立方りっぽう数すう

立方りっぽう数すう（りっぽうすう、（英えい: cubic number）とは、図形ずけい数すうの一種いっしゅであり、正ただし^{[注釈ちゅうしゃく 1]}の整数せいすうの3乗じょうとなる数かずである^[1]（例れい： $8 = 2 3 = 2 \times 2 \times 2$ ）。図形ずけい的てきには1辺へんの長ながさが $n$ の正せい六面体ろくめんたい（立方体りっぽうたい）の体積たいせきが立方りっぽう数すう $n 3 = n \times n \times n$ に対応たいおうする。

最小さいしょうの立方りっぽう数すうは 1 であり、小ちいさい順じゅんに列記れっきすると 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, … である（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A578）。

立方りっぽう数すうの性質せいしつ

1を除のぞく全すべての立方りっぽう数すうは、連続れんぞくする2つの三角さんかく数すうの平方へいほうの差さとして表あらわされる。

n^{3}=\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}k^{3}-\sum \limits _{k=1}^{n-1}k^{3}=\left\{{\dfrac {n(n+1)}{2}}\right\}^{2}-\left\{{\dfrac {(n-1)n}{2}}\right\}^{2}\quad n\geqq 2

立方りっぽう数すうの列れつの第だい2階かい差さ数列すうれつは公差こうさ $6$ の等差とうさ数列すうれつであり、第だい3階かい差さ数列すうれつは定数ていすう列れつ $6$ である。したがって立方りっぽう数すうの列れつは3階かい等差とうさ数列すうれつである。

フィボナッチ数列すうれつに現あらわれる立方りっぽう数すうは、1 と 8 のみといわれている。

立方りっぽう数すうを2つの立方りっぽう数すうの和わとして表あらわすことはできない。

詳細しょうさいは「フェルマーの最終さいしゅう定理ていり」を参照さんしょう

立方りっぽう数すうのうち平方へいほう数すうでもある数かずは $n 6$ と表あらわせる。また、約数やくすうを7個こ持もつ数かずは全すべて素数そすうを6乗じょうした数かずである。

立方りっぽう数すうの和わ

1 から n 番ばん目めの立方りっぽう数すう n³ までの和わは n 番ばん目めの三角さんかく数すうの2乗じょうに等ひとしい^{[注釈ちゅうしゃく 2]}： $\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}k^{3}={\dfrac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}=\left\{{\dfrac {n(n+1)}{2}}\right\}^{2}=\left(\sum \limits _{k=1}^{n}k\right)^{2}$ $\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}k^{3}={\dfrac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}=\left\{{\dfrac {n(n+1)}{2}}\right\}^{2}=\left(\sum \limits _{k=1}^{n}k\right)^{2}$
- 具体ぐたい的てきには 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, … である（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A000537）
立方りっぽう数すうの逆数ぎゃくすう和わは次つぎの値ねに収束しゅうそくする： $\textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {1}{n^{3}}}={\dfrac {2\pi ^{2}}{7}}\log 2+{\dfrac {16}{7}}\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\log \sin x\,dx$ $\textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {1}{n^{3}}}={\dfrac {2\pi ^{2}}{7}}\log 2+{\dfrac {16}{7}}\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\log \sin x\,dx$
- この値ねは 1.202056903159594… であり、アペリーの定数ていすうとよばれる
すべての自然しぜん数すうは9個こ以下いかの立方りっぽう数すうの和わとして表あらわされる（ウェアリングの問題もんだい）
- このうち丁度ちょうど9個この立方りっぽう数すうの和わで表あらわされる数かずは $23, 239$ だけである
2通とおりの方法ほうほうで、2つの立方りっぽう数すうの和わとして表あらわされる最小さいしょうの自然しぜん数すうは 1729 = 12³ + 1³ = 10³ + 9³ である
- 負まけの整数せいすうを含ふくめると絶対ぜったい値ち最小さいしょうは $91 = 3 3 + 4 3 = 6 3 + (-5) 3$ （ただし $0, 1$ は除のぞく）

詳細しょうさいは「キャブタクシー数すう」、「タクシー数すう」、および「シュリニヴァーサ・ラマヌジャン」を参照さんしょう

奇数きすうの立方りっぽう和わは 1, 28, 153, 496, 1225, 2556, 4753, 8128, 13041, 19900, … である（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A002593）
偶数ぐうすうの立方りっぽう和わは 8, 72, 288, 800, 1800, 3528, 6272, 10368, 16200, 24200, … である（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A254371）
連続れんぞくする3つの立方りっぽう数すうの和わは 36, 99, 216, 405, 684, 1071, 1584, 2241, 3060, 4059, 5256, 6669, 8316, 10215, … である（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A027602）
連続れんぞくする4つの立方りっぽう数すうの和わは 100, 224, 432, 748, 1196, 1800, 2584, 3572, 4788, 6256, 8000, 10044,…である（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A027603）
連続れんぞくする5つの立方りっぽう数すうの和わは 225, 440, 775, 1260, 1925, 2800, 3915, 5300, 6985, 9000, 11375, …である（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A027604）
連続れんぞくする立方りっぽう数すうの和わとして複数ふくすう通どおりに表あらわせる数かずは 216, 8000, 33075, 64000, 89559, 105525, 164800, 188784, 189189, 216000, … である（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A265845）
連続れんぞくする3つ以上いじょうの立方りっぽう数すうの和わとして表あらわせる立方りっぽう数すうは 216, 8000, 64000, 216000, … である（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A131643）

脚注きゃくちゅう

[脚注きゃくちゅうの使つかい方かた]

注釈ちゅうしゃく

^ 0 を含ふくめるかは文献ぶんけんによって異ことなる。例たとえば MathWorld の “Cubic Number” の項こうでは正せいの整数せいすうに限かぎっている。一方いっぽうで OEIS A578 では 0 を含ふくむ定義ていぎになっている。
^ この性質せいしつは視覚しかく的てきに証明しょうめいが可能かのうである。“PROBLEM COLLECTION”. 2015年ねん3月がつ12日にち閲覧えつらん。

出典しゅってん

^ Weisstein, Eric W., “Cubic Number", Wolfram MathWorld.

参考さんこう文献ぶんけん

Weisstein, Eric W. "Cubic Number". mathworld.wolfram.com (英語えいご).

[1] 0 を含ふくめるかは文献ぶんけんによって異ことなる。例たとえば MathWorld の “Cubic Number” の項こうでは正せいの整数せいすうに限かぎっている。一方いっぽうで OEIS A578 では 0 を含ふくむ定義ていぎになっている。

[3] この性質せいしつは視覚しかく的てきに証明しょうめいが可能かのうである。“PROBLEM COLLECTION”. 2015年ねん3月がつ12日にち閲覧えつらん。

[2] Weisstein, Eric W., “Cubic Number", Wolfram MathWorld.

[注釈ちゅうしゃく 1]

[1]

[注釈ちゅうしゃく 2]