gruyter ) 2 : 286-287. doi :10.1515/crll.1827.2.96 . ISSN 0075-4102 . OCLC 1782270 . http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=270662 .
^ Nicolas Bourbaki (1970). Algèbre . Springer , I.2
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高木 たかぎ 貞治 さだはる 、1904、「第 だい 十 じゅう 一 いち 章 しょう 冪 べき 及對數 すう 」、『新式 しんしき 算術 さんじゅつ 講義 こうぎ 』
ウィキメディア・コモンズには、
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