自然しぜん数すう

自然しぜん数すう（しぜんすう、英えい: natural number）とは、個数こすうもしくは順番じゅんばんを表あらわす一群いちぐんの数かずのことである。集合しゅうごう論ろんにおいては、自然しぜん数すうは物ものの個数こすうを数かぞえる基数きすうのうちで有限ゆうげんのものであると考かんがえることもできるし、物ものの並ならべ方かたを示しめす順序じゅんじょ数すうのうちで有限ゆうげんのものであると考かんがえることもできる。

自然しぜん数すうを 1, 2, 3, … とする流儀りゅうぎと、0, 1, 2, 3, … とする流儀りゅうぎがあり、前者ぜんしゃは数かず論ろんなどでよく使つかわれ、後者こうしゃは集合しゅうごう論ろん、論理ろんり学がくなどでよく使つかわれる（詳くわしくは#自然しぜん数すうの歴史れきしと零れいの地位ちいの節ふしを参照さんしょう）。日本にっぽんでは高校こうこう教育きょういく課程かていにおいては0を入いれないが、大学だいがく以降いこうでは0を含ふくめることも多おおい（より正確せいかくには、代数だいすう学がくでは0を含ふくめ、解析かいせき学がくでは除外じょがいすることが多おおい）。いずれにしても、0 を自然しぜん数すうに含ふくめるかどうかが問題もんだいになるときは、その旨むねを明記めいきする必要ひつようがある。自然しぜん数すうの代かわりに前者ぜんしゃを正せい整数せいすう、後者こうしゃを非負ひふ整数せいすうとい換いかえることによりこの問題もんだいを避さけることもある。

数学すうがくの基礎きそ付づけにおいては、自然しぜん数すうの間あいだの加法かほうについての形式けいしき的てきな逆ぎゃく元もとを考かんがえることによって整数せいすうを定義ていぎする。正せいの整数せいすうないしは負まけでない整数せいすうを自然しぜん数すうと同一どういつ視しし、自然しぜん数すうを整数せいすうの一部いちぶとして取扱とりあつかうことができる。自然しぜん数すうと同様どうように整数せいすうの全体ぜんたいも可算かさん無限むげん集合しゅうごうである。

なお、文脈ぶんみゃくによっては、その一群いちぐんに属ぞくする個々ここの数かず（例たとえば 3 や 18）を指さして自然しぜん数すうということもある。

$\mathbb {N}$は自然しぜん数すう、$\mathbb {Z}$は整数せいすう、$\mathbb {Q}$は有理数ゆうりすう、$\mathbb {R}$は実数じっすう。実数じっすうは複素数ふくそすう（$\mathbb {C}$）に含ふくまれる。

記法きほう

ℕ

自然しぜん数すう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうは普通ふつう Natural number の頭文字かしらもじをとって N または $\mathbb {N}$ と表あらわされる。

0 を含ふくむかどうかの曖昧あいまいさを避さけるために、正せいの整数せいすう（0 を含ふくまない）を次つぎのように表あらわすこともある:

• N⁺ ($\mathbb {N} ^{+}$) または N₊ ($\mathbb {N} _{+}$)
• Z⁺ ($\mathbb {Z} ^{+}$) または Z₊ ($\mathbb {Z} _{+}$) または Z_{> 0} ($\mathbb {Z} _{>0}$)

また、非負ひふ整数せいすう（0 を含ふくむ）を表あらわすのに、次つぎの記法きほうが使つかわれることもある:

• N⁰ ($\mathbb {N} ^{0}$) または N₀ ($\mathbb {N} _{0}$)
• Z⁺₀ ($\mathbb {Z} _{0}^{+}$) または Z_{≥ 0} ($\mathbb {Z} _{\geq 0}$)
• Z⁺ ($\mathbb {Z} ^{+}$) または Z₊ ($\mathbb {Z} _{+}$) はこちらの意味いみでも使つかわれる

