完全かんぜん数すう

数学すうがく上じょうの未み解決かいけつ問題もんだい

偶数ぐうすうの完全かんぜん数すうは無数むすうにあるか。また、奇数きすうの完全かんぜん数すうは存在そんざいするか。

完全かんぜん数すう（かんぜんすう、英えい: perfect number）とは、自分じぶん自身じしんが自分じぶん自身じしんを除のぞく正せいの約数やくすうの和わに等ひとしくなる自然しぜん数すうのことである。完全かんぜん数すうの最初さいしょの4個こは 6 (= 1 + 2 + 3)、28 (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14)、496 (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248)、8128 (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064) である。

「完全かんぜん数すう」は「万物ばんぶつは数かずなり」と考かんがえたピタゴラスが名付なづけた数かずの一ひとつであることに由来ゆらいするが、彼かれがなぜ「完全かんぜん」と考かんがえたのかについては何なにも書かき残のこされていないようである。中世ちゅうせいの『聖書せいしょ』の研究けんきゅう者しゃは、「6 は『神かみが世界せかいを創造そうぞうした（天地てんち創造そうぞう）6日間にちかん』、28 は『月つきの公転こうてん周期しゅうき』で、これら2つの数かずは地上ちじょうと天界てんかいにおける神かみの完全かんぜん性せいを象徴しょうちょうしている」と考かんがえたとされる。古代こだいギリシアの数学すうがく者しゃは他ほかにもあと2つの完全かんぜん数すう (496, 8128) を知しっていた。以来いらい、完全かんぜん数すうはどれだけあるのかの探求たんきゅうが2500年ねん以上いじょうのちの現在げんざいまで続つづけられている。

完全かんぜん数すうの定義ていぎは、正せいの約数やくすうの総和そうわが自分じぶん自身じしんの2倍ばいに等ひとしいことと同値どうちである。すなわち、N が完全かんぜん数すうであるとは、約数やくすう関数かんすう σしぐま に対たいして σしぐま(N) = 2N が成なり立たつことであると表現ひょうげんできる。また、正せいの約数やくすうの逆数ぎゃくすう和わが 2 であると表現ひょうげんすることもできる。

歴史れきし

完全かんぜん数すうに関かんする最初さいしょの成果せいかは紀元前きげんぜん3世紀せいきごろのユークリッドである。彼かれは『原論げんろん』（第だい9巻かん、命題めいだい36）で、「2ⁿ − 1 が素数そすうならば、2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) は完全かんぜん数すうである」ということを証明しょうめいした。2ⁿ − 1 で表あらわされる数かずをメルセンヌ数すうといい、それが素数そすうである場合ばあいをメルセンヌ素数そすうという。

古代こだいから、6、28、496、8128の4つの数かずが完全かんぜん数すうであることは知しられており、ゲラサのニコマコスの『算術さんじゅつ入門にゅうもん』には4つの完全かんぜん数すうに関かんする記述きじゅつが存在そんざいする。

ユークリッドの公式こうしきは偶数ぐうすうの完全かんぜん数すうしか生成せいせいしないが、逆ぎゃくに偶数ぐうすうの完全かんぜん数すうが全すべて 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) の形かたちで書かけるかどうかは18世紀せいきまでは未解決みかいけつであった。レオンハルト・オイラーは偶数ぐうすうの完全かんぜん数すうがこの形かたちに限かぎることを証明しょうめいした。

メルセンヌ素数そすうの探索たんさくは、エドゥアール・リュカとデリック・ヘンリー・レーマーによってメルセンヌ数すうが素数そすうであるかどうかの効率こうりつ的てきな判定はんてい法ほうが考案こうあんされ、1950年代ねんだいからコンピュータが使つかわれるようになる。現在げんざいでは分散ぶんさんコンピューティング GIMPS による探求たんきゅうが行おこなわれていて、2022年ねん2月がつ現在げんざいで判明はんめいしている最大さいだいのメルセンヌ素数そすうは2486万まん2048桁けたの数かずである。

2021年ねん8月がつ現在げんざい発見はっけんされている完全かんぜん数すうはメルセンヌ素数そすうと同おなじく51個いっこである。紀元前きげんぜんより考察こうさつされている対象たいしょうであるにもかかわらず、「偶数ぐうすうの完全かんぜん数すうは無数むすうに存在そんざいするか？」「奇数きすうの完全かんぜん数すうは存在そんざいするか？」という問題もんだいは未解決みかいけつである。

