バナッハ環たまき

数学すうがくの、特とくに関数かんすう解析かいせき学がくの分野ぶんやにおけるバナッハ環たまき^{[注釈ちゅうしゃく 1]}（バナッハかん、英えい: Banach algebra; バナッハ代数だいすう、バナッハ多元たげん環たまき、バナッハ線型せんけい環たまき）は、完備かんびノルム体たい（ふつうは実数じっすう体からだ $R$ または複素数ふくそすう体からだ $C$ ^{[注釈ちゅうしゃく 2]}）上じょうの結合けつごう多元たげん環たまき $A$ であって、バナッハ空間くうかん（ノルムが存在そんざいし、ノルムの誘導ゆうどうする位相いそう（ドイツ語ご版ばん）に関かんして完備かんび）ともなる。バナッハ代数だいすうにおけるノルムは乗法じょうほうに関かんして

劣れつ乗法じょうほう性せい:

\|x\,y\|\ \leq \|x\|\,\|y\|\quad (\forall x,y\in A)

を満みたすことが要求ようきゅうされ、それにより乗法じょうほうの連続れんぞく性せいは保証ほしょうされる。名称めいしょうはステファン・バナッハに由来ゆらいする。

上述じょうじゅつの定義ていぎにおいて、バナッハ空間くうかんをノルム空間くうかんに緩ゆるめる（つまり完備かんび性せいを要請ようせいしない）場合ばあい、同様どうようの構造こうぞうはノルム環たまき（ノルム線型せんけい環たまき）と呼よばれる。

バナッハ環たまきは、ノルムが $1$ の乗法じょうほう単位たんい元もとを持もつとき、単位たんい的てき（unital）であると言いう^{[注釈ちゅうしゃく 3]}。また乗法じょうほうが可か換かわであるとき、可か換かわと言いう。単位たんい元もとを持もつ持もたないにかかわらず、任意にんいのバナッハ環たまき $A$ は適当てきとうな単位たんい的てきバナッハ環たまき（つまり $A$ の「単位たんい化か」） $A e$ にこの閉イデアルとなるように等ひとし長ちょう的てきに埋うめ込こめる。しばしば、扱あつかっている環たまきは単位たんい的てきであるということがアプリオリに仮定かていされる。すなわち、 $A e$ を考かんがえることで多おおくの理論りろんを展開てんかいでき、その結果けっかを元もとの環たまきに応用おうようするという方法ほうほうが取とられることがある。しかしこの方法ほうほうは常つねに有効ゆうこうという訳わけではない。例たとえば、単位たんい元もとを持もたないバナッハ環たまきにおいては、すべての三角さんかく関数かんすうを定義ていぎすることが出来できない。

実じつバナッハ環たまきの理論りろんは、複素ふくそバナッハ環たまきの理論りろんとは非常ひじょうに異ことなるものである。例たとえば、非ひ自明じめいな複素ふくそバナッハ環たまきの元もとのスペクトルは決けっして空そらとはならないが、実じつバナッハ環たまきにおいてはいくつかの元もとのスペクトルは空そらとなり得える。

$p$ -進数しんすう体からだ $Q p$ 上うえのバナッハ代数だいすう（ $p$ -進すすむバナッハ代数だいすう）は、 $p$ -進すすむ解析かいせきの一部いちぶとして研究けんきゅうされる。

例れい[編集へんしゅう]

バナッハ環たまきの原型げんけいとなる例れいは、局所きょくしょコンパクト（ハウスドルフ）空間くうかん上じょうの（複素ふくそ数値すうち）連続れんぞく関数かんすうで、無限むげん大だいにおいて消失しょうしつするようなものからなる空間くうかん $C 0 (X)$ である。 $C 0 (X)$ が単位たんい的てきであるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、 $X$ がコンパクトであることである。複素ふくそ共役きょうやくを対たい合ごうとして、 $C 0 (X)$ は実際じっさいには $C*$ -環たまきである。より一般いっぱんに、すべての $C*$ -環たまきはバナッハ環たまきである。