自然しぜん数すうの歴史れきしと零れいの地位ちい

自然しぜん数すうは「ものを数かぞえる言葉ことば」を起源きげんとし、1 から始はじまる正せいの数かずであったと推定すいていされている。文明ぶんめいが起おこり、数字すうじが考かんがえ出だされたとき、ローマ数字すうじ、ギリシア数字すうじ、エジプト数字すうじ、バビロニア数字すうじ、マヤ数字すうじ、漢かん数字すうじ、等ひとしのどれもが1から始はじまる正せいの数字すうじであった。つまり、「物ものがある」という概念がいねんを量的りょうてきに表あらわそうとしたのが数かずであり、「物ものがない」という概念がいねんは「無ない」という言葉ことばで充分じゅうぶんだった。

最初さいしょの大おおきな進歩しんぽは、数かずを表あらわすための記数きすう法ほうの発明はつめいであり、これで大おおきな数かずを記録きろくすることが出来できるようになった。古代こだいエジプト人ひとは 1 から百ひゃく万まんまでの 10 の累乗るいじょうそれぞれに異ことなるヒエログリフを割わり当あてる記数きすう法ほうを用もちいていた。バビロニアでは、数字すうじを離はなして表記ひょうきすることでその桁けたが 0 であることを示しめす六ろく十進法じっしんほうの位取くらいどり記数きすう法ほうに似にた方法ほうほうが開発かいはつされた。しかし、0 を表あらわす文字もじがなかったため、例たとえば 10203 は 0 を空白くうはくにして "1 2 3" と正まさしく表記ひょうきできるが、10200 は "1 2" となって 102 と区別くべつできない欠点けってんがあった。オルメカとマヤの文明ぶんめいでは紀元前きげんぜん1世紀せいきまでには、数字すうじを離はなして 0 の桁けたを表あらわす方法ほうほうが独立どくりつに用もちいられていた。

抽象ちゅうしょう的てきな概念がいねんとしての数かずの体系たいけい的てきな最初さいしょの研究けんきゅうは、古代こだいギリシアにおいてなされ、数かず論ろんが高度こうどにまで発達はったつした。古代こだいギリシアの数学すうがく者しゃエウクレイデスが編纂へんさんした『原論げんろん』の第だい7巻かんの冒頭ぼうとうで数かずの定義ていぎがなされている。

1. 単位たんいとは存在そんざいするもののおのおのがそれによって 1 とよばれるものである。
2. 数かずとは単位たんいから成なる多たである。

これは定規じょうぎとコンパスによる作図さくずで数かずを定義ていぎしたものと解釈かいしゃくできる。すなわち、任意にんいに与あたえた線分せんぶんの長ながさを単位たんいとして 1 を定義ていぎする。そして、その線分せんぶんを延長えんちょうした直線ちょくせん上じょうで単位たんいを半径はんけいとする長ながさをコンパスで測はかり、その直線ちょくせん上じょうでその単位たんいを半径はんけいとする円えんとの交点こうてんを作図さくずし、その円えんの直径ちょっけいを 2 と定義ていぎする。同様どうようにその直線ちょくせん上じょうで円えんの直径ちょっけいに半径はんけいを繋つないだ線分せんぶんを作図さくずし、その線分せんぶんの長ながさを 3 と定義ていぎする。したがって、1 は数かずではなく単位たんいであり、2, 3, 4, …が数かずになるため、古代こだいギリシア人じんは 1 を数かずとして認識にんしきしなかったと言いえる。

1世紀せいき頃ごろ、無名むめいのインド人ひとによって、初はじめて 0 を使つかった完全かんぜんな位取くらいどり記数きすう法ほうが発明はつめいされた。彼かれはソロバンとよく似にたビーズ玉だま計算けいさん機きで計算けいさんしていたとき、数かずのない桁けたを 0 で書かいて、ビーズ玉だま計算けいさん機上きじょうの各かく桁けたの数かずをそのまま並ならべて書かき表あらわすと、計算けいさん結果けっかを素早すばやく書かき残のこせることに気きづいた。この 0 は、インド人じんの言葉ことばで空そら（から）の意味いみを表あらわす「スーニャ」と呼よばれた。こうしてできた記数きすう法ほうは、数かずの記録きろくと計算けいさんに一大いちだい革命かくめいをもたらす大だい発明はつめいとなった。しかし、ここでの 0 は数かずとしての 0 ではなく、空そらの桁けたを表あらわす目印めじるしに過すぎないものであった。