概要がいよう

完全かんぜん数すうは、小ちいさい順じゅんに

6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, …（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A000396）

である。

各かく完全かんぜん数すうの正せいの約数やくすうの総和そうわは

12, 56, 992, 16256, 67100672, 17179738112, …（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A139256）

隣となり合あう完全かんぜん数すうの差さは

22, 468, 7632, 33542208, 8556318720, …（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A139228）

完全かんぜん数すうの総和そうわの列れつは

6, 34, 530, 8658, 33558994, …（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A092336）

である。

6 と 28 がなぜ「完全かんぜん」であるかは中世ちゅうせいの学者がくしゃの議論ぎろんの対象たいしょうになり、6 は神かみが創造そうぞうした1週間しゅうかん（日曜日にちようびは神かみが天地てんち創造そうぞうを終おえて休やすんだ安息日あんそくびで、キリスト教きりすときょうではこれを除外じょがいする）、28 は「月つきの公転こうてん周期しゅうき」とされた。聖せいアウグスティヌス（? - 604年ねん）はこれとは一線いっせんを画かくし、「6 はそれ自体じたい完全かんぜんな数かずである。神かみが万物ばんぶつを6日間にちかんで創造そうぞうしたから 6 が完全かんぜんなのでなく、むしろ逆ぎゃくが真しんである」としている。

偶数ぐうすうの完全かんぜん数すう 2^p−1(2^p − 1) = (M_p+1)M_p/2 は M_p 番ばん目めの三角さんかく数すうでもある。

完全かんぜん数すうの分類ぶんるい

偶数ぐうすうの完全かんぜん数すう

偶数ぐうすうの完全かんぜん数すうは、M_p = 2^p − 1 が素数そすうのときの 2^p−1M_p に限かぎる（ユークリッド、オイラー）。

ユークリッドの証明しょうめい

2^p−1M_p が完全かんぜん数すうであることの証明しょうめい：

ユークリッドの証明しょうめい

M_p = 2^p − 1 は奇数きすうになるから、2^p−1 と M_p は互たがいに素もとになる。

よって、σしぐま(n) を約数やくすう関数かんすうとすると、約数やくすう関数かんすうは乗法じょうほう的てきなので、N = 2^p−1M_p の約数やくすうの総和そうわ σしぐま(N) は、

$\sigma (N)=\sigma (2^{p-1})\sigma (M_{p}).$

このとき、

$\sigma (2^{p-1})=\sum _{k=0}^{p-1}2^{k}=2^{p}-1=M_{p}.$

M_p は素数そすうなので、

$\sigma (M_{p})=M_{p}+1=2^{p}.$

したがって、

$\sigma (N)=M_{p}2^{p}=2N.$

すなわち、N の約数やくすうの総和そうわが 2N に等ひとしくなるので、N は完全かんぜん数すうである。Q.E.D.

オイラーの証明しょうめい

偶数ぐうすうの完全かんぜん数すうは 2^p−1M_p の形かたちに限かぎることの証明しょうめい：

オイラーの証明しょうめい

N を偶数ぐうすうの完全かんぜん数すうとする。N を 2 で割わり切きる最大さいだい回数かいすうを n とすると、N = 2ⁿK（n は自然しぜん数すう、K は奇数きすう）とおける。2ⁿ と K は互たがいに素もとであるので、σしぐま(n) を約数やくすう関数かんすうとすると、約数やくすう関数かんすうは乗法じょうほう的てきなので、N の正せいの約数やくすうの総和そうわ σしぐま(N) は以下いかのようになる。

${\begin{aligned}\sigma \left(N\right)&=\sigma \left(2^{n}\right)\ \sigma \left(K\right)=\left(\sum _{k=0}^{n}2^{k}\right)\sigma (K)\\&=\left(2^{n+1}-1\right)\ \sigma \left(K\right)\end{aligned}}$

N は完全かんぜん数すうであるため、 σしぐま(N) = 2N = 2ⁿ⁺¹K なので

$\left(2^{n+1}-1\right)\sigma \left(K\right)=2^{n+1}K$

が導みちびかれる。2ⁿ⁺¹ − 1 は奇数きすうなので 2 で割わり切きれず、式しきが成立せいりつするためには、σしぐま(K) は 2ⁿ⁺¹ で割わり切きれなければならない。 σしぐま(K) = 2ⁿ⁺¹a とおき、上うえの式しきに代入だいにゅうして両辺りょうへんを 2ⁿ⁺¹ で割われれば