実みまたは複素数ふくそすう全体ぜんたいの成なす体からだは、絶対ぜったい値ちをノルムとしてバナッハ代数だいすう $(R, |•|)$ または $(C, |•|)$ を成なす。このとき、ノルムの劣れつ乗法じょうほう性せいは「絶対ぜったい値ちの乗法じょうほう性せい」によって等号とうごうを以って成立せいりつする。
すべての実じつまたは複素ふくそ $n \times n$ 正方まさかた行列ぎょうれつの成なす集合しゅうごう $Mat(n; R)$ または $Mat(n; C$ は、劣れつ乗法じょうほう的てき行列ぎょうれつノルムを備そなえることで、単位たんい的てきバナッハ環たまきとなる。
数かずバナッハ空間くうかん $R n$ （あるいは $C n$ ）は、（数かずベクトル空間くうかんの構造こうぞうと）最大さいだい値ちノルム $‖ x ‖ ≔ max 1\leq i \leq n | x i |$ および成分せいぶんごとの乗算じょうざん $(x 1, \dots, x n)\cdot(y 1, \dots, y n) = (x 1 \cdot y 1, \dots, x n \cdot y n)$ によって得えられる。
四よん元げん数すうの全体ぜんたい $H$ は、その絶対ぜったい値ちで与あたえられるノルムによって、4-次元じげん実じつバナッハ環たまきを構成こうせいする。
（点てんごとの乗算じょうざんと上限じょうげんノルムを備そなえる）集合しゅうごう $X$ 上うえで定義ていぎされるすべての有界ゆうかいな実じつまたは複素ふくそ数値すうち関数かんすうからなる環たまき $B (X; R)$ または $B (X; C$ は、単位たんい的てきバナッハ環たまきである。
（再ふたたび、点てんごとの乗算じょうざんと上限じょうげんノルムを備そなえる）局所きょくしょコンパクト空間くうかん $X$ 上うえで定義ていぎされるすべての有界ゆうかいな実じつまたは複素ふくそ数値すうち連続れんぞく関数かんすうからなる環たまき $CB (X; R)$ または $CB (X; C)$ は、バナッハ環たまきである。
（関数かんすうの合成ごうせいで乗算じょうざんを定さだめ、作用素さようそノルムをノルムとする）バナッハ空間くうかん E 上うえのすべての連続れんぞく線型せんけい作用素さようそからなる環たまきは、単位たんい的てきバナッハ環たまきである。E 上うえのすべてのコンパクト作用素さようその集合しゅうごうは、この環たまきにおける閉イデアルである。
$G$ が局所きょくしょコンパクト群ぐん（すなわち、位相いそう空間くうかんとして局所きょくしょコンパクトかつハウスドルフであるような位相いそう群ぐん）で、そのハール測度そくどを $μ みゅー$ とすれば、 $G$ 上うえのすべての $μ みゅー$ -可か積分せきぶん関数かんすうからなるバナッハ空間くうかん $L 1 (G)$ は、その元もと $x, y$ に対たいする畳たたみ込こみ $xy (g) = \int x (h) y (h -1 g) d μ みゅー (h)$ の下もとで、バナッハ環たまきとなる。（位相いそう群ぐんの群ぐん環たまきの項こうも参照さんしょう）
一様いちよう環たまき：連続れんぞく函数かんすう環たまき $C (X)$ の部分ぶぶん環たまきで上限じょうげんノルムを備そなえ、定数ていすうを含ふくみ、 $X$ の点てんを分離ぶんりする（ $X$ はコンパクトハウスドルフ空間くうかんでなければならない）ようなバナッハ環たまき。
自然しぜんバナッハ関数かんすう環たまき：すべての指標しひょう（character）が X の点てんでの評価ひょうか（evaluation）であるような一いち様よう環たまき。
C*-環たまき：ヒルベルト空間くうかん上うえの有界ゆうかい作用素さようそ環たまきの閉 ∗-部分ぶぶん環たまき。
測度そくど環たまき（英語えいご版ばん）：局所きょくしょコンパクト群ぐん上うえのラドン測度そくど全体ぜんたいの成なすバナッハ環たまきで、二ふたつの測度そくどの積せきは測度そくどの畳たたみ込こみで与あたえられる。

性質せいしつ[編集へんしゅう]

冪べき級数きゅうすうを介かいして定義ていぎされるいくつかの初等しょとう関数かんすうは、任意にんいの単位たんい的てきバナッハ環たまきにおいて定義ていぎされうる。そのような例れいとして、指数しすう関数かんすうや三角さんかく関数かんすう、さらに一般いっぱん的てきな任意にんいの整せい関数かんすうが挙あげられる（特とくに、指数しすう写像しゃぞうは抽象ちゅうしょう指数しすう群ぐん（英語えいご版ばん）を定義ていぎするために用もちいられる）。幾何級数きかきゅうすうの公式こうしきは、一般いっぱんの単位たんい的てきバナッハ環たまきにおいても依然いぜんとして有効ゆうこうである。二に項こう定理ていりもまた、バナッハ環たまきの二ふたつの可か換かわな元もとに対たいして成立せいりつする。