数かずとしての 0 の概念がいねんは628年ねんのインド人数にんずう学者がくしゃブラーマグプタによって見出みいだされ、現代げんだいの 0 の概念がいねんと近ちかい計算けいさん法ほうが考かんがえ出だされた。

19世紀せいき、自然しぜん数すうの集合しゅうごう論ろん的てきな定義ていぎがなされた。この定義ていぎによれば零れいを自然しぜん数すうに含ふくめる方ほうがより便利べんりである。集合しゅうごう論ろん、論理ろんり学がくなどの分野ぶんやではこの流儀りゅうぎに従したがうことが多おおい一方いっぽう、数かず論ろんなどの分野ぶんやでは 0 を自然しぜん数すうには含ふくめない流儀りゅうぎが好このまれることが多おおい。どちらの流儀りゅうぎをとるにしろ、通常つうじょうは著作ちょさくあるいは論文ろんぶん毎ごとに定義ていぎや注釈ちゅうしゃくで明示めいじされる。とくに混乱こんらんを避さけたい場合ばあいには、0 から始はじまる自然しぜん数すうを指さすために非負ひふ整数せいすう、1 から始はじまる自然しぜん数すうを指さすために正せい整数せいすうという用語ようごを用もちいることもよくある。

計算けいさん機き科学かがく、特とくにプログラミングではよく 0, 1, 2, … が使つかわれるが、これは記憶きおく装置そうち（メモリー）の住所じゅうしょ（アドレス）の相対そうたい位置いちを表あらわすことが多おおく、相対そうたい位置いちとしては 0, -1, -2, … も処理しょりの中なかで使つかわれることから、自然しぜん数すうというよりは整数せいすうの範疇はんちゅうである。

19世紀せいきのドイツの数学すうがく者しゃレオポルト・クロネッカーが「整数せいすうは神かみの作つくったものだが、他たは人間にんげんの作つくったものである」という言葉ことばを残のこし、正せいの整数せいすうが自然しぜんな数すうと考かんがえた頃ころから、自然しぜん数すうという用語ようごが定着ていちゃくしたとされる。

形式けいしき的てきな定義ていぎ

自然しぜん数すうの公理こうり

「ペアノの公理こうり」も参照さんしょう

自然しぜん数すうがどんなものかは子供こどもでも簡単かんたんに理解りかいできるが、その定義ていぎは簡単かんたんではない。自然しぜん数すうを初はじめに厳密げんみつに定義ていぎ可能かのうな公理こうりとして提示ていじされたものにペアノの公理こうりがあり（1891年ねん、ジュゼッペ・ペアノ）、以下いかのように自然しぜん数すうを定義ていぎすることができる。

• 自然しぜん数すう1が存在そんざいする。
• 任意にんいの自然しぜん数すうaにはその後ご者しゃ (successor) の自然しぜん数すう suc(a) が存在そんざいする（suc(a) は a + 1 の 意味いみ）。
• 異ことなる自然しぜん数すうは異ことなる後者こうしゃを持もつ。つまり a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。（ある種しゅの単たん射い性せい）
• 1 はいかなる自然しぜん数すうの後者こうしゃでもない（1 より前まえの自然しぜん数すうは存在そんざいしない）。
• 1 がある性質せいしつを満みたし、a がある性質せいしつを満みたせばその後ご者しゃ suc(a) もその性質せいしつを満みたすとき、すべての自然しぜん数すうはその性質せいしつを満みたす。

最後さいごの公理こうりは、数学すうがく的てき帰納きのう法ほうを正当せいとう化かするものである。また、上うえの公理こうりに現あらわれる数字すうじは 1 だけであり、自然しぜん数すう 1 からすべての自然しぜん数すうが作つくり出だされることを意味いみしている。一方いっぽう、この公理こうりの "1" を "0" に置おき換かえれば、自然しぜん数すう 0, 1, 2, 3, … を作つくり出だせる。