$\left(2^{n+1}-1\right)a=K$

となる。

もし a ≠ 1 なら、1、 a、 (2ⁿ⁺¹ − 1)a は K の相そう異ことなる約数やくすうのため、

$\sigma \left(K\right)\geqq 1+a+\left(2^{n+1}-1\right)a=2^{n+1}a+1=\sigma \left(K\right)+1$

となり矛盾むじゅんする。ゆえに、a = 1 でなければならない。したがって、N が偶数ぐうすうの完全かんぜん数すうであるためには、

$K=2^{n+1}-1$　かつ $\sigma \left(K\right)=2^{n+1}=K+1$

でなければならない。σしぐま(K) = K + 1 より、K は K と 1 以外いがいに約数やくすうがない素数そすうでなければならない。

ゆえに、N が偶数ぐうすうの完全かんぜん数すうであるのは、 N = 2ⁿ(2ⁿ⁺¹ − 1)（ただし 2ⁿ⁺¹ − 1 は素数そすう）の形かたちのときに限かぎられる。Q.E.D.

偶数ぐうすうの完全かんぜん数すうの性質せいしつ

偶数ぐうすうの完全かんぜん数すうを N = 2^p−1(2^p − 1)（2^p −1 は素数そすう）とする。

• N の正せいの約数やくすうの個数こすうは d(N) = 2p である（d は約数やくすうの個数こすうを表あらわす約数やくすう関数かんすう）。
• N の正せいの約数やくすうの調和ちょうわ平均へいきんは p、ゆえに N は調和ちょうわ数すうである。
• 6 以外いがいの偶数ぐうすうの完全かんぜん数すうは、1 から連続れんぞくする正せいの奇数きすうの立方りっぽう和わで表あらわせる。式しきで表あらわすと

$N=\sum _{k=1}^{2^{\frac {p-1}{2}}}(2k-1)^{3}\quad (p\geqq 3)$

例れい：

28 = 1³ + 3³, 496 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³, 8128 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³

1 から連続れんぞくする正せいの奇数きすうの立方りっぽう和わで表あらわせる数かずの列れつは

1, 28, 153, 496, 1225, 2556, 4753, 8128, …（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A002593）

• 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1)（n は自然しぜん数すう）の列れつは

1, 6, 28, 120, 496, 2016, 8128, 32640, …（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A006516）

この数列すうれつで完全かんぜん数すうにならない数かずの数列すうれつは オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A144858 を参照さんしょう

• n × σしぐま(n) は n = 2^p−1 のとき偶数ぐうすうの完全かんぜん数すうになる。ただし σしぐま は約数やくすう関数かんすうである。この数列すうれつは

1, 6, 12, 28, 30, 72, 56, 120, 117, 180, 132, 336, 182, 336, 360, 496, 306, 702, 380, 840, …（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A064987）

• 偶数ぐうすうの完全かんぜん数すうは、1 から連続れんぞくする正せいの整数せいすうの和わで表あらわせる。式しきで表あらわすと

$N=\sum _{k=1}^{2^{p}-1}k\quad (p\geqq 2)$

例れい：6 = 1 + 2 + 3 , 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 , 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + ... + 28 + 29 + 30 + 31

い換いかえると、N は 2^p − 1 番ばん目めの三角さんかく数すうである。偶数ぐうすうの三角さんかく数すうの列れつは

6, 10, 28, 36, 66, 78, 120, 136, 190, 210, 276, 300, 378, 406, 496, 528, 630, 666, 780, 820, 946, 990, …（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A014494）

• 偶数ぐうすうの完全かんぜん数すうは全すべて奇き数すう番目ばんめの三角さんかく数すうでもあるので、知しられている完全かんぜん数すうは全すべて六ろく角かく数すうでもある。六角ろっかく数すうの列れつは

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, …（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A000384）

• n 番ばん目めの六ろく角かく数すうは n(2n − 1) なので、偶数ぐうすうの六ろく角かく数すうは 2n(4n − 1) で表あらわされる。偶数ぐうすうの六ろく角かく数すうの列れつは

6, 28, 66, 120, 190, 276, 378, 496, 630, 780, 946, …（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A014635）

• 6 以外いがいの完全かんぜん数すうは中心ちゅうしんつき九きゅう角かく数すうに含ふくまれる。この数かずの列れつは

1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, 703, 820, 946, …（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A060544）