任意にんいの単位たんい的てきバナッハ環たまき $A$ において可逆かぎゃく元もと全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう $A \times$ は開ひらけ集合しゅうごうであり、その集合しゅうごう上じょうで反転はんてん $x \mapsto x -1$ は連続れんぞく（したがって位相いそう同型どうけい）ゆえ、 $A \times$ は乗法じょうほうに関かんして位相いそう群ぐんを成なす。（位相いそう線型せんけい環たまき#性質せいしつも参照さんしょう）

バナッハ環たまきが単位たんい元もと $1$ を持もつなら、 $1$ は交換こうかん子こにはなり得えない。すなわち、任意にんいの $x, y \in A$ に対たいして $xy-yx\neq \mathbf {1}$ となる。

上述じょうじゅつの例れいに現あらわれる様々さまざまな関数かんすう環たまきは、実数じっすう環たまきのような標準ひょうじゅん的てきな例れいとは大おおきく異ことなる性質せいしつを持もつ。それは例たとえば、以下いかのようなものである：

可か除じょ多元たげん環たまきであるようなすべての実じつバナッハ環たまきは、実数じっすう環たまき、複素数ふくそすう環たまきあるいは四よん元げん数すう環たまきと同型どうけいである。したがって、可か除じょ多元たげん環たまきであるような複素ふくそバナッハ環たまきは、複素数ふくそすう環たまきのみである（この事実じじつはゲルファント＝マズールの定理ていりとして知しられる）。
零れい因子いんしを持もたず、すべての主しゅイデアルが閉であるような単位たんい的てき実じつバナッハ環たまきは、実数じっすう環たまき、複素数ふくそすう環たまきあるいは四よん元げん数すう環たまきと同型どうけいである。
零れい因子いんしを持もたない可か換かわな実じつ単位たんい的てきネーターバナッハ環たまきは、実数じっすう環たまきあるいは複素数ふくそすう環たまきと同型どうけいである。
（零れい因子いんしを持もつ持もたないにかかわらず）可か換かわな実じつ単位たんい的てきネーターバナッハ環たまきは、有限ゆうげん次元じげんである。
バナッハ環たまきの恒つね特異とくい元もと（permanently singular elements）の概念がいねんは位相いそう的てき零れい因子いんし（英語えいご版ばん）の概念がいねんに一致いっちする。すなわち、バナッハ環たまき $A$ に対たいしてその拡大かくだいバナッハ環たまき $B$ を考かんがえるとき、 $A$ における特異とくい元もとのうちには適当てきとうな拡大かくだいバナッハ環たまき $B$ 内うちにその乗法じょうほう的てき逆ぎゃく元もとを持もつものが存在そんざいするが、 $A$ の位相いそう的てき零れい因子いんしは $A$ の任意にんいのバナッハ拡大かくだい $B$ において恒つねに特異とくいである。

スペクトル論ろん[編集へんしゅう]

詳細しょうさいは「スペクトル論ろん」を参照さんしょう

複素数ふくそすう体たい上じょうの単位たんい的てきバナッハ環たまきは、スペクトル論ろんを構成こうせいするための一般いっぱん的てきな舞台ぶたいとなる。各かく元もと $x \in A$ のスペクトル（spectrum） $σ しぐま (x)$ は、 $x - λ らむだ \cdot 1$ が $A$ において可逆かぎゃくとならないようなすべての複素ふくそスカラー $λ らむだ$ の集合しゅうごうである。任意にんいの元もと $x$ のスペクトルは、 $C$ 内うちの $0$ を中心ちゅうしんとする半径はんけい $‖ x ‖$ の閉円板ばんに含ふくまれる閉部分ぶぶん集合しゅうごうであり、したがってコンパクトである。さらに、各かく元もと $x$ のスペクトル $σ しぐま (x)$ は空そらではなく、スペクトル半径はんけい公式こうしき

\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}=\lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}