ただし、ペアノの原典げんてんにおいては上うえとは少すこし違ちがった形式けいしきで公理系こうりけいが述のべられており、ペアノ自身じしんは自然しぜん数すうそのものを定義ていぎしようとしたわけではなかった。

集合しゅうごう論ろんにおいて標準ひょうじゅん的てきとなっている自然しぜん数すうの構成こうせいは以下いかの通とおりである。

• 空そら集合しゅうごうを 0 と定義ていぎする。

  $0:=\emptyset =\{\}.$

• 任意にんいの集合しゅうごう a の後者こうしゃは a と {a} の合併がっぺい集合しゅうごうとして定義ていぎされる。

  $\mathrm {suc} (a):=a\cup \{a\}.$

• 0 を含ふくみ後者こうしゃ関数かんすうについて閉とじている集合しゅうごうのひとつを M とする。
• 自然しぜん数すうは「後者こうしゃ関数かんすうについて閉とじていて、0 を含ふくむ M の部分ぶぶん集合しゅうごうの共通きょうつう部分ぶぶん」として定義ていぎされる。

無限むげん集合しゅうごうの公理こうりにより集合しゅうごう M が存在そんざいすることが分わかり、このように定義ていぎされた集合しゅうごうがペアノの公理こうりを満みたすことが示しめされる。 このとき、それぞれの自然しぜん数すうは、その数かずより小ちいさい自然しぜん数すう全すべてを要素ようそとする数かずの集合しゅうごう、となる。

• 0 := {}
• 1 := suc(0) = {0} = {{}}
• 2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
• 3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }

等々とうとうである。

このように定義ていぎされた集合しゅうごう n は丁度ちょうど（通常つうじょうの意味いみで）n 個この元もとを含ふくむことになる。また、これは有限ゆうげん順序じゅんじょ数すうの構成こうせいであり、（通常つうじょうの意味いみで）n ≤ m が成なり立たつことと n が m の部分ぶぶん集合しゅうごうであることは同値どうちである。

以上いじょうの構成こうせいは、自然しぜん数すうを表あらわすのに有用ゆうようで便利べんりそうな定義ていぎを選えらんだひとつの結果けっかであり、他ほかにも自然しぜん数すうの定義ていぎは無限むげんにできる。これはペアノの公理こうりを満みたす後者こうしゃ関数かんすう suc(a) と最小さいしょう値ちの定義ていぎが無限むげんに選えらべるからである。

例たとえば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義ていぎしたならば、

• 0 := {}
• 1 := {0} = {{}}
• 2 := {1} = {{{}}}
• 3 := {2} = {{{{}}}}

と非常ひじょうに単純たんじゅんな自然しぜん数すうになる。また、0 := {{}}, suc(a) := a ∪ {a} と定義ていぎしたならば、

• 0 := {{}}
• 1 := {{}, 0} = {{}, {{}}}
• 2 := {{}, 0, 1} = {{}, {{}}, {{},{{}}} }
• 3 := {{}, 0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{},{{}}}, {{},{{}},{{},{{}}}} }

のような多少たしょう複雑ふくざつな自然しぜん数すうになる。

加法かほうと乗法じょうほう

自然しぜん数すうの加法かほうは再帰さいき的てきに、以下いかのように定義ていぎできる。

• すべての自然しぜん数すう a に対たいして、a + 0 = a
• すべての自然しぜん数すう a, b に対たいして、a + suc(b) = suc(a + b)

1 := suc(0) と定義ていぎするならば、suc(b) = suc(b + 0) = b + suc(0) = b + 1 となり、b の後者こうしゃとは単たんに b + 1 のことである。

加法かほうが定義ていぎされたならば、自然しぜん数すうの乗法じょうほうは再帰さいき的てきに、以下いかのように定義ていぎできる。

• すべての自然しぜん数すう a に対たいして a × 0 = 0
• すべての自然しぜん数すう a, b に対たいして a × suc(b) = (a × b) + a