• N を十進法じっしんほう表示ひょうじしたとき、一いちの位くらいは 6 または 8 である。

偶数ぐうすうの完全かんぜん数すうの未み解決かいけつ問題もんだい

偶数ぐうすうの完全かんぜん数すうは無数むすうに存在そんざいするか、つまり M_p = 2^p − 1 が素数そすうとなる素数そすう p は無数むすうに存在そんざいするかどうかは未解決みかいけつである。

奇数きすうの完全かんぜん数すう

奇数きすうの完全かんぜん数すうが存在そんざいするか否ひかは未解決みかいけつであるが、約数やくすう関数かんすうは乗法じょうほう的てき (英えい: multiplicative) であることから、二に平方へいほう数すうの和やわであることが古ふるくから知しられていた。もし奇数きすうの完全かんぜん数すう N が存在そんざいすれば、N は以下いかの各かく条件じょうけんを満みたさなければならないことが知しられている。

• N の素因数そいんすう分解ぶんかいは q^{αあるふぁ}p₁^2e₁ … p_k^2e_k の形かたちである。ここで q, p₁ < p₂ < … < p_k は相あい異ことなる素数そすうで q ≡ αあるふぁ ≡ 1 (mod 4) を満みたす。
  • N < 2^4k+1 である。
  • p₁ < 2/3k + 2 である。また 2 ≤ i ≤ 6 のとき p_i < 2²ⁱ⁻¹(k − i + 1) である。
  • e₁ ≡ e₂ ≡ … ≡ e_k ≡ 1 (mod 3) ではない。
  • e₁ ≡ e₂ ≡ … ≡ e_k ≡ 2 (mod 5) ではない.
  • e₁ = e₂ = … = e_k = βべーた とすると、βべーた は 1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 12, 14, 17, 18, 24, 62 ではない。さらにk ≤ 2βべーた² + 8βべーた + 2 である。
  • N ≡ 1 (mod 12) または N ≡ 1/2 ・ 3^2e₁(3^2e₁+1 − 1) (mod 2 ・ 3^2e₁(3^2e₁+1 − 1)) である。
• N > 10¹⁵⁰⁰ である。
  • これは1991年ねんに示しめされたを約やく20年ねんぶりに改良かいりょうしたものである。
• N は少すくなくとも10個この相そう異ことなる素因数そいんすうを持もつ。
  • これは2015年ねんに発表はっぴょうされたものであるが、「9個こ以上いじょう」を示しめした2006年ねんの結果けっかを改良かいりょうしたものである。「7個こ」の場合ばあいは1972年ねんまでにカール・ポメランスによって示しめされ、「8個こ」の場合ばあいは1980年ねんごろに Cheinと Hagisによってほぼ同時どうじに示しめされており、その後ご多おおくの数学すうがく者しゃの努力どりょくにもかかわらず、26年ねんもの間あいだ「9個こ」の場合ばあいは示しめされなかった。
• N が 3 で割わり切きれない場合ばあいは、少すくなくとも12個この素因数そいんすうを持もつ。3 でも 5 でも割わり切きれない場合ばあいは15個こ以上いじょうの、3 でも 5 でも 7 でも割わり切きれない場合ばあいは27個こ以上いじょうの相そう異ことなる素因数そいんすうを持もつ。
• N は重複じゅうふくも数かぞえて少すくなくとも101個いっこの素因数そいんすうを持もつ。
• N は 10⁸ より大おおきい素因数そいんすうを持もつ。
  • これは2006年ねんに発表はっぴょうされたものであるが、より古ふるい下界げかいとしては2003年ねんの 10⁷や、1998年ねんの 10⁶などがある。
• N の2番目ばんめに大おおきな素因数そいんすうは 10⁴ より大おおきい。
• N の3番目ばんめに大おおきな素因数そいんすうは 100 より大おおきい。
• N は 10⁶² より大おおきい素数そすう冪べき因数いんすうを持もつ。

その他たの性質せいしつ

• 完全かんぜん数すうは、正せいの約数やくすうの個数こすうが偶数ぐうすう、正せいの約数やくすうの逆数ぎゃくすう和わが 2 なので、調和ちょうわ数すうである。この数かずの列れつは

1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, …（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A001599）

完全かんぜん数すうでない自然しぜん数すう

完全かんぜん数すうの拡張かくちょう

約数やくすうの和わを考かんがえることで特徴付とくちょうづけられる数かずの種類しゅるいには他ほかにも次じのようなものがある。完全かんぜん数すうと併あわせて、これらの名称めいしょうには古代こだいギリシアの数かず秘ひ学がくの影響えいきょうが見みられる。

