可算かさん集合しゅうごう

可算かさん集合しゅうごう（かさんしゅうごう、英語えいご: countable set または denumerable set）または可か付づけ番ばん集合しゅうごうとは、おおまかには、自然しぜん数すう全体ぜんたいと同おなじ程度ていど多おおくの元もとを持もつ集合しゅうごうのことである。各々おのおのの元もとに 1, 2, 3, … と番号ばんごうを付つけることのできる、すなわち元もとを全すべて数かぞえ上あげることのできる無限むげん集合しゅうごうと表現ひょうげんしてもよい。

有限ゆうげん集合しゅうごうも、数かぞえ上あげることができる集合しゅうごうという意味いみで、可算かさん集合しゅうごうの一種いっしゅとみなすことがある。そのため、はっきりと区別くべつを付つける必要ひつようがある場合ばあいには、冒頭ぼうとうの意味いみでの集合しゅうごうを可算かさん無限むげん集合しゅうごう (countably infinite set) と呼よび、可算かさん無限むげん集合しゅうごうと有限ゆうげん集合しゅうごうを合あわせて高々たかだか可算かさん (at most countable) の集合しゅうごうと呼よぶ。可算かさんでない無限むげん集合しゅうごうを非ひ可算かさん集合しゅうごう (uncountable set) という。非ひ可算かさん集合しゅうごうは可算かさん集合しゅうごうよりも「多おおく」の元もとを持もち、全すべての元もとに番号ばんごうを付つけることができない。そのような集合しゅうごうの存在そんざいは、カントールによって初はじめて示しめされた。

定義ていぎ

可算かさん集合しゅうごうとは N と濃度のうどが等ひとしい集合しゅうごうのことである。すなわち、集合しゅうごう S が可算かさんであるとは、自然しぜん数すう全体ぜんたいの集合しゅうごう N との間あいだに全ぜん単たん射しゃが存在そんざいすることをいう。

また、高々たかだか可算かさんな集合しゅうごうとは、N の濃度のうど以下いかの濃度のうどを持もつ集合しゅうごうのことである。すなわち、集合しゅうごう S が高々たかだか可算かさんであるとは、S から N へ単たん射いが存在そんざいすることをいう。これは、N から S へ全ぜん射いが存在そんざいすることと同値どうちである。

慣例かんれいでは、可算かさん集合しゅうごうの濃度のうどを $\aleph _{0}$（アレフゼロ、aleph-null）で表あらわす。例たとえば、N の濃度のうどが可算かさんであることを $|\mathbb {N} |=\aleph _{0}$ などと表あらわす。

例れいと性質せいしつ

無限むげん集合しゅうごうにおいては、その真ま部分ぶぶん集合しゅうごうと濃度のうどが等ひとしいことがあり得える。例たとえば、偶数ぐうすうの自然しぜん数すう全体ぜんたいの集合しゅうごう 2N は N との間あいだに次つぎの全ぜん単たん射しゃが存在そんざいする。

$f\colon \mathbb {N} \ni n\mapsto 2n\in 2\mathbb {N} .$

よって、2N は可算かさん集合しゅうごうである。また、整数せいすう全体ぜんたいの集合しゅうごう Z や有理数ゆうりすう全体ぜんたいの集合しゅうごう Q も可算かさんである。しかし、実数じっすう全体ぜんたいの集合しゅうごう R は非ひ可算かさんである。この事実じじつはカントールの対角線たいかくせん論法ろんぽうによって示しめされる。R の濃度のうどは連続れんぞく体たい濃度のうどと呼よばれ、$\aleph$ または ${\mathfrak {c}}$ で表あらわされる。

選択せんたく公理こうりを認みとめるならば、可算かさん濃度のうどは無限むげん集合しゅうごうの濃度のうどのうち最小さいしょうのものであることが示しめされる。可算かさん濃度のうどと連続れんぞく体たい濃度のうどの間あいだに他たの濃度のうどが存在そんざいするか否ひかは、ZFC とは独立どくりつであり、通常つうじょうは存在そんざいしないと仮定かていする。この仮定かていを連続れんぞく体たい仮説かせつという。

可算かさん個この可算かさん集合しゅうごうの和わ集合しゅうごうや、有限ゆうげん個この可算かさん集合しゅうごうの直積ちょくせき集合しゅうごうはまた可算かさんである。これより、代数だいすう的てき数すう全体ぜんたいの集合しゅうごう Q は可算かさんであることが従したがう。しかし、可算かさん個この可算かさん集合しゅうごうの直積ちょくせき集合しゅうごうや、可算かさん集合しゅうごうの冪べき集合しゅうごうは非ひ可算かさんであり、その濃度のうどは連続れんぞく体たい濃度のうどである。

可算かさん個この可算かさん集合しゅうごうの直積ちょくせき集合しゅうごうの濃度のうどは、濃度のうど不等式ふとうしき

$2^{\aleph _{0}}\leq \aleph _{0}^{\aleph _{0}}\leq (2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}$

によって、$\aleph$　と等ひとしいことが示しめされる。

関連かんれん項目こうもく

• 濃度のうど (数学すうがく)
• 連続れんぞく体たい仮説かせつ
• ヒルベルトの無限むげんホテルのパラドックス