加法かほう、乗法じょうほうとも (i) 0 に対たいする演算えんざん結果けっかを定義ていぎし、(ii) ある自然しぜん数すう b に対たいする演算えんざん結果けっかを用もちいてその次つぎの自然しぜん数すう suc(b) に対たいする演算えんざん結果けっかを定義ていぎする、と言いう形式けいしきになっている。(i), (ii) をあわせることで、あらゆる自然しぜん数すうに対たいする演算えんざん結果けっかが一意いちいに得えられることになる（数学すうがく的てき帰納きのう法ほう）。自然しぜん数すうは加法かほうについて、0 を単位たんい元もととする可か換かわモノイドになっている。また、乗法じょうほうについても、1 を単位たんい元もととする可か換かわモノイドになっている。

加法かほうと乗法じょうほうは以下いかの法則ほうそくを満みたす。

• 結合けつごう法則ほうそく
  • (a + b) + c = a + (b + c)
  • (a × b) × c = a × (b × c)
• 交換こうかん法則ほうそく
  • a + b = b + a
  • a × b = b × a
• 分配ぶんぱい法則ほうそく
  • a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

以上いじょうの法則ほうそくは加法かほう、乗法じょうほうの定義ていぎから数学すうがく的てき帰納きのう法ほうを用もちいて証明しょうめいできる。

慣例かんれいとして、a × b は ab と略記りゃっきされ、乗法じょうほうは加法かほうより先さきに計算けいさんされる。例たとえば、 a + bc という式しきは a + (b × c) を意味いみする。

順序じゅんじょ

a+c=b となる自然しぜん数すう c が存在そんざいするとき、またそのときに限かぎって、 a ≤ b と書かいて自然しぜん数すうに対たいする全ぜん順序じゅんじょを定義ていぎする。この順序じゅんじょは自然しぜん数すうの演算えんざんに対たいして次つぎの性質せいしつを満みたす。

• 任意にんいの自然しぜん数すう a, b, c に対たいして a ≤ b ならば
  • a + c ≤ b + c
  • ac ≤ bc

順序じゅんじょに関かんして自然しぜん数すうが持もつ重要じゅうような性質せいしつの一ひとつは、それが整列せいれつ集合しゅうごうであるということ、つまり自然しぜん数すうを要素ようそとする空そらでない任意にんいの集合しゅうごうは必かならず最小さいしょう元もとを持もつということである。

除法じょほう

ある自然しぜん数すうを他たの自然しぜん数すうで割わった結果けっかを自然しぜん数すうとして得えることは一般いっぱんには可能かのうでないが、余あまりつきの除法じょほうは可能かのうである。任意にんいの二ふたつの自然しぜん数すう a と b（ただし、b ≠ 0）に対たいして次つぎの性質せいしつを持もつ二ふたつの非負ひふ整数せいすう q と r が求もとめられる。

a = bq + r（ただし r < b）

q と r はそれぞれ、a を b で割わった商しょうと余あまりといい、 a と b の任意にんいの組くみ合あわせに対たいして、一意いちいに決きまる。この除法じょほうは他たのいくつかの性質せいしつ（整除せいじょ性せい）、アルゴリズム（ユークリッドの互除法ほうなど）、数かず論ろんにおけるアイデアにおいて鍵かぎとなる。

特殊とくしゅな自然しぜん数すう

「Category:整数せいすうの類るい」も参照さんしょう

素数そすう

詳細しょうさいは「素数そすう」を参照さんしょう

自分じぶん自身じしんと 1 以外いがいの約数やくすうを持もたない 1 より大おおきな (= 1 以外いがいの)自然しぜん数すうを素数そすうという。素数そすうが無限むげんに存在そんざいすることの証明しょうめいはエウクレイデスの『原論げんろん』に載のっている。小ちいさい方ほうから列挙れっきょすると次つぎの通とおりである。