倍ばい積せき完全かんぜん数すう (multiperfect number)

正せいの約数やくすうの和わが自分じぶん自身じしんの倍数ばいすうである自然しぜん数すうを倍ばい積せき完全かんぜん数すうという。特とくに、それがk倍ばいに等ひとしいものをk倍ばい完全かんぜん数すうという。完全かんぜん数すうとは2倍ばい完全かんぜん数すうのことである。

1, 6, 28, 120, 496, 672, 8128, 30240, …（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A007691）

ハイパー完全かんぜん数すう (hyperperfect number)

n が k -ハイパー完全かんぜん数すうであるとは、

n = 1 + k(σしぐま(n) − n − 1)（ただしk は自然しぜん数すう）（σしぐま は約数やくすう関数かんすう）

を満みたすことと定義ていぎされる。完全かんぜん数すうは 1-ハイパー完全かんぜん数すうである。

k -ハイパー完全かんぜん数すうの列れつは

6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, 1333, 1909, 2041, 2133, 3901, 8128, …（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A034897）

超ちょう完全かんぜん数すう (superperfect number)

n が (m, k)-完全かんぜん数すうであるとは、

σしぐま^m(n) = kn（ただし k は自然しぜん数すう）（σしぐま は約数やくすう関数かんすう）

を満みたすときと定義ていぎされる。完全かんぜん数すうは (1, 2)-完全かんぜん数すう、倍ばい積せき完全かんぜん数すうは (1, k)-完全かんぜん数すう、超ちょう完全かんぜん数すうは (2, 2)-完全かんぜん数すうである。

不完全ふかんぜん数すう

完全かんぜん数すうでない自然しぜん数すうを不完全ふかんぜん数すう (imperfect number) という。

不足ふそく数すう (deficient number)

自分じぶん自身じしん以外いがいの正せいの約数やくすうの和わより大おおきい自然しぜん数すう

過剰かじょう数すう (abundant number)

自分じぶん自身じしん以外いがいの正せいの約数やくすうの和わより小ちいさい自然しぜん数すう

友愛ゆうあい数すう (amicable pair)

自分じぶん自身じしん以外いがいの正せいの約数やくすうの和わが互たがいに他方たほうに等ひとしい2つの自然しぜん数すうの組くみ。

社交しゃこう数すう (sociable numbers)

友愛ゆうあい数すうと同様どうようの関係かんけいが成立せいりつする3個こ以上いじょうの自然しぜん数すうの組くみ。

準じゅん完全かんぜん数すう (quasiperfect number)

n が準じゅん完全かんぜん数すうであるとは、正せいの約数やくすうの和わが 2n + 1 に等ひとしいことと定義ていぎされる。過剰かじょう数すうの一種いっしゅ。そのような数かずはいまだに見みつかっていないが、存在そんざいするならばそれは奇数きすうの平方へいほう数すうで 10³⁵ より大おおきく、少すくなくとも7つの約数やくすうを持もつということが示しめされている。

概がい完全かんぜん数すう (almost perfect number)

n が概がい完全かんぜん数すうであるとは、正せいの約数やくすうの和わが 2n − 1 に等ひとしいことと定義ていぎされる。不足ふそく数すうの一種いっしゅ。2^k (= 1, 2, 4, 8, 16, …) の形かたちの自然しぜん数すうはこの条件じょうけんを満みたしているが、この形かたちの自然しぜん数すう以外いがいの概がい完全かんぜん数すうが存在そんざいするのかどうかは知しられていない。

乗法じょうほう的てき完全かんぜん数すう (multiplicative perfect number)

正せいの約数やくすうの積せきが自分じぶん自身じしんの自乗じじょう（2乗じょう）に等ひとしい数かずを乗法じょうほう的てき完全かんぜん数すうという。乗法じょうほう的てき完全かんぜん数すうの列れつは、

1, 6, 8, 10, 14, 15, 21, 22, …（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A007422）

エピソード

小川おがわ洋子ようこの小説しょうせつ『博士はかせの愛あいした数式すうしき』（2003年ねん）では登場とうじょう人物じんぶつの「博士はかせ」が阪神はんしんタイガースの江夏えなつ豊ゆたか投手とうしゅのファンであったことの理由りゆうとして江夏えなつの背番号せばんごうが28であったことを挙あげ、その際さいに完全かんぜん数すうの説明せつめいがなされている。

