完全 数
「
歴史 [ソースを編集 ]
ユークリッドの
メルセンヌ
2021
概要 [ソースを編集 ]
である。
- 12, 56, 992, 16256, 67100672, 17179738112, …(オンライン
整数 列 大 辞典 の数列 A139256)
- 22, 468, 7632, 33542208, 8556318720, …(オンライン
整数 列 大 辞典 の数列 A139228)
である。
6 と 28 がなぜ「
完全 数 の分類 [ソースを編集 ]
偶数 の完全 数 [ソースを編集 ]
ユークリッドの証明 [ソースを編集 ]
2p−1Mp が
オイラーの証明 [ソースを編集 ]
N を
N は
が
となる。
もし a ≠ 1 なら、1、 a、 (2n+1 − 1)a は K の
となり
- かつ
でなければならない。
ゆえに、N が
偶数 の完全 数 の性質 [ソースを編集 ]
- N の
正 の約数 の個数 は d(N) = 2p である(d は約数 の個数 を表 す約数 関数 )。 - N の
正 の約数 の調和 平均 は p、ゆえに N は調和 数 である。 - 6
以外 の偶数 の完全 数 は、1 から連続 する正 の奇数 の立方 和 で表 せる。式 で表 すと
例 :- 28 = 13 + 33, 496 = 13 + 33 + 53 + 73, 8128 = 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153
- 1 から
連続 する正 の奇数 の立方 和 で表 せる数 の列 は - 1, 28, 153, 496, 1225, 2556, 4753, 8128, …(オンライン
整数 列 大 辞典 の数列 A002593)
- 2n−1(2n − 1)(n は
自然 数 )の列 は
- 1, 6, 28, 120, 496, 2016, 8128, 32640, …(オンライン
整数 列 大 辞典 の数列 A006516) - この
数列 で完全 数 にならない数 の数列 は オンライン整数 列 大 辞典 の数列 A144858 を参照
- n ×
σ (n) は n = 2p−1 のとき偶数 の完全 数 になる。ただしσ は約数 関数 である。この数列 は
- 1, 6, 12, 28, 30, 72, 56, 120, 117, 180, 132, 336, 182, 336, 360, 496, 306, 702, 380, 840, …(オンライン
整数 列 大 辞典 の数列 A064987)
偶数 の完全 数 は、1 から連続 する正 の整数 の和 で表 せる。式 で表 すと
例 :6 = 1 + 2 + 3 , 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 , 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + ... + 28 + 29 + 30 + 31- い
換 えると、N は 2p − 1番 目 の三角 数 である。偶数 の三角 数 の列 は - 6, 10, 28, 36, 66, 78, 120, 136, 190, 210, 276, 300, 378, 406, 496, 528, 630, 666, 780, 820, 946, 990, …(オンライン
整数 列 大 辞典 の数列 A014494)
偶数 の完全 数 は全 て奇 数 番目 の三角 数 でもあるので、知 られている完全 数 は全 て六 角 数 でもある。六角 数 の列 は
- 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, …(オンライン
整数 列 大 辞典 の数列 A000384)
- n
番 目 の六 角 数 は n(2n − 1) なので、偶数 の六 角 数 は 2n(4n − 1) で表 される。偶数 の六 角 数 の列 は
- 6
以外 の完全 数 は中心 つき九 角 数 に含 まれる。この数 の列 は
- N を
十進法 表示 したとき、一 の位 は 6 または 8 である。
偶数 の完全 数 の未 解決 問題 [ソースを編集 ]
奇数 の完全 数 [ソースを編集 ]
- N の
素因数 分解 は qα p12e1 … pk2ek の形 である。ここで q, p1 < p2 < … < pk は相 異 なる素数 で q ≡α ≡ 1 (mod 4) を満 たす[注釈 3]。- N < 24k+1 である[10]。
- p1 < 2/3k + 2 である[11]。また 2 ≤ i ≤ 6 のとき pi < 22i−1(k − i + 1) である[12]。
- e1 ≡ e2 ≡ … ≡ ek ≡ 1 (mod 3) ではない[13]。
- e1 ≡ e2 ≡ … ≡ ek ≡ 2 (mod 5) ではない[14].