2, 3, 5, 7, 11, 13, …

メルセンヌ数すう、フェルマー数すうも参照さんしょう。

双子ふたご素数そすう

詳細しょうさいは「双子ふたご素数そすう」を参照さんしょう

差さが 2 であるような素数そすうの組くみのこと。例たとえば 3 と 5、41 と 43 などは双子ふたご素数そすうである。双子ふたご素数そすうは無限むげんにあるか、という「双子ふたご素数そすうの予想よそう」は未解決みかいけつである。類似るいじの概念がいねんに、三みつ子ご素数そすう、いとこ素数そすう、セクシー素数そすうなどがある。

完全かんぜん数すう

詳細しょうさいは「完全かんぜん数すう」を参照さんしょう

完全かんぜん数すうは自分じぶん自身じしんを除のぞく約数やくすうの和わが自分じぶん自身じしんと等ひとしい自然しぜん数すうである。小ちいさい方ほうから列挙れっきょすると次つぎの通とおりである。

6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, …

偶数ぐうすうの完全かんぜん数すうはメルセンヌ数すうと深ふかい関係かんけいがある。知しられている完全かんぜん数すうは全すべて偶数ぐうすうであり、奇数きすうの完全かんぜん数すうはないと予想よそうされている。また、無限むげんに存在そんざいするとも予想よそうしているが、両者りょうしゃとも未解決みかいけつである。類似るいじの概念がいねんに、友愛ゆうあい数すう、社交しゃこう数すうなどがある。

友愛ゆうあい数すう

詳細しょうさいは「友愛ゆうあい数すう」を参照さんしょう

友愛ゆうあい数すう（親和しんわ数すうとも言いう）とは、異ことなる２ふたつの自然しぜん数すうの組くみで、自分じぶん自身じしんを除のぞいた約数やくすうの和わが互たがいに他方たほうと等ひとしくなるような数かずのことである。220と284、1184と1210などが例れいとして挙あげられる。

いくつかの自然しぜん数すうへのリンク

2桁けたまでの自然しぜん数すう

(0)	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
40	41	42	43	44	45	46	47	48	49
50	51	52	53	54	55	56	57	58	59
60	61	62	63	64	65	66	67	68	69
70	71	72	73	74	75	76	77	78	79
80	81	82	83	84	85	86	87	88	89
90	91	92	93	94	95	96	97	98	99
太字ふとじで表あらわした数かずは素数そすうである。

• 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109
• 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
• 100 200 300 400 500 600 700 800 900
• 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000

参考さんこう文献ぶんけん

• E・T・ベル『数学すうがくをつくった人ひとびと』 上じょう・下した、田中たなか勇いさむ・銀ぎん林はやし浩ひろし 訳わけ、東京とうきょう図書としょ、1997年ねん10月がつ（原著げんちょ1962-1963）。ISBN 4-489-00528-8 ISBN 4-489-00529-6。 
  • E・T・ベル『数学すうがくをつくった人ひとびと』 1巻かん、田中たなか勇いさむ・銀ぎん林はやし浩ひろし 訳わけ、森もり毅あつし 解説かいせつ、早川書房はやかわしょぼう〈ハヤカワ文庫ぶんこ NF 283 〈数理すうりを愉たのしむ〉シリーズ〉、2003年ねん9月がつ26日にち。ISBN 978-4-15-050283-6。 
  • E・T・ベル『数学すうがくをつくった人ひとびと』 2巻かん、田中たなか勇いさむ・銀ぎん林はやし浩ひろし 訳わけ、吉田よしだ武たけし 解説かいせつ、早川書房はやかわしょぼう〈ハヤカワ文庫ぶんこ NF 284 〈数理すうりを愉たのしむ〉シリーズ〉、2003年ねん10月がつ17日にち。ISBN 978-4-15-050284-3。 
  • E・T・ベル『数学すうがくをつくった人ひとびと』 3巻かん、田中たなか勇いさむ・銀ぎん林はやし浩ひろし 訳わけ、秋山あきやま仁ひとし 解説かいせつ、早川書房はやかわしょぼう〈ハヤカワ文庫ぶんこ NF 285 〈数理すうりを愉たのしむ〉シリーズ〉、2003年ねん11月19日にち。ISBN 978-4-15-050285-0。 
• ハイベア・メンゲ 編へん『ユークリッド原論げんろん』中村なかむら幸四郎こうしろう・寺阪てらさか英孝ひでたか・伊東いとう俊太郎しゅんたろう・池田いけだ美恵みえ 訳わけ・解説かいせつ、共立きょうりつ出版しゅっぱん。  - 全ぜん13巻かんの最初さいしょの邦訳ほうやく。
  • （ハードカバー）1971年ねん7月がつ。ISBN 4-320-01072-8
  • （縮刷しゅくさつ版ばん）1996年ねん6月がつ。ISBN 4-320-01513-4
  • （追つい補ほ版ばん）2011年ねん5月がつ。ISBN 978-4-320-01965-2
• von Neumann, Johann (1923), “Zur Einführung der trasfiniten Zahlen”, Acta litterarum ac scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio scientiarum mathematicarum 1: 199-208, http://acta.bibl.u-szeged.hu/38552/1/math_001.pdf 
  • von Neumann, John (January 2002) [1923], “On the introduction of transfinite numbers”, in Jean van Heijenoort, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 (3rd ed.), Harvard University Press, pp. 346-354, ISBN 0-674-32449-8  - (von Neumann 1923)の英訳えいやく。