日本にっぽんプロ野球やきゅうで初はじめて完全かんぜん試合しあいが達成たっせいされたのは月つき・日にちとも完全かんぜん数すうの1950年ねん6月つき28日ひだった。

参考さんこう文献ぶんけん

• 数学すうがくセミナー編集へんしゅう部ぶ 編へん『数かずの世界せかい』日本にっぽん評論ひょうろん社しゃ、東京とうきょう〈数学すうがくセミナー増刊ぞうかん 数学すうがくセミナー・リーディングス〉、1982年ねん9月がつ30日にち。 
• ハーディ, G.H.、ライト, E.M. 著ちょ、示野しめの信一しんいち・矢神やがみ毅あつし 訳わけ『数かず論ろん入門にゅうもん I』丸善まるぜん出版しゅっぱん〈シュプリンガー数学すうがくクラシックス8〉、2001年ねん7月がつ。ISBN 978-4-621-06226-5。 
• ハイベア、メンゲ 編へん『ユークリッド原論げんろん』中村なかむら幸四郎こうしろう・寺阪てらさか英孝ひでたか・伊東いとう俊太郎しゅんたろう・池田いけだ美恵みえ訳わけ・解説かいせつ、共立きょうりつ出版しゅっぱん。 
  • （ハードカバー）1971年ねん7月がつ。ISBN 4-320-01072-8
  • （縮刷しゅくさつ版ばん）1996年ねん6月がつ。ISBN 4-320-01513-4
  • （追つい補ほ版ばん）2011年ねん5月がつ。ISBN 978-4-320-01965-2
• ハイベア・メンゲ 編へん『原論げんろんVII－X』 第だい2巻かん、斎藤さいとう憲けん 訳わけ・解説かいせつ、東京大学とうきょうだいがく出版しゅっぱん会かい〈エウクレイデス全集ぜんしゅう〉、2015年ねん8月がつ31日にち、43f, VII 定義ていぎ23, IV 命題めいだい36頁ぺーじ。ISBN 978-4-13-065302-2。 
• 和田わだ秀男ひでお『数かずの世界せかい　整数せいすう論ろんへの道みち』岩波書店いわなみしょてん〈岩波いわなみ科学かがくライブラリー〉、1981年ねん7月がつ10日とおか。ISBN 978-4-00-005500-0。 
• History of the theory of numbers, Vol. I: Divisibility and primality (paperback ed.), New York: Dover Publications, (2005), ISBN 0-486-44232-2, https://books.google.com/books?id=FYWn8XWrAI0C&pg=PA3 
• Euler, Leonhard (1849), “De numeris amicibilibus [On amicable numbers]” (ラテン語らてんご), Commentationes arithmeticae, 2, pp. 627–636, http://eulerarchive.maa.org/pages/E798.html 
• Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-20860-7  (online book - Google ブックス)
  • リチャード・ガイ『数かず論ろんにおける未み解決かいけつ問題もんだい集しゅう』一松いちまつ信しんほか 訳やく、Springer-Verlag Tokyo、1983年ねん1月がつ。ISBN 4-87573-101-9。  - 原はらタイトル：Unsolved problems in number theory.
  • リチャード・K・ガイ『数かず論ろん〈未み解決かいけつ問題もんだい〉の事典じてん』金光かねみつ滋しげる 訳わけ、朝倉書店あさくらしょてん、2010年ねん11月5日にち。ISBN 978-4-254-11129-3。  - 原はらタイトル：Unsolved problems in number theory. 3rd ed.
• Sándor, J.; Crstici, B. (2004), Handbook of number theory, II, Dordrecht, Netherlands: Kluwer Academic Publishers, ISBN 1-4020-2546-7  (online book - Google ブックス)

• 高木たかぎ貞治さだはる：「初等しょとう整数せいすう論ろん講義こうぎ」第だい2版はん、（1971）。

関連かんれん項目こうもく

• 拡大かくだい友愛ゆうあい数すう
• 婚約こんやく数すう（準じゅん友愛ゆうあい数すう）
• 三角さんかく数すう
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• アリコット数列すうれつ

外部がいぶリンク

• 足立あだち恒雄つねお『完全かんぜん数すう』 - コトバンク
• 『完全かんぜん数すうの一覧いちらんと性質せいしつ』 - 高校こうこう数学すうがくの美うつくしい物語ものがたり
• Weisstein, Eric W. "Perfect Number". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• Greathouse, Charles; Weisstein, Eric W. "Odd Perfect Number". mathworld.wolfram.com (英語えいご).