- e1 = e2 = … = ek =
β とすると、β は 1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 12, 14, 17, 18, 24, 62 ではない[15][16]。さらにk ≤ 2β 2 + 8β + 2 である[17]。 - N ≡ 1 (mod 12) または N ≡ 1/2 ・ 32e1(32e1+1 − 1) (mod 2 ・ 32e1(32e1+1 − 1)) である[18][19][20][21]。
- N > 101500 である[22]。
- これは1991
年 に示 された[23]を約 20年 ぶりに改良 したものである。
- これは1991
- N は
少 なくとも10個 の相 異 なる素因数 を持 つ[24]。 - N が 3 で
割 り切 れない場合 は、少 なくとも12個 の素因数 を持 つ[25]。3 でも 5 でも割 り切 れない場合 は15個 以上 の、3 でも 5 でも 7 でも割 り切 れない場合 は27個 以上 の相 異 なる素因数 を持 つ[29]。 - N は
重複 も数 えて少 なくとも101個 の素因数 を持 つ[22][30]。 - N は 108 より
大 きい素因数 を持 つ[31]。 - N の2
番目 に大 きな素因数 は 104 より大 きい[34]。 - N の3
番目 に大 きな素因数 は 100 より大 きい[35]。 - N は 1062 より
大 きい素数 冪 因数 を持 つ[22]。
その他 の性質 [ソースを編集 ]
完全 数 は、正 の約数 の個数 が偶数 、正 の約数 の逆数 和 が 2 なので、調和 数 である。この数 の列 は
完全 数 でない自然 数 [ソースを編集 ]
完全 数 の拡張 [ソースを編集 ]
倍 積 完全 数 (multiperfect number)[36]正 の約数 の和 が自分 自身 の倍数 である自然 数 を倍 積 完全 数 という。特 に、それがk倍 に等 しいものをk倍 完全 数 という。完全 数 とは2倍 完全 数 のことである。- 1, 6, 28, 120, 496, 672, 8128, 30240, …(オンライン
整数 列 大 辞典 の数列 A007691) - ハイパー
完全 数 (hyperperfect number) - n が k -ハイパー
完全 数 であるとは、 - n = 1 + k(
σ (n) − n − 1)(ただしk は自然 数 )(σ は約数 関数 ) - を
満 たすことと定義 される。完全 数 は 1-ハイパー完全 数 である。 - k -ハイパー
完全 数 の列 は - 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, 1333, 1909, 2041, 2133, 3901, 8128, …(オンライン
整数 列 大 辞典 の数列 A034897) 超 完全 数 (superperfect number)- n が (m, k)-
完全 数 であるとは、 σ m(n) = kn(ただし k は自然 数 )(σ は約数 関数 )- を
満 たすときと定義 される。完全 数 は (1, 2)-完全 数 、倍 積 完全 数 は (1, k)-完全 数 、超 完全 数 は (2, 2)-完全 数 である。
不完全 数 [ソースを編集 ]
不足 数 (deficient number)[37]自分 自身 以外 の正 の約数 の和 より大 きい自然 数 過剰 数 (abundant number)[38]自分 自身 以外 の正 の約数 の和 より小 さい自然 数 友愛 数 (amicable pair)[39]自分 自身 以外 の正 の約数 の和 が互 いに他方 に等 しい2つの自然 数 の組 。社交 数 (sociable numbers)[40]友愛 数 と同様 の関係 が成立 する3個 以上 の自然 数 の組 。準 完全 数 (quasiperfect number)[41]- n が
準 完全 数 であるとは、正 の約数 の和 が 2n + 1 に等 しいことと定義 される。過剰 数 の一種 。そのような数 はいまだに見 つかっていないが、存在 するならばそれは奇数 の平方 数 で 1035 より大 きく、少 なくとも7つの約数 を持 つということが示 されている。 概 完全 数 (almost perfect number)[42]- n が
概 完全 数 であるとは、正 の約数 の和 が 2n − 1 に等 しいことと定義 される。不足 数 の一種 。2k (= 1, 2, 4, 8, 16, …) の形 の自然 数 はこの条件 を満 たしているが、この形 の自然 数 以外 の概 完全 数 が存在 するのかどうかは知 られていない。 乗法 的 完全 数 (multiplicative perfect number)[43]正 の約数 の積 が自分 自身 の自乗 (2乗 )に等 しい数 を乗法 的 完全 数 という。乗法 的 完全 数 の列 は、- 1, 6, 8, 10, 14, 15, 21, 22, …(オンライン
整数 列 大 辞典 の数列 A007422)
エピソード[ソースを編集 ]
脚注 [ソースを編集 ]
注釈 [ソースを編集 ]
出典 [ソースを編集 ]
- ^ a b c d e f 「
高 数 ・数学 者 列伝 」吉永 良正 『高校 への数学 』vol.20、1995年 8月 号 - ^
淡 中 忠郎 「メルセンヌ数 物語 」『数学 セミナー』、1973年 9月 号 。数学 セミナー編集 部 (1982)、65-67頁 に再 録 されている。 - ^ Nicomachus of Gerasa (1926). Introduction to Arithmetic. Martin Luther D'Oge (trans). The Macmillan Company. pp. 207–212
- ^ a b ハーディ & ライト 2001, p. 317
- ^ a b
和田 1981, pp. 59–61 - ^ Dickson (2005, p. 19)
- ^ "GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 282,589,933-1" (Press release) (
英語 ). GIMPS. 21 December 2018. 2022年 2月 5日 時点 のオリジナルよりアーカイブ。2022年 2月 22日 閲覧 。 - ^ ハーディ & ライト 2001, p. 316
- ^ Dickson (2005, p. 98)
- ^ Nielsen, Pace P. (2003). “An upper bound for odd perfect numbers”. Integers 3: A14 .
