高度こうど合成ごうせい数すう

番ばん目め	高度こうど合成ごうせい数すう	約数やくすうの個数こすう
1	1	1
2	2	2
3	4	3
4	6	4
5	12	6
6	24	8
7	36	9
8	48	10
9	60	12
10	120	16
11	180	18
12	240	20
13	360	24
14	720	30
15	840	32
16	1260	36
17	1680	40
18	2520	48
19	5040	60
20	7560	64
21	10080	72
22	15120	80
23	20160	84
24	25200	90
25	27720	96
26	45360	100
27	50400	108
28	55440	120
29	83160	128
30	110880	144

高度こうど合成ごうせい数すう（こうどごうせいすう、英えい: highly composite number）とは、自然しぜん数すうで、それ未満みまんのどの自然しぜん数すうよりも約数やくすうの個数こすうが多おおいものをいう。

1から順じゅんに高度こうど合成ごうせい数すうを表あらわすと

1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680,…(オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A002182)

例たとえば24は約数やくすうを（1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24）と8個こ持もち、24未満みまんで約数やくすうを8個こ以上いじょう持もつ自然しぜん数すうは存在そんざいしないので、高度こうど合成ごうせい数すうである。なお1と2は合成ごうせい数すうではないが、高度こうど合成ごうせい数すうに含ふくめる。

クイゼネールロッドを用もちいた最初さいしょの4つの高度こうど合成ごうせい数すう1, 2, 4, 6のデモンストレーション

素因数そいんすう分解ぶんかいとの関係かんけい

約数やくすうの個数こすうは素因数そいんすう分解ぶんかいで求もとまる。例たとえば 15120 = 2⁴ × 3³ × 5 × 7　であるから、約数やくすうの個数こすうは (4+1) × (3+1) × (1+1) × (1+1) = 80 個こである。

概要がいよう

高度こうど合成ごうせい数すうの概念がいねんは、インドの数学すうがく者しゃシュリニヴァーサ・ラマヌジャンにより考案こうあんされた。

明あきらかに高度こうど合成ごうせい数すうは無限むげんに存在そんざいする。というのも、正せい整数せいすうの正せいの約数やくすうの個数こすうはいくらでも大おおきくなりうるためである。

高度こうど合成ごうせい数すうは

$2^{a_{2}}3^{a_{3}}5^{a_{5}}\cdots p(b)^{a_{p(b)}}$

という形かたちで素因数そいんすう分解ぶんかいされ、

$a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots \geq a_{p(b)}$

を満みたす数かずである (p(b)は 2 から数かぞえてb番ばん目めの素数そすう)。

また素因数そいんすうには 2 から p(b) までの全すべての素数そすうを含ふくむ。

なお 4 と 36 以外いがいの高度こうど合成ごうせい数すうでは a_p= 1 である。

したがって高度こうど合成ごうせい数すうのうち平方へいほう数すうは 4 と 36 のみであり、それ以外いがいの累乗るいじょう数すうは高度こうど合成ごうせい数すうにはなりえない。

高度こうど合成ごうせい数すうは、伝統でんとう的てきな度量衡どりょうこうの体系たいけいにしばしば現あらわれ（例れい：時間じかんの24や 60、角度かくどの360、ダースの 12 など）、また工学こうがく的てきな設計せっけいによく使つかわれる。

これは除算じょざんを含ふくむ計算けいさんが簡単かんたんに行おこなえる利点りてんによる。

Q(x) で x 以下いかの高度こうど合成ごうせい数すうの個数こすうを表あらわすと、1 より大おおきな定数ていすう a, b が存在そんざいして

(log_e x)^a ≤ Q(x) ≤ (log_e x)^b

が成なり立たつ。

関連かんれん項目こうもく

• 合成ごうせい数すう
• 超ちょう過剰かじょう数すう