関連かんれん文献ぶんけん

• 足立あだち恒雄つねお『数かず　体系たいけいと歴史れきし』朝倉書店あさくらしょてん、2002年ねん1月がつ20日はつか。ISBN 4-254-11088-X。 
• 足立あだち恒雄つねお『数かずとは何なにか　そしてまた何なにであったか』共立きょうりつ出版しゅっぱん、2011年ねん6月がつ。ISBN 978-4-320-01971-3。 
• 足立あだち恒雄つねお『フレーゲ・デデキント・ペアノを読よむ　現代げんだいにおける自然しぜん数すう論ろんの成立せいりつ』日本にっぽん評論ひょうろん社しゃ、2013年ねん4月がつ8日にち。ISBN 978-4-535-78697-4。 
• 足立あだち恒雄つねお『数かずの発明はつめい』岩波書店いわなみしょてん〈岩波いわなみ科学かがくライブラリー 219〉、2013年ねん12月20日にち。ISBN 978-4-00-029619-9。 
• 彌永やなが昌吉しょうきち『数かずの体系たいけい』 （上うえ）、岩波書店いわなみしょてん〈岩波いわなみ新書しんしょ（青あお版ばん）815〉、1972年ねん3月がつ25日にち。ISBN 978-4-00-416001-4。 
• 彌永やなが昌吉しょうきち『数かずの体系たいけい』 （下した）、岩波書店いわなみしょてん〈岩波いわなみ新書しんしょ（黄き版ばん）43〉、1978年ねん4月がつ20日はつか。ISBN 978-4-00-420043-7。 
• チャールズ・サイフェ『異端いたんの数すうゼロ　数学すうがく・物理ぶつり学がくが恐おそれるもっとも危険きけんな概念がいねん』林はやし大まさる 訳わけ、早川書房はやかわしょぼう、2003年ねん10月がつ。ISBN 978-4-15-208524-5。 
  • チャールズ・サイフェ『異端いたんの数すうゼロ　数学すうがく・物理ぶつり学がくが恐おそれるもっとも危険きけんな概念がいねん』林はやし大まさる 訳わけ、早川書房はやかわしょぼう〈ハヤカワ文庫ぶんこ NF 349 〈数理すうりを愉たのしむ〉シリーズ〉、2009年ねん5月がつ8日にち。ISBN 978-4-15-050349-9。 
• 島内しまうち剛一ごういち『数学すうがくの基礎きそ』日本にっぽん評論ひょうろん社しゃ〈日にち評ひょう数学すうがく選書せんしょ〉、2008年ねん12月（原著げんちょ1971年ねん3月がつ30日にち）。ISBN 978-4-535-60106-2。  - 2008年ねんに復刊ふっかんされた。
• 高木たかぎ貞治さだはる「6. 自然しぜん数すう論ろん」『近世きんせい数学すうがく史談しだん・数学すうがく雑談ざつだん』（復刻ふっこく版ばん）共立きょうりつ出版しゅっぱん、1996年ねん12月がつ10日とおか、234-274頁ぺーじ。ISBN 4-320-01551-7。 
• 高木たかぎ貞治さだはる『数かずの概念がいねん』（改版かいはん）岩波書店いわなみしょてん、1970年ねん9月がつ19日にち（原著げんちょ1949年ねん8月がつ20日はつか）。ISBN 4-00-005153-9。 
  • 高木たかぎ貞治さだはる『数かずの概念がいねん』秋山あきやま仁ひとし 解説かいせつ、講談社こうだんしゃ〈ブルーバックス B-2114〉、2019年ねん10月がつ17日にち。ISBN 978-4-065-17067-0。 