- ^ Grün, Otto (1952). “Über ungerade vollkommene Zahlen”. Mathematische Zeitschrift 55 (3): 353--354. doi:10.1007/BF01181133.
- ^ M. Kishore, "On odd perfect, quasiperfect, and odd almost perfect numbers", Math. Comp. 36 (1981), 583-586.
- ^ W. L. McDaniel, "The non-existence of odd perfect numbers of a certain form", Arch. Math. (Basel) 21 (1970), 52-53.
- ^ Fletcher, S. Adam; Nielsen, Pace P.; Ochem, Pascal (2012). “Sieve methods for odd perfect numbers”. Mathematics of Computation 81 (279): 1753--1776. doi:10.1090/S0025-5718-2011-02576-7. ISSN 0025-5718. MR2904601 .
- ^ W. L. McDaniel and P. Hagis Jr., "Some results concerning the non-existence of odd perfect numbers of the form paM2
β ", Fibonacci Quart. 13 (1975), 25-28. - ^ G. L. Cohen, R. J. Williams, "Extensions of some results concerning odd perfect numbers", Fibonacci Quart. 23 (1985), 70-76.
- ^ Yamada, Tomohiro (2019). “A new upper bound for odd perfect numbers of a special form”. Colloquium Mathematicum 156 (1): 15--21. doi:10.4064/cm7339-3-2018. ISSN 1730-6302.
- ^ J. Touchard, "On prime numbers and perfect numbers", Scripta Math. 19 (1953), 53-59.
- ^ M. Satyanarayana, "Odd perfect numbers", Math. Student 27 (1959), 17-18.
- ^ J. A. Holdener, "A theorem of Touchard on the form of odd perfect numbers". Amer. Math. Monthly, 109 (2002), 661-663.
- ^ T. Roberts, "On the Form of an Odd Perfect Number", Australian Mathematical Gazette, 35:4 (2008), 244
- ^ a b c Ochem, Pascal; Rao, Michaël (2012). “Odd perfect numbers are greater than 101500”. Mathematics of Computation 81 (279): 1869--1877. doi:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4. ISSN 0025-5718. MR2904606. Zbl 1263.11005 .
- ^ R. P. Brent, Graeme L. Cohen, H. J. J. te Riele, "Improved techniques for lower bounds for odd perfect numbers", Math. Comp. 57 (1991), 857-868
- ^ Nielsen, Pace P. (2015). “Odd perfect numbers, Diophantine equations, and upper bounds”. Mathematics of Computation 84 (295): 2549--2567. doi:10.1090/S0025-5718-2015-02941-X. ISSN 0025-5718. MR3356038 .
- ^ a b Nielsen, Pace P. (2007). “Odd perfect numbers have at least nine distinct prime factors”. Mathematics of Computation 76 (260): 2109--2126. arXiv:math/0602485. doi:10.1090/S0025-5718-07-01990-4. ISSN 0025-5718. MR2336286 .
- ^ J. E. Z. Chein, "An odd perfect number has at least 8 prime factors", Doctoral Thesis, Pennsylvania State University, 1979.
- ^ P. Hagis Jr., "Outline of a proof that every odd perfect number has at least eight prime factors", Math. Comp. 35 (1980) 1027-1032.
- ^ G. L. Cohen, R. M. Sorli, "On the number of distinct prime factors of an odd perfect number", J. Discrete Algorithms 1 (2003), 21-35.
- ^ K. K. Norton, "Remarks on the number of factors of an odd perfect number", Acta Arith., 6 (1960/1961), 365-374.
- ^ 75
個 以上 であることを示 した、以前 の結果 は K. G. Hare, "New techniques for bounds on the total number of prime factors of an odd perfect number", Math. Comp. 76. (2007), 2241-2248. preprint - ^ T. Goto and Y. Ohno, "Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108", Math. Comp. 77 (2008), 1859-1868. "
奇数 の完全 数 の最大 素因 子 について" - preprint を入手 可能 。 - ^ P. M. Jenkins, "Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 107", Math. Comp. 72 (2003), 1549-1554.