を満みたす。 $x \in A$ が与あたえられたとき、正則せいそく汎ひろし関数かんすう計算けいさん（英語えいご版ばん）によって、 $σ しぐま (x)$ の近傍きんぼうで正則せいそくな任意にんいの関数かんすう $ƒ$ に対たいし、 $ƒ (x) \in A$ を定義ていぎすることが出来できる。さらに、スペクトル写像しゃぞう定理ていり:

\sigma (f(x))=f(\sigma (x))

が成なり立たつ^[2]。バナッハ環たまき $A$ が、複素ふくそバナッハ空間くうかん $X$ の有界ゆうかい線型せんけい作用素さようそ環たまき $L (X)$ （例たとえば、正方まさかた行列ぎょうれつ環たまき）ならば、 $A$ におけるスペクトルの概念がいねんは、作用素さようそ論ろんにおける通常つうじょうの概念がいねんと一致いっちする。コンパクトハウスドルフ空間くうかん $X$ 上うえで定義ていぎされた $ƒ \in C (X)$ に対たいして

\sigma (f)=\{f(t):t\in X\}

が確たしかめられる。 $C*$ -環たまきの正規せいき元もと $x$ のノルムは、そのスペクトル半径はんけいと一致いっちする。これは正規せいき作用素さようそに対たいする同様どうようの事実じじつの一般いっぱん化かである。

$A$ を複素ふくそ単位たんい的てきバナッハ環たまきで、すべての非ひゼロ元げん $x$ は可逆かぎゃくであるとする（すなわち、可か除じょ多元たげん環たまき）。どの $a \in A$ に対たいしても、 $a - λ らむだ \cdot 1$ が可逆かぎゃくでないような $λ らむだ \in C$ が存在そんざいする（これは $a$ のスペクトルが空そらではないことによる）から、 $a = λ らむだ \cdot 1$ となり、この環たまき $A$ は $C$ に自然しぜん同型どうけいである。これはゲルファント＝マズールの定理ていりの複素数ふくそすうの場合ばあいである。

イデアルと指標しひょう[編集へんしゅう]

$A$ を $C$ 上うえの単位たんい的てき「可か換かわ」バナッハ環たまきとする。 $A$ は単位たんい元もとを持もつ可か換かわ環たまきであるため、 $A$ の各かく非ひ可逆かぎゃく元もとは $A$ の適当てきとうな極大きょくだいイデアルに属ぞくす。 $A$ 内うちの極大きょくだいイデアル ${\mathfrak {m}}$ は閉であるため、 $A/{\mathfrak {m}}$ は体からだであるようなバナッハ環たまきであり、ゲルファント＝マズールの定理ていりから、 $A$ のすべての極大きょくだいイデアルの集合しゅうごうと $A$ から $C$ へのすべての非ひゼロな準じゅん同型どうけいの集合しゅうごう $Δ でるた (A)$ の間あいだには全ぜん単たん射しゃが存在そんざいすることが分わかる。集合しゅうごう $Δ でるた (A)$ は $A$ の構造こうぞう空間くうかん（英語えいご版ばん）あるいは指標しひょう空間くうかん（character space）と呼よばれ、その元もとは指標しひょう（character）と呼よばれる。

指標しひょう $χ かい$ は $A$ 上うえの線型せんけい汎ひろし関数かんすうで、乗法じょうほう的てき $χ かい (ab) = χ かい (a)\cdot χ かい (b)$ かつ $χ かい (1) = 1$ を満みたす。指標しひょうの核かくは閉であるような極大きょくだいイデアルであるため、すべての指標しひょうは自動的じどうてきに $A$ から $C$ への連続れんぞく写像しゃぞうとなる。さらに、指標しひょうのノルム（すなわち作用素さようそノルム）は $1$ である。 $A$ 上うえの各かく点てん収束しゅうそくの位相いそう（すなわち、 $A *$ の弱じゃく-∗ 位相いそうより導みちびかれる位相いそう）が備そなえられることで、指標しひょう空間くうかん $Δ でるた (A)$ はコンパクトなハウスドルフ空間くうかんとなる。

任意にんいの $x \in A$ に対たいし

\sigma (x)=\sigma ({\hat {x}})

が成立せいりつする。ここで $ˆ x$ は $x$ のゲルファント表現ひょうげん（英語えいご版ばん）、すなわち $ˆ x (χ かい) = χ かい (x)$ で与あたえられる $Δ でるた (A)$ から $C$ への連続れんぞく関数かんすうである。上述じょうじゅつの式しきにおいて、 $ˆ x$ のスペクトルは、コンパクト空間くうかん $Δ でるた (A)$ 上うえの複素ふくそ連続れんぞく関数かんすうの環たまき $C (Δ でるた (A))$ の元もととしてのスペクトルである。明あきらかに