• Dedekind, Richard (1963-06-01) [1901], Essays on the Theory of Numbers, Dover Books on Mathematics (Paparback ed.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-21010-0 
  • デーデキント 著しる、河野こうの伊三郎いさぶろう 訳わけ『数かずについて――連続れんぞく性せいと数かずの本質ほんしつ――』岩波書店いわなみしょてん〈岩波いわなみ文庫ぶんこ 青あお924-1〉、1961年ねん11月16日にち。ISBN 978-4-00-339241-6。 
  • リヒャルト・デデキント『数かずとは何なにかそして何なにであるべきか』渕ふち野の昌あきら 訳やく・解説かいせつ、筑摩書房ちくましょぼう〈ちくま学芸がくげい文庫ぶんこ テ9-1 Math & Science〉、2013年ねん7月がつ10日とおか。ISBN 978-4-480-09547-3。  - 「数かずとは何なにかそして何なにであるべきか？」・「連続れんぞく性せいと無理むり数すう」を収録しゅうろく。
• フレーゲ 著しる、野本のもと和幸かずゆき 編へん『算術さんじゅつの基本きほん法則ほうそく』勁草書房しょぼう〈フレーゲ著作ちょさく集しゅう3〉、2000年ねん9月がつ20日はつか。ISBN 4-326-14822-5。  - 歴史れきし的てき著作ちょさく。抄訳しょうやく。
• ジュゼッペ・ペアノ『数かずの概念がいねんについて』小野おの勝次かつじ・梅沢うめざわ敏郎としお 訳やく・解説かいせつ、共立きょうりつ出版しゅっぱん〈現代げんだい数学すうがくの系譜けいふ 2〉、1969年ねん8月がつ30日にち。ISBN 978-4-320-01155-7。 
• 保ほ江こう邦夫くにお『数かずの論理ろんり　マイナスかけるマイナスはなぜプラスか？』講談社こうだんしゃ〈ブルーバックス B-1397〉、2002年ねん12月20日にち。ISBN 4-06-257397-0。 
• Landau, Edmund (2001), Foundations of Analysis (Reprint ed.), Chelsea Pub Co., ISBN 0-8218-2693-X 
  • エトムント・ランダウ 著ちょ、蟹江かにえ幸博ゆきひろ 訳やく『数かずの体系たいけい　解析かいせきの基礎きそ』丸善まるぜん出版しゅっぱん〈数学すうがくクラシックス 第だい28巻かん〉、2014年ねん1月がつ。ISBN 978-4-621-08713-8。 

関連かんれん項目こうもく

• 完全かんぜん数すうの一覧いちらん
• 奇数きすう
• 偶数ぐうすう
• ゴットロープ・フレーゲ
• ジュゼッペ・ペアノ
• ジョン・フォン・ノイマン
• 数かず論ろん
• 整数せいすう
• リヒャルト・デデキント

外部がいぶリンク

• 小学館しょうがくかん 日本にっぽん大だい百科全書ひゃっかぜんしょ『自然しぜん数すう』- Yahoo!百科ひゃっか事典じてん (archive.today へのリンク)
• 世界せかい大だい百科ひゃっか事典じてん 第だい2版はん『自然しぜん数すう』 - コトバンク
• Weisstein, Eric W. "Natural Number". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A000027