等比とうひ数列すうれつ

等比とうひ数列すうれつ（とうひすうれつ）または幾何きか数列すうれつ（きかすうれつ、英えい: geometric progression, geometric sequence）は、隣となり合あう2つの項こうの比ひが項こう番号ばんごうによらず等ひとしい数列すうれつをいう。各項かくこうに共通きょうつうするその一定いっていの比ひのことを公おおやけ比ひ（こうひ、英えい: common ratio）という。

例たとえば初はつ項こうが 4, 公おおやけ比ひが 3 の等比とうひ数列すうれつの最初さいしょの数すう項こうを列挙れっきょすると 4, 12, 36, 108, … となる。ある数列すうれつについて、隣となり合あう項こうの比ひ（この場合ばあい、12/4, 36/12, 108/36, …）が常つねに等ひとしいならその数列すうれつは等比とうひ数列すうれつである。

等比とうひ数列すうれつ {a_n} について、（定義ていぎより公おおやけ比ひは 0 でないため）公おおやけ比ひ r は任意にんいの n 番ばん目めの項こうとその次つぎの項こうの比ひ r = a_n+1/a_n から得えられる（特とくに r = 1 の場合ばあいは公差こうさが 0 の等差とうさ数列すうれつでもある）。等比とうひ数列すうれつの各項かくこうは初はつ項こう a と公おおやけ比ひ r を用もちいて具体ぐたい的てきに以下いかのように表あらわせる。

$$a,\,ar,\,ar^{2},\,\dots ,\,ar^{n},\,\dots \,.$$

a₀ を初はつ項こうとすれば、n 番ばん目めの項こう a_n は以下いかのように表あらわせる。

$$a_{n}=ar^{n}.$$

これが等比とうひ数列すうれつの一般いっぱん項こうである。

性質せいしつ

等比とうひ数列すうれつを漸やや化か式しきで表あらわすと、

$${\begin{cases}a_{0}&=a\\a_{n+1}&=ra_{n}&(n\geq 0)\end{cases}}$$

となる。

公おおやけ比ひ r が負まけの場合ばあいは符号ふごうが一いち項こうずつ入いれ替かわる。r = −|r| と置おき換かえると、

$$a_{n}=a(-|r|)^{n}=(-1)^{n}a|r|^{n}$$

となり、各項かくこうは n が奇数きすうなら初はつ項こうと異い符号ふごうになり、偶数ぐうすうなら初はつ項こうと同どう符号ふごうとなる。 公おおやけ比ひが負まけの数列すうれつとして、例たとえば　3, −6, 12, −24, …　なる公おおやけ比ひ −2 の等比とうひ数列すうれつを考かんがえると、その一般いっぱん項こうは

$$a_{n}=3\cdot (-2)^{n}=(-1)^{n}\,3\cdot 2^{n}$$

となる。公おおやけ比ひが正せいであれば全すべての項こうは初はつ項こうと同おなじ符号ふごうを持もつ。

形式けいしき的てきに等比とうひ数列すうれつの一般いっぱん項こうの対数たいすうをとると

$$\log a_{n}=\log a+n\log r$$

となり、数列すうれつ log a_n は初はつ項こう log a 、公差こうさ log r の等差とうさ数列すうれつになる。

等比とうひ数列すうれつの連続れんぞくする3項こうを小ちいさい順じゅんから a, b, c とすると、常つねに b² = ac が成なり立たつ。

等比とうひ数列すうれつの和わ

等比とうひ数列すうれつの初はつ項こうから第だい n 項こうまでの和わは以下いかの式しきで定義ていぎされる。

$\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}ar^{k}=a+ar+\dotsb +ar^{n}$

r ≠ 1 の場合ばあい、(1 − r) を掛かけると、

${\begin{aligned}(1-r)\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}ar^{k}&=a(1-r)\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}r^{k}\\&=a(1-r)(1+r+\dotsb +r^{n-1}+r^{n})\\&=a\left((1+{\bcancel {r+\dotsb +r^{n-1}+r^{n}}})\right.\\&\left.-({\bcancel {r+r^{2}+\dotsb +r^{n}}}+r^{n+1})\right)\\&=a(1-r^{n+1})\end{aligned}}$

となるので、等比とうひ数列すうれつの和わは以下いかのように変形へんけいできる。

$\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}ar^{k}={\dfrac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}\quad (r\neq 1)\,.$

ただし、r = 1 の場合ばあいは

$\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}a=(n+1)a$

である。第だい m 項こうから第だい n 項こうまでの和わは

$\textstyle \sum \limits _{k=m}^{n}ar^{k}=\sum \limits _{k=0}^{n}ar^{k}-\sum \limits _{k=0}^{m-1}ar^{k}={\dfrac {a(r^{m}-r^{n+1})}{1-r}}\quad (r\neq 1)\,.$

等比とうひ級数きゅうすう

等比とうひ数列すうれつの級数きゅうすう（総和そうわ）を等比とうひ級数きゅうすうまたは幾何級数きかきゅうすうと呼よぶ。例たとえば初はつ項こう a, 公おおやけ比ひ r の等比とうひ級数きゅうすうは以下いかのように書かける：

$$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=a+ar+\dotsb +ar^{k}+\dotsb {}\,.$$

等比とうひ級数きゅうすうは初はつ項こうが 0 （a = 0）の場合ばあいや公おおやけ比ひの絶対ぜったい値ちが 1 より小ちいさい（|r| < 1）場合ばあいに収束しゅうそくする。逆ぎゃくに、初はつ項こうが 0 でなく（a ≠ 0）公おおやけ比ひの絶対ぜったい値ちが 1 以上いじょう（|r| ≥ 1）の場合ばあいには等比とうひ級数きゅうすうは発散はっさんする。

無限むげん級数きゅうすうは数列すうれつの第だい n 項こうまでの部分ぶぶん和わの極限きょくげんとして定義ていぎされる。等比とうひ級数きゅうすうが収束しゅうそくすることは、以下いかの部分ぶぶん和わの極限きょくげんが収束しゅうそくすることから確たしかめられる。

$${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}&:=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}ar^{k}\\&=a\lim _{n\to \infty }{\frac {\;1-r^{n+1}}{1-r\;}}\\&{\overset {|r|<1}{=}}{\frac {a}{1-r}}\end{aligned}}$$

例たとえば公おおやけ比ひ 1/2 で初はつ項こうが 1 の等比とうひ級数きゅうすうは 2 に収束しゅうそくする：

$$\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}={\frac {1}{1-{\tfrac {1}{2}}}}=2\,.$$

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ という幾何級数きかきゅうすうが 2 に収束しゅうそくすることを幾何きか学がく的てきに示しめした図ず。

関連かんれん項目こうもく

• 級数きゅうすう
• 数列すうれつ
• 超ちょう幾何級数きかきゅうすう
• 等差とうさ数列すうれつ
• ねずみ算ざん

外部がいぶリンク

• 竹之内たけのうち脩おさむ『等比とうひ数列すうれつ』 - コトバンク
• 世界せかい大だい百科ひゃっか事典じてん『等比とうひ級数きゅうすう』 - コトバンク
• 『等比とうひ数列すうれつの和わの公式こうしき（例題れいだい・証明しょうめい・応用おうよう）』 - 高校こうこう数学すうがくの美うつくしい物語ものがたり
• Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• Weisstein, Eric W. "Geometric Series". mathworld.wolfram.com (英語えいご).