\sigma ({\hat {x}})=\{\chi (x):\chi \in \Delta (A)\}

が成立せいりつする。環たまきとして、単位たんい的てき可か換かわバナッハ環たまきが半はん単純たんじゅん（すなわち、ジャコブソン根基こんきがゼロ）であるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、そのゲルファント表現ひょうげんが自明じめいな核かくを持もつことである。そのような環たまきの重要じゅうような一いち例れいは、可か換かわな $C*$ -環たまきである。実際じっさい、 $A$ が可か換かわな単位たんい的てき $C*$ -環たまきであるなら、ゲルファント表現ひょうげん $A$ と $C (Δ でるた (A))$ の間あいだの等とう長ちょう ∗-同型どうけいとなる^{[注釈ちゅうしゃく 4]}。

脚注きゃくちゅう[編集へんしゅう]

注釈ちゅうしゃく[編集へんしゅう]

^ 狭義きょうぎにバナッハ環たまき (Banach ring) という場合ばあい、係数けいすう体たいやスカラー乗法じょうほうを考かんがえないものをいう。
^ に絶対ぜったい値ちをノルムとして入いれたもの。他たには $p$ -進数しんすう体からだ $Q p$ などの非ひアルキメデス付値つけね体たいなどを考かんがえることもできる
^ 特とくに、乗法じょうほう単位たんい元もとを持もつが非ひ単位たんい的てきなバナッハ代数だいすうというものが存在そんざいする^[1]
^ 証明しょうめい：可か換かわ $C*$ -環たまきのすべての元もとは正規せいきであるため、そのゲルファント表現ひょうげんは等ひとし長ちょうとなる。特とくに、それは単たん射しゃでありその像ぞうは閉となる。しかしゲルファント表現ひょうげんの像ぞうは、ストーン＝ワイエルシュトラスの定理ていりより稠密ちゅうみつとなる。

出典しゅってん[編集へんしゅう]

^ 例れいの一ひとつは Banach algebra in nLab 2. Examples の後段こうだん
^ Takesaki, Theory of Operator Algebras I. Proposition 2.8.

参考さんこう文献ぶんけん[編集へんしゅう]

Béla Bollobás (1990). Linear Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-38729-9
Frank F. Bonsall, John Duncan (1973). Complete Normed Algebras. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-06386-2
H. Garth Dales, Pietro Aeina, Jörg Eschmeier, Kjeld Laursen, George A. Willis (2003). Introduction to Banach Algebras, Operators and Harmonic Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-53584-0
Richard D. Mosak (1975). Banach algebras. Chicago Lectures in Mathematics. ISBN 0-226-54203-3

外部がいぶリンク[編集へんしゅう]

Moslehian, Mohammad Sal; Weisstein, Eric W. "Banach Algebra". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
Banach algebra - PlanetMath.（英語えいご）
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Banach algebra”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Banach algebra in nLab

[1] 狭義きょうぎにバナッハ環たまき (Banach ring) という場合ばあい、係数けいすう体たいやスカラー乗法じょうほうを考かんがえないものをいう。

[2] に絶対ぜったい値ちをノルムとして入いれたもの。他たには $p$ -進数しんすう体からだ $Q p$ などの非ひアルキメデス付値つけね体たいなどを考かんがえることもできる

[4] 特とくに、乗法じょうほう単位たんい元もとを持もつが非ひ単位たんい的てきなバナッハ代数だいすうというものが存在そんざいする^[1]

[6] 証明しょうめい：可か換かわ $C*$ -環たまきのすべての元もとは正規せいきであるため、そのゲルファント表現ひょうげんは等ひとし長ちょうとなる。特とくに、それは単たん射しゃでありその像ぞうは閉となる。しかしゲルファント表現ひょうげんの像ぞうは、ストーン＝ワイエルシュトラスの定理ていりより稠密ちゅうみつとなる。

[3] 例れいの一ひとつは Banach algebra in nLab 2. Examples の後段こうだん

[5] Takesaki, Theory of Operator Algebras I. Proposition 2.8.

[注釈ちゅうしゃく 1]

[注釈ちゅうしゃく 2]

[注釈ちゅうしゃく 3]

[2]

[注釈ちゅうしゃく 4]

[1]