- ^ P. Hagis, Jr. and G. L. Cohen, "Every odd perfect number has a prime factor which exceeds 106", Math. Comp. 67 (1998), 1323-1330.
- ^ D. E. Iannucci, "The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand", Math. Comp. 68 (1999), 1749-1760.
- ^ D. E. Iannucci, "The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred", Math. Comp. 69 (2000), 867-879.
- ^ Weisstein, Eric W. "Multiperfect Number". mathworld.wolfram.com (
英語 ). - ^ Weisstein, Eric W. "Deficient Number". mathworld.wolfram.com (
英語 ). - ^ Weisstein, Eric W. "Abundant Number". mathworld.wolfram.com (
英語 ). - ^ Weisstein, Eric W. "Amicable Pair". mathworld.wolfram.com (
英語 ). - ^ Weisstein, Eric W. "Sociable Numbers". mathworld.wolfram.com (
英語 ). - ^ Weisstein, Eric W. "Quasiperfect Number". mathworld.wolfram.com (
英語 ). - ^ Weisstein, Eric W. "Almost Perfect Number". mathworld.wolfram.com (
英語 ). - ^ Weisstein, Eric W. "Multiplicative Perfect Number". mathworld.wolfram.com (
英語 ).
参考 文献 [ソースを編集 ]
数学 セミナー編集 部 編 『数 の世界 』日本 評論 社 、東京 〈数学 セミナー増刊 数学 セミナー・リーディングス〉、1982年 9月 30日 。- ハーディ, G.H.、ライト, E.M.
著 、示野 信一 ・矢神 毅 訳 『数 論 入門 I』丸善 出版 〈シュプリンガー数学 クラシックス8〉、2001年 7月 。ISBN 978-4-621-06226-5。 - ハイベア、メンゲ
編 『ユークリッド原論 』中村 幸四郎 ・寺阪 英孝 ・伊東 俊太郎 ・池田 美恵 訳 ・解説 、共立 出版 。- (ハードカバー)1971
年 7月 。ISBN 4-320-01072-8 - (
縮刷 版 )1996年 6月 。ISBN 4-320-01513-4 - (
追 補 版 )2011年 5月 。ISBN 978-4-320-01965-2
- (ハードカバー)1971
- ハイベア・メンゲ
編 『原論 VII-X』第 2巻 、斎藤 憲 訳 ・解説 、東京大学 出版 会 〈エウクレイデス全集 〉、2015年 8月 31日 、43f, VII定義 23, IV命題 36頁 。ISBN 978-4-13-065302-2。 和田 秀男 『数 の世界 整数 論 への道 』岩波書店 〈岩波 科学 ライブラリー〉、1981年 7月 10日 。ISBN 978-4-00-005500-0。- History of the theory of numbers, Vol. I: Divisibility and primality (paperback ed.), New York: Dover Publications, (2005), ISBN 0-486-44232-2
- Euler, Leonhard (1849), “De numeris amicibilibus [On amicable numbers]” (
ラテン語 ), Commentationes arithmeticae, 2, pp. 627–636 - Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-20860-7 (online book - Google ブックス)
- リチャード・ガイ『
数 論 における未 解決 問題 集 』一松 信 ほか訳 、Springer-Verlag Tokyo、1983年 1月 。ISBN 4-87573-101-9。 -原 タイトル:Unsolved problems in number theory. - リチャード・K・ガイ『
数 論 〈未 解決 問題 〉の事典 』金光 滋 訳 、朝倉書店 、2010年 11月5日 。ISBN 978-4-254-11129-3。 -原 タイトル:Unsolved problems in number theory. 3rd ed.
- リチャード・ガイ『
- Sándor, J.; Crstici, B. (2004), Handbook of number theory, II, Dordrecht, Netherlands: Kluwer Academic Publishers, ISBN 1-4020-2546-7 (online book - Google ブックス)
高木 貞治 :「初等 整数 論 講義 」第 2版 、(1971)。
関連 項目 [ソースを編集 ]
外部 リンク[ソースを編集 ]
足立 恒雄 『完全 数 』 - コトバンク- 『
完全 数 の一覧 と性質 』 -高校 数学 の美 しい物語 - Weisstein, Eric W. "Perfect Number". mathworld.wolfram.com (
英語 ). - Greathouse, Charles; Weisstein, Eric W. "Odd Perfect Number". mathworld.wolfram.com (
英語 ).